2.24. Изобразим зависимость давления в вене от времени:

Аналитически изображенная зависимость выглядит: (P_t- P_) = (P₀ -P_)exp{-t/t^}. Произведём преобразования в полученном выражении: exp{-t/t^} = (P_t- P_) / (P₀ -P_); exp{t/t^} = (P₀ -P_) / (P_t- P_). Из полученного выражения выразим время: t^= t/[ln{(P₀ -P_)/(P_t- P_)}]

Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат: t^= 108,82 с.

2.25. Реологическая модель вязкоупругой системы – модель Кельвина – Фойгта. Модель состоит из параллельно соединённых пружины (элемент Гука) и продырявленного поршня в цилиндре с ньютоновской жидкостью (элемент Ньютона).

При параллельном соединении элементов в составную реологическую модель приложенное напряжение равно сумме напряжений на каждом из элементов, а деформации элементов одинаковы. Поэтому ответ на поставленный в задаче вопрос очевиден: .

2.26. Реологическая модель вязкоупругой системы – модель Кельвина – Фойгта. Модель состоит из параллельного соединения пружины (элемент Гука) и продырявленного поршня в цилиндре с ньютоновской жидкостью (элемент Ньютона).

Под действием постоянного напряжения в системе наблюдается ползучесть – увеличение со временем деформации, происходящее в соответствии с формулой: , где . Из формулы видно, что максимальное значение деформации( ) получится в пределе, когда время будет стремиться к бесконечности.

Ответ: . Иначе: .

2.27. Реологическая модель вязкоупругой системы – модель Кельвина – Фойгта. Модель состоит из параллельно соединённых пружины (элемент Гука) и продырявленного поршня в цилиндре с ньютоновской жидкостью (элемент Ньютона).

Под действием постоянного напряжения в системе наблюдается ползучесть – увеличение со временем деформации, происходящее в соответствии с формулой: , где . Ответ:

Иначе: .

2.28. Реологическое поведение вязкопластической системы в простейшем случае описывается с помощью модели Бингама:

Для случая, когда приложенное к системе напряжение больше предельного напряжения сдвига (соответствует условию задачи) реологическое уравнение системы выглядит как: . Скорость сдвига: . Ответ: .

2.29. Проанализируем реологическую модель.

Модель может быть представлена в виде последовательно соединённых элементов: упругого (1), вязкоупругого (2 и 3) и вязкого (4). Полная относительная деформация при последовательном соединении элементов модели равна сумме относительных деформаций каждого элемента. . Напряжение на каждом из элементов модели будет одинаковым при последовательном соединении элементов. Формулы для относительных деформаций каждого из элементов: .

Получим формулу для относительной деформации в момент времени t. Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат: ; 0,4%.

2.30. Ответ: Г. релаксацию напряжения, ползучесть, механический гистерезис, сдвиг фаз между периодически задаваемым напряжением и получающейся при этом деформацией.

2.31. При постоянной температуре («в физиологическом диапазоне») и постоянной скорости сдвига кажущаяся вязкость крови определяется формулой: где α - коэффициент, зависящий от белкового состава плазмы крови η_а - кажущаяся вязкость крови при заданном гематокрите, η₀ -вязкость плазмы, H - гематокрит.

Формула для случая с известным по условию задачи гематокритом Н₁:

Из полученной формулы получим выражение коэффициента α, имея в виду неизменный состав плазмы: .

Используем α с тем, чтобы получить формулу для кажущейся вязкости крови при гематокрите Н₂:

Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат:

2.32. По современным представлениям, плазма крови относится к ньютоновским жидкостям.

Вязкость ньютоновской жидкости зависит от природы жидкости и от температуры и не зависит от скорости сдвига. Реологическое уравнение для ньютоновской жидкости: где напряжение сдвига, вязкость, а скорость сдвига. Получим расчётную формулу для скорости сдвига. Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат.

Ответ:

2.33. Математическое выражение, характеризующее реологическое поведение крови в рамках модели Кессона: где τ - напряжение сдвига, τ₀ - предел текучести, k - кессоновская вязкость, скорость сдвига.

Асимптотическая вязкость - соответствует ньютоновской (кажущейся) вязкости крови при больших скоростях сдвига

Выражение для ньютоновской (кажущейся) вязкости жидкости, реологическое поведение которой описывается моделью Кессона:

Отсюда легко устанавливается связь между асимптотической вязкостью и кессоновской вязкостью:

Получим расчётную формулу для напряжения сдвига. Подставим в получившееся выражение числовые данные, чтобы получить окончательный результат:

мПа.

2.34. В математическое выражение, описывающую модель Кессона - дважды подставим данные из условия задачи и получим систему уравнений. Решив систему, найдём кессоновскую вязкость k. , .

Ответ:

=

.

2.35. В математическое выражение, описывающую модель Кессона - дважды подставим данные из условия задачи и получим систему уравнений. Решив систему, найдём . , .

Ответ:

,

2.36. В задаче 2.32 было показано, что асимптотическая вязкость равна квадрату кессоновской вязкости . Для получения кессоновской вязкости в математическое выражение, описывающую модель Кессона - , дважды подставим данные из условия задачи и получим систему уравнений. , .

Ответ:

.

2.37. По определению кажущаяся вязкость (иное название –«ньютоновская вязкость неньютоновской жидкости») есть частное от деления напряжения сдвига на полученную при этом скорость сдвига. Ответ. .

2.38. По определению кажущаяся вязкость (иное название –«ньютоновская вязкость неньютоновской жидкости») есть частное от деления напряжения сдвига на полученную при этом скорость сдвига. Ответ. .

2.39. По определению кажущаяся вязкость (иное название –«ньютоновская вязкость неньютоновской жидкости»)есть частное от деления напряжения сдвига на полученную при этом скорость сдвига. Ответ. , = .

2.40. Если предположить, что в рассматриваемом случае депонирования крови не происходит и саму кровь можно рассматривать как несжимаемую жидкость, то окажется справедливым следствие закона сохранения массы – уравнение неразрывности: , где - объёмная скорость, и - суммарные поперечные сечения сосудистого русла в двух участках, отличающихся калибром сосудов кровеносной системы. и - линейные скорости кровотока в рассматриваемых участках. Итак, объёмная скорость постоянна по всему сосудистому руслу . Ответ: отношение равно единице .

2.41. Если предположить, что в рассматриваемом случае депонирования крови не происходит и саму кровь можно рассматривать как несжимаемую жидкость, то окажется справедливым следствие закона сохранения массы – уравнение неразрывности: , где - объёмная скорость, и - суммарные поперечные сечения сосудистого русла в двух участках, отличающихся калибром сосудов кровеносной системы. и - линейные скорости кровотока в рассматриваемых участках. Откуда следует: Ответ: .

2.42. Оценку времениt можно сделать, если предположить, что в рассматриваемом случае депонирования крови не происходит и саму кровь можно рассматривать как несжимаемую жидкость, то окажется справедливым следствие закона сохранения массы – уравнение неразрывности: , где - объёмная скорость, и - суммарные поперечные сечения аорты и капиллярного русла. и - линейные скорости кровотока в аорте и капилляре. Проведённые рассуждения позволяют найти линейную скорость в капилляре:

. .

Ответ: .

2.43. Если предположить, что в рассматриваемом случае депонирования крови не происходит и саму кровь можно рассматривать как несжимаемую жидкость, то окажется справедливым следствие закона сохранения массы – уравнение неразрывности: , где - объёмная скорость, и - суммарные поперечные сечения аорты и сосудистого русла. и - линейные скорости кровотока в рассматриваемых участках. Откуда следует: .

Ответ: 0,06 .

2.44. Для случая течения по гладкостенной трубке число Рейнольдса: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу для числа Рейнольдса и получим ответ:

.

2.45. Вязкие жидкости и газы могут иметь два режима течения: ламинарный и турбулентный. Чтобы определить режим течения необходимо воспользоваться одним из безразмерных параметров. Для случая течения по гладкостенной трубке подходящим параметром является число Рейнольдса - Re. Формулы для числа Рейнольдса: режим ламинарный, режим турбулентный. Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу для числа Рейнольдса. Сравним со значением критического числа полученный результат. Сделаем окончательный вывод о режиме течения: Режим - турбулентный.

2.46. При ламинарном течении ньютоновской жидкости по цилиндрической трубке линейная скорость изменяется с расстоянием от оси трубки по параболическому закону: . Максимальная линейная скорость жидкости будет на оси трубки:

. Из формулы найдём искомую разность давлений: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу. Получим ответ:

.

2.47. Проанализируем условия стационарного течения по трубке: при стационарном течении вязкой жидкости по трубке объёмная скорость течения (расход) жидкости постоянен во времени. Отсюда следует, что слой жидкости, находящийся на некотором расстоянии от оси трубки должен двигаться с определённой неизменной во времени скоростью, т.е. в трубке должно наблюдаться «телескопическое» течение. Каждый из коаксиальных цилиндрических слоёв должен иметь постоянную скорость.

Истолкуем полученный результат с позиций законов динамики: с точки зрения законов динамики описанная ситуация возможна только в случае скомпенсированного действия сил на каждый из тонких коаксиальных слоёв. Проиллюстрируем сказанное рисунком.

V = const, F_Т = F_Д

Запишем равенство сил, используя понятие напряжение сдвига, реологический закон Ньютона и приняв во внимание, что градиент скорости направлен от стенки трубки к оси: для приосевого цилиндра радиуса r F_Д = , F_Т = _, откуда для любой вязкой жидкости. Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу. Получим ответ: .

2.48. Вспомним формулу Пуазейля для течения ньютоновской жидкости по цилиндрической трубке и условия, при которых она была выведена: при пуазейлевом течении линейная скорость изменяется с расстоянием от оси трубки по параболическому закону: . Средняя линейная скорость - это величина такой линейной скорости, которая, будучи умноженной на площадь поперечного сечения трубки, даст ту же объёмную скорость течения Q, что и формула Пуазейля: . Откуда: ; . Учтём формулу для скорости сдвига в цилиндрической трубке на стенке трубки: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу и получим ответ: .

2.49. Поскольку указанное в условии задачи число Рейнольдса превышает критическое для цилиндрической трубы, то будем считать, что максимальная линейная скорость была использована для расчёта этого числа. Тогда: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу. . Получим ответ:

.

2.50. Будем считать моделью кровеносного сосуда цилиндрическую трубку. Из формулы Пуазейля для цилиндрической трубки получается формула гидродинамического сопротивления: . Тогда искомое отношение гидродинамических сопротивлений n: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу . Получим ответ:

.

2.51. Указание на ламинарный режим течения интерпретируем, как возможность использовать для решения формулу Пуазейля: . Из формулы Пуазейля получим выражение для разности давлений ∆P: . Отдадим себе отчёт в том, что разность давлений в данном случае обусловлена разностью гидростатического давления и давления в вене: ∆P = ρ·g·h - P_вен. Получим выражение для высоты капельницы над постелью больного: . Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат, используя единицы СИ:

.

2.52. Будем считать моделью кровеносного сосуда цилиндрическую трубку. Из формулы Пуазейля для цилиндрической трубки получается формула гидродинамического сопротивления: . Гидродинамическое сопротивление, приходящееся на единицу длины . Гидродинамическое сопротивление единицы длины до разветвления Гидродинамическое сопротивление единицы длины после разветвления Тогдаискомое отношение гидродинамических сопротивлений n: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу . Получим ответ: .

2.53. Будем считать моделью кровеносного сосуда цилиндрическую трубку. Из формулы Пуазейля для цилиндрической трубки получается формула гидродинамического сопротивления: . Тогдаискомое отношение гидродинамических сопротивлений n: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу . Получим ответ: .

2.54. Воспользуемся чисто резистивной моделью кровообращения с сосредоточенными параметрами. Из формулы Пуазейля следует, что в рамках этой модели В формуле -артериальное давление, - объёмная скорость течения, - периферическое сопротивление.

. Ответ: минутный объём циркуляции (одна из мер объёмной скорости течения) уменьшился на 4,5%.

2.55. Перфузия ─── perfusio (обливание, вливание) - пропускание крови (или кровезамещающей жидкости) через кровеносные сосуды органа, части тела или всего организма. В задаче воспроизведены основные черты метода физиологии кровообращения, который называют резистографией. Кровь является неньютоновской жидкостью, но при скоростях сдвига в несколько тысяч обратных секунд её кажущаяся вязкость с увеличением скорости сдвига перестаёт меняться. Это предельное значение кажущейся вязкости называется асимптотической вязкостью. При решении задачи будем исходить из формулы Пуазейля как физической основы чисто резистивной модели кровообращения с сосредоточенными параметрами: . . Далее будем считать, что при неизменном перфузионном давлении радиус эквивалентной трубкиR не изменяется, скорости сдвига достаточно высокие, длина эквивалентной трубки l не изменяется. , . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу .

Получим ответ:

.

2.56. Будем считать моделью кровеносного сосуда цилиндрическую трубку. Из формулы Пуазейля для цилиндрической трубки получается формула гидродинамического сопротивления: . Гидродинамическое сопротивление, приходящееся на единицу длины . Гидродинамическое сопротивление единицы длины первого участка Гидродинамическое сопротивление единицы длины второго участка Тогдаискомое отношение гидродинамических сопротивлений n: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу . Получим ответ: .

2.57. Рассмотрим силы, действующие на шарик при таком движении. Сформулируем динамические условия равномерного движения шарика.

Запишем выражение для силы Стокса, силы Архимеда и силы тяжести:

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось – ось Х:

Получим расчётную формулу для скорости шарика:

Найдём отношение скоростей двух шариков: .

Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу . Получим ответ: .

2.58. Примем в качестве физической модели движения эритроцита при реакции СОЭ – падение твёрдого шарика в ньютоновской безграничной жидкости с постоянной скоростью. Рассмотрим силы, действующие на шарик при таком движении. Сформулируем динамические условия равномерного движения шарика.

Запишем выражение для силы Стокса, силы Архимеда и силы тяжести:

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось – ось Х:

Получим расчётную формулу для скорости эритроцита в рамках выбранной модели:

Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу, получим окончательный ответ:

.

2.59. Вискозиметр Оствальда – пример капиллярного вискозиметра, действие которого основано на формуле Пуазейля. Разность давления на концах капилляра определяется высотой столба протекающей по капилляру жидкости, т.е. гидростатическим давлением. Применим формулу Пуазейля к капилляру вискозиметра Оствальда. . Отношение объёма эталонной жидкости к объёму исследуемой: . Откуда найдём время истечения через капилляр эталонной жидкости:

. Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу, получим окончательный ответ:

2.60. Решение: Рассмотрим ситуацию в пережатом манжетой сосуде и ситуацию в непережатой артерии. Запишем закон Бернулли для обоих случаев.

Выражение для измеряемого манометром давления при использовании тонометра и истинное давление в артерии («боковое систолическое»): P_изм = P₁ + P_сжт ;P_ист = P₁ – 1/2·ρV²

Выражение абсолютной и относительной ошибок измерения: ΔP = = P_изм – P_ист = P₁ + P_сжт – (P₁ – 1/2·ρV²) = P_сжт + 1/2·ρV² ;

Подставив данные из условия задачи в расчётную формулу, получите окончательный ответ.

;

2.61. Травмы крови не будет, если кровь будет двигаться по протезу с постоянной скоростью. Силы, действующие на кровь при течении равны нулю, по второму закону Ньютона ускорение крови равно нулю. Изобразим бифуркацию в виде упрощённой схемы.

Применим уравнение неразрывности, считая кровь несжимаемой жидкостью: Q = S₁V₁ = S₂V₂. Запишем уравнение неразрывности конкретно для созданной модели, считая поперечные сечения кровеносных сосудов круговыми: πR²V = 2πr²V. После преобразований, сформулируем окончательный ответ: r R ≈ 3,18 мм.

2.62. Травмы крови не будет, если кровь будет двигаться по протезу с постоянной скоростью. Силы, действующие на кровь при течении равны нулю, по второму закону Ньютона ускорение крови равно нулю. Изобразим бифуркацию в виде упрощённой схемы.

Применим уравнение неразрывности, считая кровь несжимаемой жидкостью: Q = S₁V₁ = S₂V₂. Запишем уравнение неразрывности конкретно для созданной модели, считая поперечные сечения кровеносных сосудов круговыми: πR²V = 2πr²V. После преобразований, найдём радиус дочернего ствола: r R ≈ 4,95 мм. Для определения отношения гидродинамических сопротивлений, приходящихся на единицу длины в двух поперечных сечениях, учтём, что сечение дочерних ветвей включает две одинаковые параллельные ветви. Формула гидродинамического сопротивления: . Гидродинамическое сопротивление, приходящееся на единицу длины . Гидродинамическое сопротивление единицы длины до разветвления Гидродинамическое сопротивление единицы длины после разветвления Тогда искомое отношение гидродинамических сопротивлений n: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу. Получим ответ:

2.63. Будем считать, что все капилляры соединены параллельно. Аналогично поступи и с прекапиллярами. Из формулы Пуазейля для цилиндрической трубки получается формула гидродинамического сопротивления: . Гидродинамическое сопротивление N параллельных трубок . Для капилляров: . Для артериол: . Отношение гидродинамических сопротивлений: . Получим расчётную формулу: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу и получим ответ:

.

2.64. Применим уравнение неразрывности, считая кровь несжимаемой жидкостью: Q = S₁V₁ = S₂V₂. Запишем уравнение неразрывности конкретно для созданной модели, считая поперечные сечения кровеносных сосудов круговыми: . Откуда получим расчётную формулу: . Подставим данные из условия задачи в расчётную формулу и получим ответ:

.

2.65. Из формулы Пуазейля для цилиндрической трубки получается формула гидродинамического сопротивления: . Гидродинамическое сопротивление, приходящееся на единицу длины . Гидродинамическое сопротивление единицы длины до разветвления Гидродинамическое сопротивление единицы длины после разветвления:

Правильно изготовленный протез создаёт такие условия течения крови, что механической травмы крови не будет. И это будет тогда, когда кровь будет двигаться по протезу с постоянной скоростью. Силы, действующие на кровь при течении равны нулю, по второму закону Ньютона ускорение крови равно нулю. Изобразим бифуркацию в виде упрощённой схемы.

Применим уравнение неразрывности, считая кровь несжимаемой жидкостью: Q = S₁V₁ = S₂V₂. Запишем уравнение неразрывности конкретно для созданной модели, считая поперечные сечения кровеносных сосудов круговыми: πR²V = 2πr²V. После преобразований, найдём радиус дочернего ствола: R . Искомое отношение гидродинамических сопротивлений:

.