2.2 Статистика электронов и дырок

Задача статистики – определение концентрации «свободных», то есть участвующих в электропроводности электронов и дырок. Мы решаем, как при данной температуре заполнены квантовые состояния в зоне.

2.2.1 Заполнение электронами зон вырожденного полупроводника

Для расчета распределения квантовых частиц (будь то электроны или фононы) по энергетическим уровням используется понятие функции распределения частиц по энергиям или вероятность заполнения энергетического уровня.

Допустим, имеется электронная система, в которой распределение энергетических уровней описывается функцией, зависящей от энергии N(E). Имеется n электронов, которые как-то распределены по уровням. Часть из этих уровней заполнена электронами, часть свободна. Если T=0 K, то будут заполнены только нижние энергетических уровней. Если систему нагреть до некоторой температуры T, то часть электронов, перейдет на более высокие уровни. Нельзя точно сказать какой электрон и с какого на какой уровень перейдет, но можно сказать, что после нагрева энергия электронной системы стала выше на величину полученной тепловой энергии. Вероятность заполнения состояния с энергией E электроном задается статистической функцией Ферми-Дирака:

(1.18)

где k – постоянная Больцмана, F – энергия Ферми. Отметим, что значение kT=0,026 эВ при комнатной температуре много меньше ширины запрещенной зоны рассмотренных полупроводников (табл. 1.1).

Энергия Ферми служит некоторой границей, разделяющей заполненные и незаполненные состояния системы. Действительно, вероятность заполнения энергетического уровня с энергией Ферми (Е=F) согласно (1.18) составляет: f(F)=½. Все состояния с энергией меньшей энергии Ферми имеют вероятность заполнения больше ½. Все состояния находящиеся выше уровня Ферми имеют вероятность заполнения меньше ½. На рис.1.6 приведена зависимость f(E), рассчитанная для различных температур.

Рис. 1.7

Если на систему наложить внешнее электрическое поле, то электроны начнут приобретать энергию и смогут участвовать в электропроводности. Причем в электропроводности смогут принимать участие только те электроны, которые расположены на уровне Ферми и выше него. Электроны, находящиеся у дна зоны проводимости принимать участие в электропроводности не смогут, так как всё соседнее энергетическое пространство занято.

Чтобы определить, какое число электронов в системе может принимать участие в электропроводности, необходимо рассчитать распределение концентрации электронов по энергиям и проинтегрировать эту зависимость по всей разрешенной зоне как произведение плотности состояний на вероятность их заполнения:

,	(1.19)
	(1.20)

Если уровень Ферми F находится в этой зоне, то он разделяет заполненные и незаполненные её части. Если температура сравнительно низкая, то все уровни, лежащие ниже уровня Ферми заполнены электронами, и все уровни находящиеся выше уровня Ферми свободны (рис. 1.7).

2.2.1 Заполнение электронами и дырками зон невырожденного полупроводника

Вероятность заполнения энергетического уровня для частицы с полуцелым спином (фермионов), то есть вероятность нахождения электрона на уровне с энергией E, определяется статистикой Ферми-Дирака (1.18)

(2.4)

где k – постоянная Больцмана, F – энергия Ферми.

(1.19)

Рис. 1.7

Для невырожденного полупроводника E-F»kT, »1, тогда можно применить статистику Максвелла-Больцмана:

(2.4)

Для того чтобы рассчитать концентрацию всех свободных электронов, т.е. концентрацию электронов в зоне проводимости, необходимо проинтегрировать по всей зоне проводимости, согласно (1.19). Поскольку функция Больцмана – очень быстро спадающая экспонента, при интегрировании по зоне в качестве верхнего предела использована ∞:

(2.6)

где N_с – эффективная плотность состояний в зоне проводимости или плотность квантовых состояний у дна зоны проводимости в свою зависит от температуры.