Практическая работа № 3 Мультипликативный метод аналитической иерархии

Цель работы: Определение предпочтительности альтернатив.

При измерении физических величин, таких как вес, громкость звука, яркость света, связь между субъективными измерениями двух критериев и отношениями значений самих критериев может быть представлена универсальным степенным законом:

f(S₁) / f(S₂) = (S₁ / S₂)^, (3.1)

где S₁, S₂ – критерии; f(S₁), f(S₂) – субъективные оценки критериев; b – положительная постоянная. Этот подход может быть использован при сравнении альтернатив.

В общем случае переход от вербальных сравнений к количественным значениям задается шкалой табл. 3.1.

Таблица 3.1. Шкала относительной важности

Уровень важности	Количественное значение
Намного превосходит	–6
Строго превосходит	–4
Превосходит	–2
Примерно равно	0
Превосходит	2
Строго превосходит	4
Немного превосходит	6

Мультипликативный метод аналитической иерархии предлагает выполнение следующих этапов:

1. Первичное измерение предпочтительности с помощью вербальной шкалы, сравнение критериев и альтернатив по определенным критериям. Значение менее предпочтительного сравнения имеет противоположный знак по отношению к значению более предпочтительного сравнения.

2. Преобразование оценок предпочтительности в количественные значения _ij по шкале относительной важности (табл. 3.1).

3. Экспоненциальное преобразование количественных оценок предпочтительности в виде

r_ij = exp(p_ij), (3.2)

где р = 0,7.

4. Определение весов элементов иерархического уровня. Коэффициенты весомости критериев w_i определены формулой (3.3):

, (3.3)

где i – индекс критерия, v_i – результаты сравнения, k – число критериев.

Коэффициенты весомости альтернатив V_ij определены формулой (3.4):

, (3.4)

где n – число альтернатив, ji – индекс j-ой альтернативы по i-му критерию, v_ji – результаты сравнения.

Веса альтернатив V_j определены формулой (3.5):

(3.5)

Пример

Имеются те же четыре альтернативы: А, В, С, D – варианты ноутбука. Коэффициенты весомости критериев представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2. Сравнение критериев

Критерий	K1		K2		K3		Среднее геометрическое	Вес критерия
K1	0		4		2		4,055	0,799
		1		16,44		4,06
K2	–4		0		2		0,627	0,124
		0,06		1		4,06
K3	–2		–2		0		0,393	0,077
		0,25		0,25		1

Коэффициенты важности альтернатив представлены в табл. 3.3 – 3.5.

Таблица 3.3. Сравнение альтернатив по критерию K₁

Альтер-натива	A		B		C		D			Среднее геометрическое	Вес критерия
А	0		–4		–6			–8		0,043	0,003
		1		0,06		0,014			0,004
B	4		0		–2			–4		0,705	0,046
		16,44		1		0,25			0,06
C	6		2		0			–2		2,858	0,188
		66,69		4,06		1			0,25
D	8		4		2			0		11,588	0,763
		270,4		16,44		4,06			1

Табл. 3.4. Сравнение альтернатив по критерию K₂

Альтер-натива	A		B			C		D			Среднее геометрическое	Вес критерия
А	0			–8		–4			–6		0,043	0,004
		1			0,004		0,061			0,015
B	8			0		2			1,5		7,482	0,652
		270,4			1		4,06			2,85

Окончание табл. 3.4

Альтер-натива	A		B			C		D			Среднее геометрическое	Вес критерия
C	4			–2		0			–1,5		1,091	0,095
		16,44			0,25		1			0,35
D	6			–1,5		1,5			0		2,858	0,249
		66,69			0,35		2,85			1

Таблица 3.5. Сравнение альтернатив по критерию K₃

Альтер-натива	A		B			C		D			Среднее геометрическое	Вес критерия
А	0			2		4			8		11,588	0,763
		1			4,055		16,44			270,4
B	–2			0		2			6		2,858	0,188
		0,247			1		4,055			66,69
C	–4			–2		0			4		0,705	0,046
		0,061			0,247		1			16,45
D	–8			–6		–4			0		0,043	0,003
		0,004			0,015		0,061			1

В клетках таблиц представлены численное выражение вербальной сравнительной оценки _ij (левый верхний угол) и значение r_ij (правый нижний угол).

Определяем ценность альтернатив:

;

;

;

.

V(D) > V(B) > V(C) > V(A), значит D B C A и альтернатива D оказалась лучшей.

Задание

1. По исходным данным (варианты табл. 1.1) с помощью шкал относительной важности (табл. 3.1) построить матрицу предпочтений для критериев (табл. 3.2).

2. По тем же исходным данным построить матрицы предпочтений для альтернатив относительно каждого критерия (табл. 3.3 – 3.5).

3. Определить веса критериев и альтернатив (табл. 3.2 – 3.5).

4. Вычислить ценность и порядок предпочтения альтернатив.

Содержание отчета

1. Матрица предпочтений для критериев.

2. Матрицы предпочтений для альтернатив.

3. Расчет предпочтительности альтернатив.

Вопросы

1. Процесс принятия решений.

2. Модели, используемые при принятии решений.

3. Прогнозирование.

4. Одноцелевые и многоцелевые модели принятия решений.