3.24. Уравнение затухающих колебаний в каноническом виде:
.
В
этом уравнении 
,
где r
– искомый коэффициент сопротивления.
2
.
-
полная энергия колебаний системы к
началу той минуты, за которую энергия
уменьшилась на p
= 40%. Будем считать, что круговая частота
колебаний 
за
время существования затухающих колебаний
в системе, практически не изменяется
и равна:
.
При затухающих колебаниях амплитуда
уменьшается со временем по закону:
Тогда
энергия при затухающих колебаниях
зависит от времени по закону:
.
Где
– энергия колебаний к началу минуты,
за которую известен процент потери
энергии колебаний.
.
Ответ:
3.25. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: Ft = F0cos(Ωt).
После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени:
xt = Acos(Ωt–φ).
Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.
Скорость
смещения: 
AΩ
{- sin(Ωt–φ)}
= AΩcos(Ωt
– φ +
),
опережает по фазе смещение на
.
Ускорение
смещения: 
A
{-
cos(Ωt–φ)}
= 
,
опережает по фазе смещение на 
.
Перепишем уравнение , учитывая полученные при дифференцировании результаты:
AΩcos(Ωt
– φ +
)
+ 
Acos(Ωt–φ)
=
=
.
Левая
часть полученного равенства представляет
собой сумму трёх гармонических функций
одной и той же частоты Ω, разных амплитуд
и фаз, а правая часть гармоническую
функцию
.
На векторной диаграмме гармонические
функции
и 
выглядят так:
Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения
AΩcos(Ωt – φ + ) + Acos(Ωt–φ) =
= даёт:
Откуда, используя теорему Пифагора, получим:
AΩcos(Ωt
– φ +
)
+ 
Acos(Ωt
– φ) =
=
Ответ:
3.26. Рассмотрим амплитуду как функцию частоты вынуждающей силы Ω и обратим внимание на то, что от Ω зависит знаменатель. Следовательно, минимум выражения в знаменателе соответствует максимуму амплитуды.
Рассмотрим
подкоренное выражение в знаменателе
как функцию частоты вынуждающей силы
и проанализируем эту функцию на условия
минимума. Для чего получим выражение
для производной этой функции.
Необходимое
условие экстремального значения:
имеет
три решения первое очевидно ─
1)
;
второе
и третье найдём, решая уравнение:
2)
,
3)
Условие минимума выполняется, если:
Подсчитаем:
Для , учитывая, что при колебаниях , получаем , что соответствует максимуму знаменателя формулы: Значит, при говорить о резонансе не приходится.
Решение не имеет физического смысла (частота колебаний всегда положительная величина).
Остаётся значение частоты:
При
вторая
производная:
,
если
и
тогда знаменатель формулы:
минимален, а сама амплитуда максимальна.
Следовательно,
резонансной частотой является:
,
иначе:
.