ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Системный анализ и элементы оптимизации»

Омск

Издательство ОмГТУ

2008

Составитель:

Шендалева Елена Владимировна, канд. техн. наук

Методические указания посвящены практическому использованию методов системного анализа и теории принятия решений.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета.

Практическая работа № 1 Метод оценки преимуществ альтернатив (promethee-метод)

Цель работы: Определение предпочтительности альтернатив.

Для каждого критерия проводят парное сравнение всех альтернатив друг с другом, при этом рассчитывают разницу d_k между значениями и . По значению d_k определяют значение показателя приоритетности p_k(A_i, A_j) = p_k[f_k(A_i) – f_k(A_j)] = p_k[d_k(A_i, A_j)], где A = {A₁, A₂, …, A_i, …, A_j} – множество альтернатив, – количественное проявление альтернативы A_i относительно критерия k. Показатель приоритетности p_k(A_i, A_j) Î [0, 1] показывает, в какой степени альтернатива предпочтительней альтернативы . Для d_k ≤ 0 p_k(A_i, A_j) = 0; при строгом преимуществе по отношению к p_k(A_i, A_j) = 1; для p_k(A_i, A_j) Î [0, 1] значение p_k(A_i, A_j) определяется величиной d_k с помощью функции приоритетности. Существуют шесть типовых функций приоритетности, представляемых в виде обобщенных критериев (рис. 1.1).

Обычный критерий	Воображаемый критерий	Критерий Гаусса
Ступенчатый критерий	Критерий с линейным преимуществом	Критерий с линейным преимуществом и областью индифферентности

Рис. 1.1. Функции приоритетности

Обобщенный критерий уточняют с помощью выбора относящихся к нему параметров (q, s, s). Функции приоритетности отражают приоритеты ЛПР относительно значений соответствующего критерия. Для каждой пары альтернатив (A_i, A_j) по каждому критерию определяют два показателя приоритетности, характеризующие преимущество A_i по отношению A_j и преимущество A_j по отношению A_i. Относительную значимость отдельных критериев k устанавливают с помощью факторов взвешивания w_k из условия .

Для определения преимущества альтернативы A_i по отношению к A_j формируют средневзвешенное значение всех показателей приоритетности p_k(A_i, A_j), относящихся к альтернативам A_i и A_j. Для целевых функций, стремящихся к минимуму, значения показателей p_k(A_i, A_j) умножают на –1.

Пример

Определить приоритетность альтернатив (приобретение ноутбука) с помощью Promethee-метода по четырем критериям: Ц (цена, тыс. руб.); ТЧП (тактовая частота процессора, МГц); ОП (оперативная память, Мбайт); ДП (дисковая память, Гбайт) (табл. 1.1). Определить значения функций приоритетности (табл. 1.2). Построить граф приоритетности альтернатив.

Таблица 1.1. Значения целевых критериев альтернатив

Альтернатива	Ц, тыс. руб.	ТЧП, МГц	ОП, Мбайт	ДП, Гбайт
А1	54	800	64	120
А2	42,5	600	32	160
А3	23	300	64	40
А4	29	480	32	80
А5	60	750	128	200

Для определения приоритетности альтернатив необходимо установить веса w_k, например, w₁ = 0,32; w₂ = 0,25; w₃ = 0,2; w₄ = 0,23, тогда:

;

Q(A₁,A₂) = 0,32p₁(A₁,A₂) + 0,25p₂(A₁,A₂) + 0,2p₃ (A₁,A₂) + 0,23p₄(A₁,A₂).

Таблица 1.2. Функции приоритетности целевых критериев

Целевой критерий	Обобщенный критерий и функции приоритетности
Ц	Воображаемый критерий, q = 6 p1(d1) = 0, если d1 ≤ 6 p1(d1) = 1, если d1 > 6
ТЧП	Ступенчатый критерий, q = 100, s = 200 p2(d2) = 0, если d2 ≤ 100 p2(d2) = 0,5, если 100 < d2 ≤ 200 p2(d2) = 1, если d2 > 200
ОП	Критерий с линейной функцией приоритетности и областью индифферентности; q = 16, s = 32 p3(d3) = 0, если d3 ≤ 16 p3(d3) = (d3 – 16) / 16, если 16 < d3 ≤ 32 p3(d3) = 1, если d3 > 32
СДП	Критерий с линейной функцией приоритетности; s = 40 p4(d4) = 0, если d4 ≤ 0 p4(d4) = d4 / 40, если 0 < d4 ≤ 40 p4(d4) = 1, если d4 > 40

Разницу в значениях критериев альтернатив A₁ и A₂ (табл. 1.1) подставляют в функции приоритетности с последующим их преобразованием в показатели приоритетности (табл. 1.2):

Q(A₁,A₂) = 0,32p₁(–54 – (–42,5)) + 0,25p₂(800–600) + 0,2p₃(64–32) +

+ 0,23p₄(120–160);

Q(A₁,A₂) = 0,32p₁(–11,5) + 0,25p₂(200) + 0,2p₃(32) + 0,23p₄(–40);

Q(A₁,A₂) = 0,32  0 + 0,25  0,5 + 0,2  1 + 0,23  0 = 0,325.

Так же рассчитывают и значение Q(A₂,A₁):

Q(A₂,A₁) = 0,32p₁(–42,5 – (–54))+0,25p₂(600–800)+0,2p₃(32–64) +

+ 0,23p₄(160–120);

Q(A₂,A₁) = 0,32p₁(11,5) + 0,25p₂(–200) + 0,2p₃(–32) + 0,23p₄(40);

Q(A₂,A₁) = 0,32  1 + 0,25  0 + 0,2  0 + 0,23  1 = 0,55.

Результаты расчета значений Q_ij приведены в табл. 1.3. В таблице также приведены суммы значений Q_ij в строках (F⁺) и столбцах (F^–).

Частные показатели приоритетности альтернатив определяют по F⁺ и F^–. Например, альтернатива А₁ предпочтительнее альтернативы А₄ (А₁ А₄), так как F₁⁺ > F₄⁺ и F₁^¯ < F₄^¯; по сравнению с альтернативой А₅ альтернатива А₁ менее благоприятна (А₅ А₁), так как F₅⁺ > F₁⁺ и F₅^¯ < F₁^¯; с альтернативой А₂ альтернатива А₁ не сопоставима (А₁нсА₂), при этом F₂⁺ > F₁⁺ и F₂^¯ > F₁^¯ и так далее. Частные показатели приоритетности приведены в табл. 1.4.

Общий порядок приоритетности альтернатив можно изобразить в виде графа, в котором вершины являются альтернативами; ориентированное ребро от вершины А_i к вершине А_j означает предпочтительность альтернативы А_i по отношению к альтернативе А_j; отсутствие ребер между вершинами А_i и А_j – несопоставимость этих альтернатив; висячая вершина графа – самая приоритетная альтернатива, а тупиковая вершина – самая слабая из всех альтернатив (рис. 1.2). Упрощение графа осуществляют путем удаления из него избыточных ребер предпочтений (рис. 1.2).

Таблица 1.3. Значения частных показателей приоритетности

Альтернативы	А1	А2	А3	А4	А5	F+
А1	0	0,325	0,480	0,680	0,000	1,485
А2	0,550	0	0,480	0,355	0,320	1,705
А3	0,320	0,520	0	0,200	0,320	1,360
А4	0,320	0,320	0,355	0	0,320	1,315
А5	0,430	0,555	0,680	0,680	0	2,345
F¯	1,620	1,720	1,995	1,915	0,960

Таблица 1.4. Частный порядок приоритетности альтернатив

Альтернативы	А1	А2	А3	А4	А5
А1	*1	А1нсА2	А1 А3	А1 А4	А1 А5
А2	А2нсА1	*	А2 А3	А2 А4	А2 А5
А3	А3 А1	А3 А2	*	А3нсА4	А3 А5
А4	А4 А1	А4 А2	А4нсА3	*	А4 А5
А5	А5 А1	А5 А2	А5 А3	А5 А4	*

Рис. 1.2. Граф приоритетности альтернатив

Задание

1. Определить средневзвешенные значения показателей приоритетности альтернатив для заданного варианта.

2. Составить таблицу частного порядка приоритетности альтернатив.

3. Построить граф приоритетности альтернатив. Упростить граф.

Содержание отчета

1. Расчет средневзвешенных значений показателей приоритетности альтернатив.

2. Таблица средневзвешенных значений показателей приоритетности альтернатив.

3. Таблица частного порядка приоритетности альтернатив.

4. Полный и упрощенный граф приоритетности альтернатив.

Вопросы

1. Понятия цели и критерия.

2. Критерии принимаемых решений.

3. Понятие альтернативы.

4. Обобщенные критерии и показатели приоритетности.

5. Параметры обобщенного критерия.