все билеты по сопромату
.pdf1. Предмет курса «Прикладная физика». Связь между механикой и физикой. Значение механики для современной техники. Обзор моделей механики. Число степеней свободы. Материальная точка, абсолютно твердое тело, сплошная среда.
Назначение прикладной физики: дать введение в механику деформируемого. твердого. тела, рассм. инженерные методы расчета и инж. подходу к расчету, дать основу для некоторых дальнейших курсов.
Механика – это искусство построения машин, наука о перемещ. тел в простр. и взаимодействии их друг с другом, техническая наука, явл. частью физики и прикладной математики. Это наука о простейшей форме движ. материи. (u << c).
Механич. движ. – изменение с течением времени положения тел отн. друг друга.
Механика делится на: статика, кинематика, динамика. Различают: механику матер. точки; мех. системы мат. точек; мех. абс. тв. тела; мех. сплошной среды; общую мех.; мех. жидкостей и газов; мех. деформируемого тв. тела.
Механика деформируемого. тв. тела включает: теорию упругости, пластичности, ползучести, вязкой упругости, строительную мех., пластин и оболочек, теорию устойч-сти, механику разрушения, мех. композиционных материалов, теорию колебаний упругих систем, теорию надежности, конструкционную точность и т. д., и все это – механика материалов и конструкций - приклад.
Модели механики – модель – совокупность представлений, зависимостей, условий,ограничений,описывающих процесс, явление. (объект А наз. моделью объекта В, если А отображает наиболее сущ. (с точки зрения данного рассм-я) св-ва объекта В): модель подобия (макет) - объекты имеют одинаковую физ. Природу модель-аналог - имеют разную физ. природу, но опис. аналогич. дифф. ур-ями (колебания)
теоретич. модели - теория, гипотеза, расчетная схема, т.е. научная абстракция изуч. Объектов мат. модель – совокуп-ть мат. ур-ий, опис. наиболее существ. св-ва объект.
Модель прочностной надежности – включает в себя модели материала,формы,нагужения, и разгружения.
Число степеней свободы – число независ. параметров, кот. однозначно определяют положение всех точек системы (ее конфигурацию) в каждый фикс. момент t.
Различают системы: с конечн. числом степ. своб. m, с счетным, сплошные среды (распред, или континуальная система).
Мат. точ. – тело, имеет массу, исчезающе малые размеры для данной системы (3 степ. свободы (n = 3)). При налож. связей n может .
Односторонние связи: x2 + y2 + z2 l, двусторонние связи: x2 + y2 + z2 = l (для маятника на веревке и стержне).Система мат. Точ. – совокупность мат. точек, движ. и положение которых взаимосвязано (n=3N-s). s граничений. Абсолютное тв. тело – расстояние между двумя любыми точками – неизменно. n = 6 (3 линейных 3 угловых).Сплошная среда – полностью заполняет пространство, молекул. строением пренебрег, расстояние между точками ее может изменяться в процессе движ. Модели сплошной среды: идеальный газ, вязкий газ, ионизир. газ, идеальная несжимаемая жидкость, сжимаем. без трения, вязкая, упругая жидкость, линейно-упругое тв. тело, нелинейное у
2. Момент вектора относительно оси и его свойства. Теорема Вариньона для системы векторов,
сходящихся в одной точке. Рассмотрим закрепленный вектор F и некоторую ось n . Через точку О на оси n проведем плоскость . Из точки О опустим
перпендикуляр на направление |
Ft |
.Опр. Моментом вектора F относительно оси |
n наз-ся произведение модуля |
Ft |
на длину перпендикуляра r, опущенного из |
точки пересечения оси
n
с пл-тью
на нап-е век-ра
Ft
.
mom F F r |
|
n |
t |
(знак с
учетом выбора сист. коорд.)Св-ва момента вектора отн. заданной оси:1. мом. вект. отн. зад. оси не зависит от выбора точки О на оси n 2. При определении
мом. вект. отн. зад. оси, вектор |
F можно трактовать как скользящий вектор (сопряж. св-ва). |
Т. Вариньона: Если векторы |
F , F |
,..., F |
сход-ся в одной точке, то момент суммы векторов |
n |
||||
F Fk |
||||||||
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
может быть определен, как моментов каждой составляющей: mom F |
n |
|
|
|||||
|
( F r ) . |
|
||||||
|
|
|
|
n |
k k |
|
||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
3. Момент вектора относительно точки. Моменты вектора относительно координатных осей, как составляющие момента вектора относительно точки. Преобразование момента относительно полюса.
Момент вектора отн. осей: Представим вектор
i , j, k Xi ,Yj
F Xi Yj Zk , где X, Y, Z это коорд. F ( X ,Y , Z )
- единичные орты. Рис. нарисуй (длины проекций на оси
|
|
x |
x |
|
, Zk ). Итак, получим ур-ия: |
|
mom F Yz Zy G |
; |
|
.
-
momy F
Zx
Xz
G |
y |
|
;
mom F Yx Xy G |
|
z |
z |
(1),где x,
y, z – длины проекций вектора F на коорд. оси. Момент вектора отн. точки: Рассм. закрепленный вектор F . r – радиус-вектор положения вектора F . F ( X ,Y , Z ) , r (x, y, z) . Опр.
моментом вектора векторов r и F :
F отн. mom0 F
точки
[r
(полюса) наз. векторное произвед.
F] G .
i |
j |
k |
G |
x |
y |
z |
i ( yZ zY ) j (zX xZ ) k (xY yX ) iG |
x |
jG |
y |
kG |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
Y |
Z |
|
|
|
|
|
|
(2)Сравнивая (1) и (2) можно сделать
вывод: Моменты вектора отн. коорд. осей равны проекциям момента вектора отн-но начала коорд. на соотв. оси.Св-ва мом. вектора отн. полюса:1. Момент вектора отн. полюса G 0 , если r 0 , или F 0 , или r 
F . 2. При опр. мом. век-ра отн. полюса в-р F можно трактовать, как скользящий (велич. мом. не изм.,
если вектор F перенести вдоль линии его действия).3.
Преобраз. момента вектора при переносе полюса.
momc F [(r
r ) F] [r F] [r |
F] mom F |
|
c |
c |
0 |
[rc
F]
Т. Вариньона для системы векторов,
сход. в одной точке отн. одного полюса:
|
0 |
n |
0 k |
|
|||
|
mom F |
|
mom F |
|
|
k 1 |
|
n [r
k 1
Fk
]
.
4. Главный вектор и главный момент системы закрепленных векторов. Классификация случаев
приведения системы векторов. Дано
F , F |
,..., F |
1 2 |
n |
,
r , r |
,..., r |
|
1 |
2 |
n |
. Гл. вект-ом сист. век-ов наз-ся век-р
F
|
n |
F |
k |
F |
|
|
k 1 |
- главный вектор.
|
n |
k |
k |
G |
|
||
|
[r |
F ] |
|
|
k 1 |
|
|
- главн.
момент.1-й инвариант:
F F
- инв. в др. сист. коорд.
|
|
|
|
G -неинвариант/.2-й инвариант:скаляр F G |
G |
G [r F ]; G |
|||
|
|
c |
|
|
|
|
F(G [r F]) FG F[r F] F G , F[r F] 0 .Приведение векторов - операция |
||
F |
G |
|||
замены сист. векторов некоторой эквивалентной сист. состоящей из главного вектора приложенного к данной точке и главного момента. F;G - элементы приведения системы векторов. Классификация :1. F 0 ; G 0
– это справедливо для любой точки приведения. Система эквивалентна 0.2. |
F 0 |
; G 0 – тогда для любой |
||
|
|
|
0 |
. Говорят, что система |
точки приведения G G .3. F 0 – сущ. Множе-ство точек для которых |
G |
|||
сводится к главному вектору. Геом. место точек для кот. выполняется условие |
|
|
||
G 0 , есть – центральная |
||||
|
|
|
|
|
прямая.4. F 0 при этом не сущ. Множ-во точек для которых G 0 . Для любого центра приведения |
||||
система сводится к гл. вект. и гл. мом. |
F и G .Замечание: можно выбрать такой центр приведения, такой |
|||
центр в пространстве, когда векторы |
F G (коллинеарные) (приведение к винту).Условия при кот. система |
|||
векторов сводится к главному вектору:1.
F
0
2.
F G 0
- взаимно ортогональны.
5. Аксиомы классической механики. Основные понятия, входящие в аксиомы. Динамика материальной точки и системы материальных точек.Соотношения между осн-ми понятиями мех-
ки опр-я аксиомами или осн. законами движения, котор. Сфомулировал Ньютон:1- закон инерции; 2
- F
,
F ma
- связь силы и ускорения; 3 -
F |
jk |
|
Fkj
. Принцип относит-сти Галилея: Все
декартовые системы координат движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно эквивалентны между собой с точки зрения определения сил, действующих на материальное тело. r r v0t при t t .Сист. коорд. связанные этим преобразованием образуют множество
инерциальных систем.Одну из них можно условно считать неподвижной, т.о. вводится дополн-й постулат, что сущес-т хотя бы одна инерциальная сист. отсчёта.Движение мат. точки в инерциальной
системе координат подчиняется 2-му закону Ньютона.
d |
(mv) |
|
dt |
||
|
F
|
dr |
|
dv |
|
d |
2 |
r |
|
|
r r (t), (t),v v(t) ; v(t) |
- скорость; (t) |
|
|
- ускорение. |
|||||
dt |
dt |
dt |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Масса мат.точки – одна из основных хар-стик материи, инерц. и гравитац. свойств. Сила – мера взаимодействия
поля, приводящая к появлению ускорения. |
m F |
или |
кот. мат.
md 2 dt
является мерой её тела или мат. тела и
r |
F или |
|
2 |
||
|
.Действие отдельных материальных точек описывается 1-м и 2-м законом Ньютона,
действие 2 материальных точек описывается 3-м законом Ньютона.Основная задача динамики точки: состоит в определении равнодей-щей сил выз-щей заданное движение мат.точки с известной
массой. Задача сводится к определению ускорения из известных уравнений движения. rj |
r (t);mj |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m |
|
|
j |
F |
; |
|
|
|
j |
. Задаются силы, прилож-е к точке: F |
, t t |
, |
r |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
j |
|
|
|
|
2 |
|
j |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
dt |
|
j |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
j |
0 |
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
r |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
v0 . Найти rj |
(t) . m |
|
F |
, F Fk . F ( X ,Y , Z ) , r (x, y, z) , тогда: |
|||||||||||||||||||||||||
dt |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
x |
|
|
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|||||
m |
|
X , |
m |
|
Y |
, m |
|
Z – дифференциальные ур-ия |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dt |
2 |
|
|
dt |
2 |
|
dt |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
движения для мат. точ.Дифф. уравнения движение системы мат. точек: Fj – главный вектор |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
внешних сил,
F |
i |
|
j |
||
|
–главный вектор внутренних сил.
|
|
2 |
r |
|
m |
|
d |
j |
|
|
|
|
||
j |
dt |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Fje
F |
i |
|
j |
||
|
.
