Решения, указания, ответы

3. Колебания и волны, биоакустика.

3.1. Гармонические колебания по закону косинуса происходят в соответствии с формулой:

. Подставим данные из условия задачи в формулу: . Откуда получаем: . И окончательный ответ: .

3.2. Гармонические колебания по закону косинуса происходят в соответствии с формулой:

. Подставим данные из условия задачи в формулу: . Откуда получаем: . И получим окончательный ответ: .

3.3. Из условия ясно, что материальная точка совершает гармонические колебания по закону синуса. Общий вид закона:

. Ускорение получим, дважды продифференцировав смещение по времени.

,

.

Ускорение при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с максимальным значением, равным амплитуде ускорения: .

Ответ: .

3.4. Если в колебательной системе происходят гармонические колебания, то частота этих колебаний не зависит от амплитуды колебаний. Таково содержание закона Галилея.

Гармонические колебания – это «малые» колебания, могут происходить с разными, но небольшими амплитудами. Ответ: частота гармонических колебаний осталась неизменной и равна 46 герцам.

3.5. В данном случае мы имеем дело с частным проявлением биений. Биения возникают при сложении однонаправленных гармонических колебаний разных, но близких частот. Для простоты будем считать амплитуды колебаний равными (обозначим их ), круговая частота первого колебания - , второго – , причём . , . Результат сложения колебаний: . Воспользовавшись известной формулой тригонометрии:

и, положив и , получим: . Учитывая, что:

, получим:

. Полученное соотношение допускает следующее формальное истолкование. Произведение мало меняетсяза товремя, за которое произойдёт много колебаний с круговой частотой . На этом основании будем считать амплитудой биений. Но частота изменения абсолютной величины косинуса в два раза больше частоты изменения самого косинуса. Эту удвоенную частоту назовём частотой биений. Применив эти соображения к задаче, получим:

частоту изменений амплитуды результирующего колебания (частоту биений) = (6003-6000) Гц = 3 Гц. Круговая частота биений Ответ: 3 Гц.

3.6. В данном случае мы имеем дело с частным проявлением биений. Биения возникают при сложении однонаправленных гармонических колебаний разных, но близких частот. Для простоты будем считать амплитуды колебаний равными (обозначим их ), круговая частота первого колебания - , второго – , причём . , . Результат сложения колебаний: . Воспользовавшись известной формулой тригонометрии:

и, положив и , получим: . Учитывая, что: ,

. Полученное соотношение допускает следующее формальное истолкование. Произведение мало меняетсяза товремя, за которое произойдёт много колебаний с круговой частотой . На этом основании будем считать амплитудой биений. Но период изменения абсолютной величины косинуса в два раза меньше периода изменения самого косинуса. Применив эти соображения к задаче, получим: .

3.7. Для ответа на поставленный вопрос достаточно вспомнить уравнение гармонических колебаний.

далее, разделив на массу,

, и обозначив , получим уравнение динамики гармонического движения в каноническом виде: .

Круговая частота гармонических колебаний связана с периодом однозначно: . .

Ответ: .

3.8. ЭКГ, в лучшем случае, представляет собою график периодически повторяющихся комплексов, т.е. не является синусоидой.

Если допустить правильное чередование комплексов – периодичность, то ЭКГ можно представить в виде гармонического ряда (ряда Фурье). Первая гармоническая составляющая в таком ряду (первая или основная гармоника) будет иметь частоту обратную периоду и численно равную ЧСС в секунду. Вторая гармоника будет иметь вдвое большую частоту. Следовательно: = 1,1 ,

Ответ:

3.9. Для ответа на поставленный вопрос достаточно вспомнить уравнение гармонических колебаний.

далее, разделив на массу,

, и обозначив , получим уравнение динамики гармонического движения в каноническом виде: .

Круговая частота гармонических колебаний однозначно связана с частотой: . .

Ответ: .

3.10. Для ответа на поставленный вопрос достаточно вспомнить уравнение гармонических колебаний.

далее, разделив на массу,

, и обозначив , получим уравнение динамики гармонического движения в каноническом виде: .

,

Ответ: .

3.11. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения потенциальной энергии при гармонических колебаниях.

, где , m .

=

=

Полученное выражение потенциальной энергии

говорит о том, что потенциальная энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда потенциальной энергии равна: .

В нашем случае: частота смещения равна: . Частота изменения потенциальной энергии:

. Ответ: .

3.12. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения кинетической энергии при гармонических колебаниях.

, где .

=

.

Полученное выражение кинетической энергии

говорит о том, что кинетическая энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда кинетической энергии равна: .

В нашем случае: частота смещения равна: . Частота изменения кинетической энергии:

.

Ответ: .

3.13. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения потенциальной энергии при гармонических колебаниях.

, где , m .

=

=

.

Полученное выражение потенциальной энергии

говорит о том, что потенциальная энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда потенциальной энергии равна: .

В нашем случае: частота смещения равна: . Частота изменения потенциальной энергии: . Период колебаний потенциальной энергии:

Ответ: .

3.14. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения кинетической энергии при гармонических колебаниях.

, где .

=

.

Полученное выражение кинетической энергии

говорит о том, что кинетическая энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда кинетической энергии равна: .

В нашем случае: частота смещения равна: . Частота изменения кинетической энергии: . Период колебаний кинетической энергии:

Ответ: .

3.15. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения потенциальной энергии при гармонических колебаниях.

, где , m .

=

=

Полученное выражение потенциальной энергии

говорит о том, что потенциальная энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда потенциальной энергии равна: .

В нашем случае: круговая частота смещения равна: . Круговая частота изменения потенциальной энергии:

. Ответ: .

3.16. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения кинетической энергии при гармонических колебаниях.

, где .

=

.

Полученное выражение кинетической энергии

говорит о том, что кинетическая энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда кинетической энергии равна: .

В нашем случае: круговая частота смещения равна: . Круговая частота изменения кинетической энергии:

.

Ответ: .

3.17. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Гармонические колебания происходят в изолированной системе и в случае механических колебаний сумма потенциальной и кинетической энергии в любой момент времени равна полной механической энергии. Полная энергия колебательной системы остаётся постоянной. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения потенциальной энергии при гармонических колебаниях.

, где , m .

=

= .

Закон изменения кинетической энергии при гармонических колебаниях, происходящих по закону косинуса

(

, где .

Выражение для полной энергии колебаний:

+ .

В нашем случае:

.

Ответ: Полная энергия колебательной системы при гармонических колебаниях остаётся постоянной. . ..

3.18. Выражение для полной энергии колебаний:

+ .

Найдём отношение энергий гармонических колебаний для рассматриваемых случаев: . Откуда следует расчётная формула: .

Ответ: = 2

3.19 . По определению . Далее воспользуемся законом изменения амплитуды при затухающих колебаниях

ч.т.д..

3.20. Время, в течение которого произойдут колебаний равно , где период затухающих колебаний. По определению

. Из условия задачи:

или

3.21. Будем предполагать, что имеем дело со случаем, когда в системе наблюдаются затухающие колебания, амплитуда которых экспоненциально убывает со временем по закону: . Пусть – время, за которое произошли n полных колебаний. и . . Откуда: .

Ответ: логарифмический декремент затухания

.

3.22. До предела упрощая ситуацию, будем считать формулу для силы Стокса применимой, хотя скорость шарика при гармонических колебаниях не является постоянной. Сила Стокса - пример диссипативной силы, пропорциональной скорости. Вспомнив дифференциальное уравнение затухающих колебаний: ( или, , обозначив , представив в каноническом виде:

убеждаемся, что: . Коэффициент затухания легко находится из времени, за которое амплитуда колебаний уменьшится в «е» раз.

, .

, .

Ответ: .

3.23. Используя формулу амплитуды затухающих колебаний, запишем выражение для отношения амплитуды в начальный момент A₀ к амплитуде в момент времени t(A_t) : Прологарифмируем полученный результат по основанию e: Запишем формулу для промежутка времени t, используя число полных колебаний n и период колебаний T: t = n · T. Вспомним выражение для логарифмического декремента затухания: Получим расчётную формулу, подставим числовые значения, получим окончательный ответ: