Решения, указания, ответы

1. Биомеханика

1.1. Закон Гука, феноменологически описывающий свойство абсолютной линейной упругости формулируется в двух формах. Для модуля силы упругости через абсолютное удлинение: и через нормальное напряжение и относительную деформацию удлинения: . Причём: и , тогда и , а жёсткость . Формулы абсолютной упругости могут быть использованы при решении данной задачи так, как указан модуль Юнга рассматриваемого материала и, следовательно, деформирование происходит в «упругой зоне». Обозначив искомую жёсткость через k₁и длину отрезка этой жёсткости через l₁, получим: . Найдём отношение жёсткости k₁к жёсткости k: . Окончательно получим: .

1.2. При параллельном соединении проволок, сила растягивающая систему проволок складывается из сил, приложенных к каждой из проволок: , а абсолютные удлинения одинаковы и у системы параллельных проволок и у каждой из проволок по отдельности. Считая проволоки линейно упругими, применим для силы упругости закон Гука в виде: Тогда: . Иначе: . Учитывая, что проволоки одинаковые, получим ответ: .

1.3. В соответствии с законом Гука: .

Ответ: .

1.4. Для простоты предположим, что образец имеет цилиндрическую форму. Исходная длина образца – L₀, исходный диаметр – D₀. После деформирования образец стал иметь длину –L_t и диаметр – D_t. Обратим внимание на то, что L_t>L₀, а D_t<D₀ . По определению коэффициент Пуассона материала, из которого изготовлен образец: . Откуда:

или .

Объём цилиндрического образца равен объёму прямого кругового цилиндра: Отметим, что объём цилиндра есть функция двух переменных – диаметра основания цилиндра D и его высоты L. Прологарифмировав формулу объёма по основанию е и взяв полный дифференциал от прологарифмированного выражения, получим: ; . Переходя к конечным приращениям, получим: . Используя , получим: . Таким образом нами получена формула для относительного изменения объёма образца:

= . Подставив числовые значения, получим ответ: = .

1.5. Относительное удлинение цилиндрического образца было найдено в задаче 1.4: = . Из этой формулы можно получить абсолютное увеличение объёма образца после деформирования: =

. В условиях данной задачи коэффициент Пуассона равен 0,5 и объём образца не изменился, оставаясь равным исходному объёму. Ответ:

мм ³.

1.6. Отметим, что относительная деформация и длина образца не связана с упругими свойствами материала. Для получения ответа достаточно воспользоваться определением относительной деформации. , .

Ответ:

1.7. Силу реакции Naопределим рассмотрев одно из двух условий равновесия балки – условие равенства нулю суммы моментов всех приложенных к заготовке сил.

В качестве точки относительно, которой подсчитываются моменты сил удобно взять точку В. Через эту точку проходит линия действия силы реакции N_b и её момент окажется равным нулю. Условие равновесия: . Откуда: . Ответ: .

1.8.

Сечение с координатой х находится слева от точки приложения силы F, поэтому поперечная сила Q в этом сечении равна силе реакции опоры в точке А ( N_a). Силу реакции N_a определим, рассмотрев одно из двух условий равновесия балки – условие равенства нулю суммы моментов всех приложенных к заготовке сил. В качестве точки относительно, которой подсчитываются моменты сил удобно взять точку В. Через эту точку проходит линия действия силы реакции N_b и её момент окажется равным нулю. Условие равновесия:

. Откуда: .

Ответ: .

1.9.

Изгибающий моментM(x) в сечении с координатой, превышающей координату точки приложения сосредоточенной силы F, рассчитывается по формуле: .

На рисунке показана диаграмма (эпюра) изгибающего момента.

Подставляя числовые данные, получим ответ:

.

1.10.

Максимальный изгибающий момент M_max приходится на сечение с координатой в точке С и рассчитывается по формуле:

.

Подставляя числовые данные, получим ответ:

.