Практическая работа № 4 Метод теории полезности со многими критериями (maut-метод)

Цель работы: Определение предпочтительности альтернатив.

Теория полезности со многими критериями (Multi Attribute Utility Theory, MAUT-метод) разработана для ситуаций неопределенности, но может быть использована и в ситуациях определенности. В MAUT-методе отдельным критериям присваивают единичные функции полезности (ЕФП), при этом критерии считаются независимыми друг от друга в отношении приоритетности. Допустимо, что существует возможность замены между критериями, то есть все изменения одного критерия можно компенсировать подобными изменениями другого критерия.

При принятии многоцелевых решений в условиях определенности можно использовать суммарную функцию общей полезности:

, ,

где w – фактор взвешивания целевого критерия k, n – значения функции полезности; a – численное проявление целевого критерия k.

Многоцелевая проблема принятия решения может быть решена с помощью следующих этапов:

1. Определение единичной функции полезности для отдельных критериев.

2. Определение факторов взвешивания для критериев.

3. Определение общей полезности альтернатив.

Описание этапов

1. При определении ЕФП проводят нормирование показателей n_k на интервале [0, 1], самому неблагоприятному проявлению ЕФП присваивают нулевое значение, = 0, а самому благоприятному – единицу, = 1. ЕФП устанавливают методом медианы, при этом ЕФП можно представить в форме прямых или кривых линий (рис. 4.1). Для критерия K₁ на основе значений и определяют среднее значение , причем рост полезности с до идентичен росту с до . Этому проявлению присваивают единичный показатель полезности = 0,5. На следующих фазах опроса можно определить показатели медианы для интервалов и .

Имеющиеся показатели уже достаточны для приблизительного определения ЕПФ n₁, прежде всего, если ее тип известен, например, линейная функция. Если же ЕПФ – кривая, то n₁ можно определить по рис. 4.1б. Аналогично можно определить ЕФП (n₂, …, n_k).

Для определения значения критерия а₂, компенсирующего , рассматривают изменение Dа₂, которое одинаково как для перехода от до , так и для перехода от до . Согласно этому условию

; .

4. Определение факторов взвешивания для критериев проводят по соотношению между факторами взвешивания двух критериев, причем эти соотношения можно представить как нормы замены. На примере двух линейных целевых функций (рис. 4.1в) суммарная функция общей полезности имеет вид: N_M = w₁n₁ + w₂n₂.

Высота подъема n₁/n₂ прямых – это норма замены между n₁ и n₂ (эта величина нормы замены показывает, на сколько единиц нужно уменьшить n₂, чтобы с помощью дополнительной единицы n₁ добиться одинаковой степени полезности; ее можно определить как

или

5. Определение общей полезности альтернатив проводят пересчетом проявлений альтернатив с помощью ЕФП в единичные показатели полезности и их суммированием с учетом факторов взвешивания.

Пример. Необходимо оценить относительную выгодность альтернатив А₁, А₂ и А₃ месторасположения промышленного предприятия по следующим четырем критериям низшего уровня: размер земельного участка (РЗУ), потенциал персонала (ПП), транспортно-экспедиторские фирмы (ТЭФ) и совокупный налог на доход (СНД).

Рис. 4.1. Оценка полезности с помощью сравнения критериев

Решение. В процессе выбора альтернатив А₁, А₂ и А₃ положения промышленного предприятия получают некоторые значения существенных критериев низшего уровня (табл. 4.1) при условии, что заданные критерии независимы друг от друга, поэтому можно найти суммарную функцию полезности.

Таблица 4.1. Сравнение критериев альтернатив

Альтернатива	РЗУ, тыс. м2	ПП, чел.	ТЭФ, шт.	СНД, %.
А1	60,0	800	15	35
А2	42,5	1100	12	25
А3	35,0	1300	25	45

Из приведенных в табл. 4.1 данных определяют минимальные и максимальные проявления критериев, присваивая им соответственно показатели единичной полезности 0 и 1, получают следующие значения:

для РЗУ: n₁(35) = 0; n₁(60) = 1;

для ПП: n₂(800) = 0; n₂(1300) = 1;

для ТЭФ: n₃(12) = 0; n₃(25) = 1;

для СНД: n₄(45) = 0; n₄(25) = 1.

Предположим, что для критерия K₁ (РЗУ) ЕФП имеет вид, показанный на рис. 4.2, из чего следует, что для РЗУ с отметки в 35,0 сначала идет довольно быстрый рост полезности, но со значения в 42,5 этот рост полезности уменьшается.

ЕФП для второго критерия K₂ (ПП) также определяют с помощью медианы. Предположим, что найденное проявление = 1100, тогда

(42,5; 800) ~ (35,0; 1100) или ;

(42,5; 1100) ~ (35,0; 1300) или .

Отсюда следует, что n₂(1100) = 0,5 и n₁(42,5) = 0,5.

Из оценок индифферентности можно также вывести соотношение факторов взвешивания w₁ и w₂:

или 0,5w₂ = 0,5w₁, то есть w₂ = w₁.

Отсюда следует, что первый и второй критерии имеют одинаковые веса: w₁ = w₂.

Для определения ЕФП n₃ и фактора взвешивания w₃ также привлекают первый критерий; при этом могут действовать следующие оценки индифферентности для первого и третьего критериев:

(42,5; 12) ~ (35,0; 17) или ;

(60,0; 17) ~ (42,5; 20,6) или .

Рис. 4.2. Единичная функция полезности для критерия РЗУ

Для соотношения факторов взвешивания w₁ и w₃ действует следующее правило:

или то есть

Для определения ЕФП n₄ и фактора взвешивания w₄ снова привлекают первый критерий; при этом могут действовать, например, следующие оценки индифферентности для первого и четвертого критериев:

(42,5; 45) ~ (35,0; 41) или ;

(60,0; 41) ~ (42,5; 37) или .

Откуда

то есть

Таким образом, получены все показатели ЕФП. С помощью условия нормирования w₁ + w₂ + w₃ + w₄ = 1 можно определить факторы взвешивания:

w₁ + w₁ + 5/3w₁ + 5/2w₁ = 1.

Тогда w₁ = 6/37; w₂ = 6/37; w₃ = 10/37; w₄ = 15/37.

Общая полезность N_M альтернатив может быть определена как

N_M = 6/37×n₁(а₁) + 6/37×n₂(а₂) + 10/37×n₃(а₃) + 15/37×n₄(а₄).

Используя проявления альтернатив, можно рассчитать показатели общей полезности альтернатив А₁ – А₃. Для этого на графиках полезностей альтернатив (рис. 4.3) по данным табл. 4.1 определяют числовые проявления критериев, входящих в данную альтернативу.

N(A₁) = 6/37 ´ 1,0 + 6/37 ´ 0 + 10/37 ´ 0,25 + 15/37 ´ 0,5 = 0,372;

N(A₂) = 6/37 ´ 0,5 + 6/37 ´ 0,5 + 10/37 ´ 0 + 15/37 ´ 1,0 = 0,568;

N(A₃) = 6/37 ´ 0 + 6/37 ´ 1,0 + 10/37 ´ 1,0 + 15/37 ´ 0 = 0,189.

Таким образом альтернатива А₂ местоположения предприятия наиболее предпочтительна.

Задание

1. По исходным данным (варианты табл. 1.1) построить диаграммы полезности для всех критериев (рис. 4.3).

2. Определить факторы взвешивания альтернатив.

3. Определить полезность каждой альтернативы.

4. Найти наиболее предпочтительную альтернативу.

Содержание отчета

1. Диаграммы полезности для всех критериев.

2. Расчет единичных функций приоритетности.

3. Расчет факторов взвешивания.

4. Расчет приоритетов альтернатив.

Рис. 4.3. Диаграммы полезности альтернатив

Вопросы

1. Критерии управленческих решений.

2. Характер взаимосвязи решений.

3. Стратегические решения.

4. Основание управленческого решения.

5. Дерево целей.

6. Проверка независимости по приращению каждого критерия.