Вследствие непрерывных столкновений данная молекула движется по некоторой ломаной линии.
Ударившись об одну из неподвижных молекул, она меняет направление движения и движется прямолинейно до следующего столкновения.
Молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых лежат внутри "ломаного" цилиндра с площадью сечения
эфф = πd2эфф.
«Ломаный» цилиндр |
|
dэфф |
|
Объём «ломаного» цилиндра: |
V d2 ЭФФ v |
Число столкновений z равно числу молекул,
попавших в область «ломаного» цилиндра.
Число молекул найдем, умножив объём этого цилиндра V= d2эфф v на концентрацию молекул n:
z d2эффn v .
Здесь учтена скорость молекулы относительно
стенок сосуда.
На самом деле нужно учесть, что все молекулы движутся.
Скорость движущейся молекулы относительно движущихся молекул в 
2 раз больше скорости молекулы относительно стенок сосуда.
Тогда среднее числа столкновений запишется как:
z 
2 d2эфф n v
Длина свободного пробега молекул:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2эфф n |
||
|
||||
2 |
||||
|
|
|
|
|
Концентрацию молекул можно определить из основного уравнения молекулярно-кинетической теории:
P nkT
n kTP
Окончательно формулу для длины свободного пробега молекул запишем в виде:
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
d2эфф P |
||
2 |
||||
Проанализируем полученное выражение для различных изопроцессов.
1.При изохорном нагревании Р/Т = const (Т/Р = соnst):
-эффективный диаметр молекул уменьшается;
-следовательно, длина свободного пробега молекул увеличивается.
2. При изотермическом расширении:
-Т и dэфф не изменяются,;
-давление уменьшается;
-следовательно, длина свободного пробега увеличивается ( 1/Р).
Произведём оценку длины свободного пробега при разных давлениях для молекул кислорода.
1)При нормальных условиях:
Р= 105 Па, Т = 273 К, dэфф = 0,3 нм.
λ |
|
|
1,38 10 23 273 |
|
|
|
|
3,14 9 10 20 105 |
|
||
2 |
|
||||
9,5 10 8 м 95 нм |
|
|
|||
Эта величина в 100 раз превосходит диаметр молекулы.
1)При давлении Р=760 мм.рт.ст.
длина свободного пробега молекул кислорода порядка 100 нм = 0,1 мкм.
2) При давлении Р = 10-3 мм. рт. ст.
длина свободного пробега ~ 7 см.
3) При Р = 10-7 мм. рт. ст.
длина свободного пробега достигает величины порядка
700 м.
Зависимость длины свободного пробега от давления
Р
Длина свободного пробега увеличивается с уменьшением давления.