4. Электробиология
4.1. Решение. Согласно определению напряжённость электрического поля является характеристикой данной точки пространства. Электрическое поле считается заданным, если известна векторная величина (напряжённость электрического поля), однозначно определяющая силу, действующую на электрический заряд, помещённый в данную точку поля.
4.2. Решение. Термин напряжение означает разность электрических потенциалов, поэтому напряжение характеризует две точки поля. (Сам электрический потенциал, на самом деле, является разностью потенциалов потенциального электрического поля данной точки и точки, для которой потенциал выбран равным нулю.)
4.3.
Решение.
В качестве модели протонов примем
электрически заряженные шары. Учтём,
что протон является носителем
элементарного положительного заряда
(
)
. Принятая модель позволяет применить
для электрического взаимодействия
формулу аналогичную формуле закона
Кулона (
),
а для гравитационного взаимодействия
формулу аналогичную формуле взаимодействия
точечных масс (
).
В формуле электрического взаимодействия
,
имеет один и тот же смысл расстояния
между двумя точками, а 
Отношение двух сил:
.
Ответ:
.
Десятичный логарифм отношения:
.
В данном случае полученный числовой
результат очень важен, он показывает,
что электрическое взаимодействие в
данном пространственно-временном
масштабе преобладает над гравитационным.
В масштабе человеческого организма
это соотношение сохраняется, иначе
говоря, из четырёх известных видов
взаимодействия, определяющих силовые
взаимодействия, важнейшим для процессов
жизнедеятельности организма являются
электромагнитные взаимодействия.
4.4.
Решение. Электростатический диполь
является электронейтральной системой,
состоящей из двух точечных электрических
зарядов противоположных по знаку и
одинаковых по величине, находящихся
на неизменном расстоянии друг от друга.
Расстояние между зарядами является
модулем вектора плеча диполя. Плечо
диполя 
– вектор, направленный по линии,
соединяющей заряды, от отрицательного
к положительному заряду диполя.
Произведение модуля заряда на плечо
диполя образует вектор дипольного
момента электростатического диполя
(Кл
м).
Для
того, чтобы рассчитать потенциал,
созданный диполем в точке М воспользуемся
известной формулой потенциала точечного
заряда 
и принципом суперпозиции в электростатике.
Согласно принципу суперпозиции
результирующий потенциал будет равен
алгебраической сумме потенциалов,
создающих электростатическое поле.
=
.
Для
тех точек пространства, для которых
выполняется условие: 
электростатический диполь считают
точечным и выведенная формула упрощается
до: 
.
Ответ:
4.5. Решение.
По известному выражению для потенциала
поля точечного электростатического
диполя 
найдём модуль напряжённости поля. При
этом учтём, что особым выделенным
направлением в данном случае окажется
направление, совпадающее с направлением
дипольного момента P.
Если расположить диполь в пространстве
так, что он находится в начале координат
и направлен вдоль оси Y,
то картина силовых линий поля диполя
окажется одинаковой для любой плоскости,
проходящей через вектор дипольного
момента. φ и Ε симметричны относительно
оси Y.
Воспользуемся
связью напряжённости электростатического
поля с его потенциалом
и найдём проекции вектора напряжённости
и
.
После чего модуль вектора напряженности
получится как:
.
На
плоскости XY
,
и
.
Для
проекции 
получим:
.
Для проекции 
получим:
.
Итак:
.
Иначе:
.
Ответ:
.
4.6.
Решение.
Считается известным, что потенциал
электростатического поля, созданного
точечным зарядом 
на расстоянии
от него, определяется по формуле: 
Записав эту формулу для двух расстояний,
где искомый потенциал 
,
расстояние 
и разделив почленно выражение для
искомого потенциала на выражение для
известного потенциала, получим:
.
Ответ:
4.7.
Решение.
Считается известным, что потенциал
электростатического поля, созданного
точечным диполем на расстоянии
от него, определяется по формуле: 
В этой формуле: P
–модуль вектора дипольного момента
(
- дипольный момент диполя, 
- угол между дипольным моментом и
вектором 
).
Записав эту формулу для двух расстояний,
где искомый потенциал
,
расстояние 
и разделив почленно выражение для
искомого потенциала на выражение для
известного потенциала, получим:
.
Ответ:
4.8.
Решение.
Считается известным, что напряжённость
электростатического поля, созданного
точечным электрическим зарядом на
расстоянии
от него, определяется по формуле: 
(вывод формулы студент должен знать).
В этой формуле:
– точечный электрический заряд. Записав
эту формулу для двух расстояний, где
искомая напряжённость 
,
расстояние 
и разделив почленно выражение для
искомой напряжённости на выражение
для известной напряжённости, получим:
.
Ответ:
.
4.9.
Решение.
Считается известным, что напряжённость
электростатического поля, созданного
точечным электрическим зарядом на
расстоянии
от него, определяется по формуле: 
(вывод формулы студент должен знать).
В этой формуле: 
– модуль дипольного момента точечного
диполя. Записав эту формулу для двух
расстояний, где искомая напряжённость
,
расстояние 
и разделив почленно выражение для
искомой напряжённости на выражение
для известной напряжённости, получим:
.
Ответ:
.
4.10.
Решение.
Поскольку, в данном случае, плечо диполя
l
= 100 нм в 
раз меньше расстояния r
= 0,6 м, то диполь является точечным
электростатическим диполем. Считается
известным, что модуль напряжённости
электростатического поля, созданного
точечным электрическим диполем на
расстоянии
от него, определяется по формуле:
(вывод формулы студент должен знать).
В этой формуле:
– модуль вектора дипольного момента
точечного диполя (
- дипольный момент диполя,
- модуль одного из зарядов, образующих
диполь,
– плечо диполя,
- угол между дипольным моментом и
вектором
).
Итак:
.
Ответ:
.
4.11.
Решение.
Поскольку, в данном случае, плечо диполя
l
= 100 нм в 
раз меньше расстояния r
= 0,9 м, то диполь является точечным
электростатическим диполем. Считается
известным, что потенциал электростатического
поля, созданного точечным электрическим
диполем на расстоянии
от него, определяется по формуле: 
(вывод формулы студент должен знать).
В этой формуле:
– модуль вектора дипольного момента
точечного диполя (
- дипольный момент диполя,
- модуль одного из зарядов, образующих
диполь,
– плечо диполя,
- угол между дипольным моментом и
вектором
).
Итак:
.
Ответ:
.
4.12. Решение. Вспомним, что в теории электростатического поля устанавливается связь вектора градиента потенциала и вектора напряженности электрического поля. Пользуясь определением градиента скалярной функции, запишем его общее выражение:
,
где 
– напряжённость электростатического
поля, а
Направив
ось x
поперёк мембраны снаружи внутрь,
поместив 0 на внешней поверхности
клетки, получим конкретное выражение
для вектора градиента:
.
Изобразим график зависимости потенциала
от координаты x:
По
графику можно определить tgα.
Видно, что он отрицательный и равен
производной потенциала по координате
x.
Вычислим производную: 
.
Сформулируем ответ:
,
т.е. вектор градиент потенциала направлен
наружу клетки и по модулю равен 
,
а вектор напряжённости электрического
поля
направлен внутрь клетки.
Ответ:
.
4.13.
Решение.
Реально, используя микроэлектродную
технику, измеряют разность потенциалов
между раствором вне клетки и раствором
внутри клетки. Закон изменения
электрического потенциала внутри
мембраны экспериментально не
устанавливается. В задаче сделано
предположение о том, что напряжённость
электрического поля в мембране постоянна.
Наша задача установить закон изменения
электрического потенциала в мембране.
Связь между электрическим потенциалом
и напряжённостью для электростатического
поля считаем известной 
.
Для такого двумерного мира как мембрана
клетки потенциал должен зависеть только
от расстояния по перпендикуляру к
поверхности мембраны.
.
Постоянство поля означает, что 
и зависимость потенциала от координаты
х линейная, такая как показанная на
рисунке. Из рисунка следует, что:
.
Ответ:
4.14. Решение. Считается известным, что модуль напряжённости электростатического поля, созданного точечным электрическим диполем на расстоянии от него, определяется по формуле: (вывод формулы студент должен знать). В этой формуле: – модуль вектора дипольного момента точечного диполя, - угол между дипольным моментом и вектором .
Итак:
,
откуда 
.
Ответ:
4.15.
Решение.
На диполь, помещённый в электрическое
поле, действует момент силы 
.
В формуле 
механический момент, действующий на
диполь,
- дипольный момент диполя, 
- напряжённость внешнего электрического
поля, в котором находится диполь,
- угол между вектором дипольного момента
и вектором напряжённости внешнего
электрического поля. Максимальный
момент соответствует синусу равному
плюс единице, углу 
.
. Напряжённость поля неподвижного
точечного заряда находится по формуле,
следующей из закона Кулона и определения
напряжённости электрического поля:
.
Следовательно: 
Ответ:
.
.
4.16.
Решение.
Рассчитаем работу сторонних сил, которую
они совершат над системой, чтобы
повернуть диполь. В соответствии с
определением элемент механической
работы 
.
Если рассмотреть движение материальной
точки по окружности при действии
постоянной по величине силы,
то
и 
.
Элемент
работы при повороте объекта с дипольным
моментом получим, если учтём, что 
и момент сил поля противоположны по
знаку.
Для поворота диполя элемент работы 
Конечная
работа сил поля: 
Конечная
работа сторонних сил будет равна работе
сил поля, взятой с противоположным
знаком:
Ответ:
E∙P
(Отметим, что силы электрического поля при этом повороте произведут отрицательную работу (-96 нДж)).
4.17. Решение. Рассчитаем работу сторонних сил, которую они совершат над системой, чтобы повернуть диполь. В соответствии с определением элемент механической работы . Если рассмотреть движение материальной точки по окружности при действии постоянной по величине силы,
то и .
Элемент работы при повороте объекта с дипольным моментом получим, если учтём, что и момент сил поля противоположны по знаку. Для поворота диполя элемент работы
Конечная работа сил поля:
На
рисунке 
.
Ответ:
E∙P
(Отметим, что силы электрического поля при этом повороте произведут положительную работу (+20 нДж)).
4.18.
Решение.
Если считать, что электрический заряд
равномерно распределён по поверхности
Земли, то напряжённость электростатического
поля вне и на поверхности Земли: 
,
где r
– расстояние от центра Земли. Применив
данную, получим: 
.
Ответ:
4.19.
Решение.
Если считать, что электрический заряд
равномерно распределён по поверхности
Земли, то напряжённость электростатического
поля вне и на поверхности Земли:
,
где r
– расстояние от центра Земли.
Соответственно потенциал: 
.
= 
,
где h
– высота над поверхностью Земли.
Ответ:
4.20. Решение. Если считать, что электрический заряд равномерно распределён по поверхности Земли, то напряжённость электростатического поля вне и на поверхности Земли: , где r – расстояние от центра Земли. Соответственно потенциал: .
= , где h – высота над поверхностью Земли.
Искомая разность потенциалов:
Ответ:
.
.
Тело человека в данном случае (электростатика) является проводником. Разность потенциалов между подошвами ног и макушкой головы человека равна нулю.
4.21.
Решение.
В однородном поле вектор напряжённости
электрического поля во всех точках
поля одинаков и направлен вдоль силовой
линии. Это значит, что работу можно
подсчитать по общей формуле для работы
постоянной силы на перемещении 
:
.
Применяя формулу для конкретного
случая, учтём 
,
,
(
).
Окончательно: 
.
Ответ:
.
4.22.
Решение.
В однородном поле вектор напряжённости
электрического поля во всех точках
поля одинаков и направлен вдоль силовой
линии. Эквипотенциальные линии
располагаются перпендикулярно силовым
линиям. Это значит, что работу можно
подсчитать по общей формуле для работы
постоянной силы на перемещении
:
.
В нашем конкретном случае 
(
).
С другой стороны, в потенциальном поле
работу можно подсчитать используя
разность потенциалов
.
.При перемещении вдоль эквипотенциальной
линии 
Окончательно: 
.
Ответ:
.
4.23.
Решение.
Известно, что напряжённость
электростатического поля равна взятому
с минусом градиенту потенциала.
Следовательно, модуль напряжённости
поля и модуль градиента потенциала в
данном случае составляют 300
В/см. Известно, что напряженность поля
между параллельными равномерно
заряженными бесконечными пластинами,
расположенными в вакууме: 
.
В формуле 
- поверхностная плотность заряда на
пластинах, 
электрическая постоянная. Заряд на
одной из пластин:
= 
.
Ответ:
4.24.
Решение.
В качестве модели поля одновалентного
иона выберем поле точечного элементарного
заряда 
.
Напряжённость точечного заряда в
вакууме рассчитывается по формуле:
,
где 
.
Окончательно: 
.
4.25.
Решение.
В качестве модели поля одновалентного
иона выберем поле точечного элементарного
заряда
.
Потенциал точечного заряда в среде
рассчитывается по формуле: 
,
где
,
а 
.
Окончательно:
.
4.26. Решение. Выберем адекватную модель для расчёта напряжённости
электрического поля: одновалентный ион принять за точечный заряд.
Запишем
формулу модуля напряженности
электростатического поля точечного
заряда:
Определим электрический заряд
одновалентного иона: электрический
заряд одновалентного иона равен
положительному элементарному заряду.
Получим расчётную формулу:
Подставим в расчётную формулу числовые
значения, получим окончательный
результат:
4.27.
Решение.
В качестве модели поля одновалентного
иона выберем поле точечного элементарного
заряда
.
Потенциал точечного заряда в вакууме
рассчитывается по формуле: 
,
где
.
Окончательно:
.
4.28. Решение. Электронная поляризация в диэлектриках практически не зависит от температуры.
4.29. Решение. Спонтанная поляризация в диэлектриках сильно зависит от температуры.
4.30. Решение. Ориентационная поляризация в диэлектриках зависит от температуры. Хаотическое тепловое движение интенсивность которого возрастает с увеличением температуры препятствует ориентационному действию внешнего поля.
4.31.
Решение.
Если представить себе ситуацию, при
которой внезапно включённое поле
оказывается действующим на произвольно
ориентированный диполь – молекулу, то
обнаружится возможность такого объекта
совершать крутильные колебания около
положения равновесия. Положение
равновесия в данном случае соответствует
ориентации вектора дипольного момента
по внешнему полю. При небольших
отклонениях от положения равновесия
на диполь будет действовать механический
крутящий момент 
.
В формуле: 
,
q
- элементарный заряд, l
– длина молекулы (она же модуль плеча
диполя).
При
крутильных колебаниях наблюдается
аналогия с колебаниями пружинного
маятника. Возвращающая сила в пружинном
маятнике аналогична возвращающему
моменту крутильных колебаний. (
для малых колебаний).
Смещение
от положения равновесия х в пружинном
маятнике аналогично углу поворота
при крутильных колебаниях. Масса m
колеблющаяся в пружинном маятнике
аналогична моменту инерции крутильного
маятника 
.
Руководствуясь отмеченной аналогией
составим уравнения динамики пружинного
маятника и крутильных колебаний.
пружинный маятник |
крутильные колебания |
основное уравнение динамики. (третий закон ньютона) |
основное уравнение динамики вращательного движения |
|
|
круговая частота гармонических колебаний
|
круговая частота крутильных гармонических колебаний
|
период гармонических колебаний
|
период крутильных гармонических колебаний
|
Период
крутильных колебаний 
.
Ответ:
4.32. Решение. Речь идёт о дисперсии (зависимости от частоты переменного электрического поля) диэлектрической проницаемости биологических тканей. Общий ход такой зависимости представлен на рисунке
Наличие «альфа» зоны определяется перезарядкой (изменением пространственной ориентации электрических диполей) областей, отграниченных друг от друга мембранами так называемыми «компартментами» (по-русски компартмент означает отсек).
4.33. Решение. Речь идёт о дисперсии (зависимости от частоты переменного электрического поля) диэлектрической проницаемости биологических тканей. Общий ход такой зависимости представлен на рисунке
Наличие «бета» зоны определяется ориентацией дипольных моментов, связанных с биомакромолекулами.
4.34. Решение. Речь идёт о дисперсии (зависимости от частоты переменного электрического поля) диэлектрической проницаемости биологических тканей. Общий ход такой зависимости представлен на рисунке
Наличие «гамма» зоны на кривой определяется ориентацией электрических диполей мелких полярных молекул, главным образом молекул воды.
4.35.
Решение.
Основано на законе сохранения
электрического заряда, следствием
которого является уравнение неразрывности.
Для постоянного тока силы выполняется:
.
.
Ответ:
4.36. Решение. Основано на законе сохранения электрического заряда, следствием которого является уравнение неразрывности. Для постоянного тока силы выполняется: .
.
Ответ:
.
4.37. Решение. Основано на законе сохранения электрического заряда, следствием которого является уравнение неразрывности. Для постоянного тока силы выполняется: .
.
Ответ:
.
4.38. Решение. Основано на законе сохранения электрического заряда, следствием которого является уравнение неразрывности и на законе Ома в дифференциальной форме. Для постоянного тока силы выполняется: - уравнение неразрывности.
.
Закон Ома в дифференциальной форме
даёт: 
,
где 
– удельная электропроводимость
одинаковая во всех точках однородного
проводника.
.
Ответ:
.
4.39. Решение. Основано на законе сохранения электрического заряда, следствием которого является уравнение неразрывности и на законе Джоуля – Ленца в дифференциальной форме. Для постоянного тока силы выполняется: - уравнение неразрывности.
.
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной
форме даёт: 
,
где
– удельная электропроводимость
одинаковая во всех точках однородного
проводника.
.
.
Ответ:
.
4.40.
Решение.
1) Действующий фактор – электрический
ток проводимости частотой до 20 МГц,
который является квазистационарным
для электрических цепей длиной до
(можно использовать формулы законов
постоянного тока для мгновенных, средних
и эффективных значений переменного
тока); 2) для частоты электромагнитного
поля ν < 20 МГц, в тканях преобладают
токи проводимости – ткани можно считать
проводниками. (Следовательно,
диэлектрические характеристики тканей
в расчётные формулы не войдут). Тепловой
эффект связан с выделением джоулева
тепла и определяется в соответствии с
законом Джоуля – Ленца в дифференциальной
форме:
Текст условия задачи позволяет сделать вывод о том, что плотности электрического тока будут равными и в мышечной и в жировой ткани (jмыш - плотность электрического тока в мышечных тканях, jжир - плотность электрического тока в жировой ткани).
и 
Если задаться целью, установить простейшую эквивалентную схему биологических тканей для рассматриваемого случая, то её следует изобразить в виде последовательно соединённых активных электрических сопротивлений
,
где:
Rмыш
– сопротивление мышечных тканей, Rжир
– сопротивление жировых тканей.
Выведем
расчётную формулу, подставим
числовые данные, получим окончательный
ответ: 
,
.
,
.
.