Глава 5. Методы поиска глобального минимума одномерных функций.

5.1 Метод перебора. Одномерный метод Монте-Карло

Некоторые методы решения многомерных задач оптимизациитребуют решения одномернойзадачи глобальной оптимизации(или совокупности таких задач).

Рассматривается следующая одномерная задача условной глобальной оптимизации): найти минимум, вообще говоря,многоэкстремальной функции (), определенной в замкнутой области допустимых значений ,

Метод перебора

Схема метода перебора(см. рис. 1):

Рис. 1.  К схеме метода перебора.

1. Покрываем интервал некоторой сеткой с узлами , [1,].

2. Производим испытаниев точке , т.е. вычисляем значения функции в этой точке.

3. Полагаем .

4. Производим испытаниев точке - вычисляем значение () функции () в этой точке.

5. Если , то выполняем присваивания , .

6. Если , то выполняем присваивание 1 и переходим на п.4). Иначе - заканчиваем вычисления.

7. Принимаем в качестве приближенного значения точки глобального минимума функции () на интервале [,] или каким-либо из рассмотренных одномерных методов локальной оптимизацииорганизуем в окрестности точки поиск локального минимума этой функции

При выборе количества узлов сетки , [1,] можно исходить из требуемой точности решения – максимальный шаг сетки принять равным этой величине.

Отметим, что метод перебора, как и любой другойметод глобальной оптимизации, при отсутствии априорной информации о свойствах минимизируемой функции не гарантирует нахождение глобального минимума (см. пунктирный график на рис. 1).

Одномерный метод Монте-Карло

Схема одномерного метода Монте-Карло:

1. Генерируем с помощью какого-либо программного генератора случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [,], случайное число .

2. Производим испытаниев точке - вычисляем значения функции () в этой точке.

3. Полагаем 2.

4. Аналогично п. 1) генерируем случайное число [,] .

5. Производим испытаниев точке - вычисляем значение () функции () в этой точке.

6. Если , то выполняем присваивания , .

7. Если , то выполняем присваивание 1 и переходим на п. 4). Иначе - заканчиваем вычисления. Здесь – количество испытаний.

8. Принимаем в качестве приближенного значения точки глобального минимума функции () на интервале [,] или каким-либо из рассмотренных одномерных методов локальной оптимизацииорганизуем в окрестности точки поиск локального минимума этой функции

При достаточно большом метода гарантирует нахождение глобального минимума с высокой вероятностью.

5.2 Метод выделения интервалов унимодальности

Рассмотрим одномерную задачу условной глобальной оптимизации): найти минимум одномерноймногоэкстремальной функции (), определенной в замкнутой области допустимых значений и имеющей в этой области конечное число минимумов,

Метод выделения интервалов унимодальностифункции () требует априорного знания оценки 0 минимального расстояния между локальными минимумами этой функции.

Схема метода (см. рис. 1):

Рис. 1.  К схеме метода выделения интервалов унимодальности.

1. Полагаем =1.

2. Если функция () в точке возрастает, то полагаем переходим на п. 4).

3. Если функция () в точке убывает, то полагаем и переходим на п. 5).

4. Последовательно увеличивая на величину по формуле , , находим первую точку , в которой функция () убывает. Здесь и далее - величина в несколько раз меньшая величины .

5. Последовательно увеличивая на величину по формуле , , находим первую точку , в которой функция () возрастает.

6. В качестве -го интервала унимодальности принимаем интервал [,].

7. Если интервал [,] исчерпан, переходим на п.8), иначе полагаем , и переходим на п.4).

8. Положим, что общее количество найденных интервалов унимодальности функции () равно -1. Каким-либо одномерным методом локальной оптимизациинаходим локальный минимум функции () в каждом из -1 интервалов унимодальности. Обозначим точки этих минимумов . Соответствующие значения функции () обозначим , . Добавим к точкам точки , и вычислим соответствующие значения , функции ().

9. Найдем минимальную из величин , [0,] и соответствующее значение аргумента: .

10. В качестве решения задачи глобальной оптимизации(1) примем точку

На рис. 1 интервалами унимодальности являются интервалы [, ], [, ], [, ].

Для определения того, возрастает или убывает в данной точке функция (), может использоваться ее первая разность в этой точке , где - некоторая малая величина. А именно, если >0, то функция возрастает в точке ; иначе – убывает. Заметим, что при этом в каждой точке требуется выполнить дополнительное испытаниефункции ().

Если функция () непрерывно дифференцируема в интервале [,], то для определения того, возрастает или убывает в данной точке эта функция, можно, очевидно, использовать значения первой производной функции () в этой точке. А именно, если , то в точке функция () возрастает; в противном случае – убывает.

Замечание 1. Если априорная оценка минимального расстояния между локальными минимумами функции () отсутствует, то никаких оснований полагать, что в интервалах, выделенных с помощью рассмотренного алгоритма, функция () является унимодальной функцией. Пусть, например, функция () на интервале [,] постоянна (см. рис. 2). Если к такой функции применить алгоритм выделения интервалов унимодальности с любым >0, то в качестве интервала унимодальности будет выделен интервал , на котором функция () имеет бесконечное количество минимумов, т.е. не является унимодальной функцией

Рис. 2.  К замечанию 1.

5.3 Метод аппроксимирующих моделей

Рассмотрим одномерную задачу условной глобальной оптимизации): найти минимум одномерноймультимодальной функции (), определенной в замкнутой области допустимых значений :

Схема метода

Схема метода аппроксимирующих моделей(см. рис. 1):

1. Покрываем интервал [,] некоторой сеткой с узлами и производим испытанияв точках , т.е. вычисляем значения функции () в этих точках , .

2. Строим аппроксимирующую функцию (), проходящую через точки , . Эту функцию принято называть математической моделью минимизируемой функции () или модельной функцией.

3. Оцениваем адекватность построенной модели (). Для этого:

• производим дополнительные испытанияфункции () в некоторых точках , ;

• вычисляем значения модельной функции () и функции () в этих точках (), ;

• вычисляем погрешность аппроксимации, например, .