все билеты по сопромату
.pdfсечений. Проведем оси коорд. через центр тяж. попереч. сеч. Возьмем малую плошадку dF на сечении. татич. момент попереч. сеч. отн. оси Х: Sx = FydF (Sy = FxdF). Осевой момент инерции:
Ix = Fy2dF (Ix = Fy2dF). Центробежный момент инерции: Ixy = FxydF. (если он = 0, то оси х и у – главные центральные оси). Изогнутая ось стержня наз. упругой кривой. Если все силы лежат в одной
з плоскостей инрц., то изгиб наз. прямым. Классификац. изгибов. прямой (чистый Мх = 0, Qy = 0, My 0, Qx = 0; поперечный Qy 0, Qx 0); косой (чистый Qx = Qy = 0; поперечный Mx 0, My 0, Qy 0, Qx 0). Дифф. зависимость: Рис.: балка, посередине на некотор. участке ее рапред. нагр. q. А
в нем кусочек dz. Ф-лы: y = 0: Qy + qdz – (Qy + dQy) = 0. dQy/dz = 0. mom = 0: Qydz + Mx + qdz(dz/2)
– Mx – dMx = 0. dMx/dz = Qy. d2Mx/dz2 = q.
См фото
23. Чистый прямой изгиб. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Расчеты на прочность. Рациональные формы попереч. сечений при изгибе. Чистый изгиб балки: Mx = - F dFy (Mу = -
F хdF). Вывод ф-лы для кривизны нейтр. слоя при чистом изгибе. Рис.: стержень nn, в нем кусок длиной dz, причем на высоте у от линии nn помечен отрезок АВ. Сечение овальное. После изгиба: прложен момент по краям Mx, радиус кривизны , отрезок АВ перешел в A'B', угол его d . dz = d .
= (A'B' – AB)/AB = (( - y)d - d ) d = - y/ . Итак: = - y/ . = E = - Ey/ . Нарис. график
попереч. напряж. Т. к. изгиб чистай, Мх 0; |
Nz = 0; My = 0; Qy = 0; Qx = 0… |
Nz = FSdF = 0. F(- |
||||||||||
Ey/ )dF = 0 FydF = 0. |
Статич. момент: SN-N = FydF = |
0 ось N-N – проходит через центр |
||||||||||
тяжести сечения. Q , Q |
y |
– главные центральные оси. M |
x |
= - dF = |
= (E/ )y2dF = |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
F y |
|
|
F |
||
(E/ ) y2dF. Осевой момент инерции I |
x |
= y2dF. M |
x |
= EI / . Кривизна 1/ = М |
/Ey |
x |
жесткость |
|||||
F |
|
|
F |
|
x |
|
x |
|
|
|||
сечения при изгибе. Фор-ла для напряж. при чистом изгибе. = - (E/ )y = - (Mx/Ix)y. = - (Mx/Ix)y. Момент сопротивления при изгибе. Пусть сечение – симметрично отн. оси ОХ. Рис. оси, сечение –
овал. Высота h, отн-но горизонт. оси до краев ymax = h/2. max = (Mx/Ix)ymax. Wx = Ix/ymax. max = Mx/Wx. Рац. попереч. сеч. при изгибе. для пластичн. матер. – симметричн, т. к. [ ]p = [ ]c. (растяж.
сжатие). Для хрупких – антисимм., т. к. [ ]p [ ]c (иногда в несколько раз). Расчет на прочность:
max = Mx/Wx. dMx/dz = Qy.. Прямой поперечный изгиб. Мх 0, Qy 0. Mx = - F ydF. Qy = ∫F dF.
(Наруш. гипот. плоских. сеч., наруш. гипот. о не надавл. волокон). Нормальные напряжения: = - (Mx/Ix)y. Касат. напряж: ф-ла Журавского: = QySx /Ixb. Qy – поперечная сила. Ix – осевой момент сечения. b – ширина сечения. Sx - статич. момент отсеченной части. Рис.: оси х и …, овал, вверху примерно на половине линия, отсек. верхн. часть, длина ее b, на ней действуют (направл. ). Рис. 2: тоже, но верхн. часть заштрих., ее плошадь – F, расст. от оси х до ее центра – x(?). татич. момент попереч. сеч. отн. оси Х: Sx = FydF (Sy = FxdF).
24. Определение перемещений при изгибе. Энергетический метод Примем гипотезы:1)материал следует
закону Гука. 2)силы прикладываются квазистатически.3)перемещения малы. Чистый изгиб: |
|
|
∫ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поперечный изгиб: |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
где |
жесткость поперечного сечения при сдвиге |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
всегда чуть больше единиц |
для л бого сечения |
|
ширина сечения в текущей точке. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
статический момент отсечённой части поперечного сечения относительно оси |
Интеграл Максвелла – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Мора для деформации изгиба Перемещения в системе определяются следующим образом: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
растяжение |
|
|
|
|
|
изгиб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для вычисления |
необходимо:1)Построить эпюру |
в системе загруженной внешними |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
силами.2)Построить эпюру . Причём, если требуется найти |
, прикладывается |
|
|
. Если ищется , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прикладывается |
|
|
.Интеграл Максвелла – Мора может вычисл. двумя способами: по правилу Вере- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( ) ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
щагина и по ф-ле Симпсона .Ф. Симпсона: |
|
|
|
|
( |
|
) ( |
|
) |
( ) |
( ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Применима, если:1) |
– длина участка, где эпюры идут по одинаковым законам.2) |
|
|
|
на отрезке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
.3)ось стержня прямолинейна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
25. Расчет статически неопределимых систем при изгибе.
Результаты, полученные для расчета методом сил для статически неопределимых систем работающих на растяжение/сжатие, могут быть применены для расчета статически неопределимых систем работающих на изгиб.1.Выбираем основную систему (это может быть сделано не единственным образом)
2.Вместо отброшенных связей прикладываем лишние неизвестные x1,x2,…,xn
3.Потребуем условия: основная система под действием внешних сил находится в таком же напряженнодеформируемом состоянии, как заданная система∑
Nz→Mx |
δjk=∫ ∑ |
|
|
̅ ̅ |
|
jk=∫ ∑ |
̅ |
̅ |
Определение усилий в исходной системе после |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
нахождения { |
} |
проводится с использованием принципа независимости действия сил. |
||||||||||||
M (z)=M |
+ ̅ |
x |
+ |
̅ |
x |
+…+ ̅ |
x |
k |
|
|
|
|||
x |
p |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
k |
|
|
|
|
||