3.27. В задаче 3.26 была найдена резонансная частота:
Для определения амплитуды при резонансе подставим найденное значение резонансной частоты в формулу
В
случае отсутствия затухания:
и
3.28. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: Ft = F0cos(Ωt).
После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени:
xt = Acos(Ωt–φ).
Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.
Скорость
смещения: 
AΩ
{- sin(Ωt–φ)}
= AΩcos(Ωt
– φ +
),
опережает по фазе смещение на
.
Ускорение смещения: A {- cos(Ωt–φ)} =
= , опережает по фазе смещение на .
Перепишем уравнение , учитывая полученные при дифференцировании результаты:
AΩcos(Ωt – φ + ) + Acos(Ωt–φ) =
= .
Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию . На векторной диаграмме гармонические функции и выглядят так:
Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения
AΩcos(Ωt – φ + ) + Acos(Ωt–φ) =
= даёт:
Откуда:
.
В случае отсутствия затухания
β
= 0 и 
,
следовательно, и угол φ = 0. Ответ: φ = 0.
3.29. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: Ft = F0cos(Ωt).
После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени:
xt = Acos(Ωt–φ).
Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.
Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ + ), опережает по фазе смещение на .
Ускорение смещения: A {- cos(Ωt–φ)} =
,
опережает по фазе смещение на
.
Перепишем уравнение , учитывая полученные при дифференцировании результаты:
AΩcos(Ωt – φ + ) + Acos(Ωt–φ) =
= .
Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию . На векторной диаграмме гармонические функции и выглядят так:
Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения
AΩcos(Ωt – φ + ) + Acos(Ωt–φ) =
= даёт:
Откуда:
.
В нашем случае коэффициент затухания
β > 0 и при приближении частоты
вынуждающей силы к собственной частоте
будет стремиться к бесконечности и,
следовательно, угол φ будет приближаться
к 90о.
Ответ: φ → ∞.
3.30.
,
,
,
,
.
Ответ:
