Глава 11. Задачи многокритериальной оптимизации и методы их решения.

11.1 Постановка задачи многокритериальной оптимизацию. Множество Парето

В задачах САПР часто возникает задача обеспечить оптимальность объекта проектирования одновременно по нескольким критериям оптимальности . Обычно эти критерии противоречивы и оптимизация по каждому из них приводит к различным значениям вектора варьируемых параметров . Поэтому выделяется отдельный класс задач многокритериальной оптимизации.

Постановка задачи многокритериальной оптимизации.

Будем называть каждый из скалярных критериев оптимальности частным критерием оптимальности. Совокупностьчастных критериев оптимальности будем называть векторным критерием оптимальности. Положим, что ставится задача минимизации каждого изчастных критериев оптимальности ф₁(), ф₂(), ... , ф_s() в одной и той же области допустимых значений .

Решение задачи многокритериальной оптимизациив общем случае не является оптимальным ни для одного изчастных критериев, а оказывается некоторым компромиссом для вектора в целом.

Задачу многокритериальной оптимизациибудем записывать в виде

(1)

где — множество допустимых значений вектора варьируемых параметров .

Прежде, чем применить тот или иной метод решения задачи (1), обычно производят нормализацию частных критериев, приводя все частные критерии оптимальности к одному масштабу. Чаще всего при этом используют относительные отклонения частных критериевот их минимальных значений:

где

Метод относится к классу стохастических методов оптимизации

Сохраним за нормализованными частными критериями оптимальностиобозначения .

Множество Парето.

Введем понятие пространства критериев . Пространство критериев имеет размерность (по числу частных критериев) и образуется ортогональными осями координат, вдоль которых откладываются значения частных критериев оптимальности .

Векторный критерий оптимальности выполняет отображение множества допустимых значений в некоторую область , где — пространство варьируемых параметров(см. рис. 1).

Рис. 1.  К отображению векторным критерием оптимальности Φ(X) множества допустимых значений D_X пространства варьируемых параметров {X} в область D_Φ пространства критериев {Φ}. Случай n=2, s=2.

Введем на множестве отношение предпочтения.

Отношение предпочтения . Будем говорить, что вектор предпочтительнее вектора , и писать , если среди равенств и неравенств

имеется хотя бы одно строгое неравенство (см. рис. 2).

Аналогично на множестве введем отношение доминирования: будем говорить, чтовекторный критерий оптимальности доминирует векторный критерий оптимальности , и писать , если (см. рис. 2).

Примечание 1

Введенные отношение предпочтенияиотношение доминированияявляются транзитивными, т.е.

если и , то ;

если ) и (, то (.

Рис. 2.  К понятию отношения предпочтения и отношения доминирования (s = 2). Для всех точек заштрихованной области Ф(X¹) ⊳ Ф(X²), т.е. заштрихованной области пространства критериев соответствуют векторы варьируемых параметров X ∈ D_Ф, для которых X¹ ⊱ X².

Выделим из множества подмножество точек, для которых нет точек, их доминирующих. Множество , соответствующее , называется множеством Парето(переговорным множеством,областью компромисса) — см. рис. 3. Поскольку множество D_Ф на рисунке является выпуклым, то множество D - есть часть границы множества D_Ф — дуга AB, в которой точка A соответствует (ф₂)_min, а точка B — (ф₁)_min. Среди точек (X¹) D^*_Ф, (X²) D^*_Ф нет более предпочтительных, поскольку ф₁(X¹) > ф₁(X²), но ф₂(X¹) > ф₂(X²).

Таким образом, если , то

Другими словами множество Паретоможно определить как множество, в котором значение любого изчастных критериев оптимальностиможно улучшить только за счет ухудшения других частных критериев – любое из решений, принадлежащее множеству Парето, не может быть улучшено одновременно по всем частным критериям.

Рис. 3.  К определению множества Парето (s = 2).

Пример 1

Пусть множество допустимых значений (см. рис. 4) и заданы два частных критерия оптимальности , . Можно показать, что множество при этом имеет вид, представлены на рис. 5, а множество Парето представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки , — см. рис. 4.

Рис. 4.  К прим. 1.

Рис. 5.  К прим. 1.

Заметим, что точки , являются точками минимума частных критериев оптимальности , , соответственно.

Роль множества Паретопри решениизадач многокритериальной оптимизацииопределяется следующей теоремой.

Теорема 1. Если для некоторых весовых множителей и вектора имеет место равенство

(2)

то вектор оптимален по Парето, т.е. .

Доказательство. Пусть вектор не оптимален по Парето. Тогда существует такой вектор , что

(3)

причем хотя бы одно из неравенств строгое. Умножая каждое из неравенств (3) на и складывая, получим

что противоречит условию теоремы

Теорема 1 доказана для случая неотрицательных весовых коэффициентов , хотя не содержит этого условия. Однако доказательство возможно и для произвольных весовых коэффициентов.

Теорема показывает, что выбор определенной точки из множества Паретоэквивалентен указанию весов для каждого изчастных критериев оптимальности. На этом факте основано большое количество численных методов решениязадач многокритериальной оптимизации.

Заметим, что теорема 1 задает лишь необходимое условие оптимальности по Парето вектора . Т.е. из того факта, что точка принадлежит множеству Парето, не следует, что эта точка обязательно удовлетворяет условию (2).

В постановке задачи многокритериальной оптимизации(1) фиксируется лишьмножество допустимых значений и вектор частных критериев .Этой информации недостаточно для однозначного решения задачи (1). Указанная информация позволяет лишь выделить соответствующее множество Парето(можно сказать, что решением задачи многокритериальной оптимизации в постановке (1) является множество Парето). Для однозначного решения задачи (1) нужна дополнительная информация.

Множество Парето. Тест 1

Используя покрытие множества допустимых значений вектора варьируемых параметров , постройте приближенно множество Паретодля следующей задачи двухкритериальной оптимизации :

.

Изобразите на рисунках множества , , , .

 Ответ 

1. Покрываем множество равномерной сеткой с шагом, равным 1 по обеим координатным направлениям, и пронумеруем узлы сетки так, как показано на рис. 1 (на рисунке звездочками выделены узлы сетки, кружками – точки, соответствующие множеству ).

Рис. 1.

2. Вычисляем значения частных критериев оптимальности , в узлах построенной сетки и заносим их в табл. 1.

Таблица 1    

x	y			Номер узла
0	1	4	41	1
0	2	5	34	2
0	3	8	29	3
0	4	13	26	4
0	5	20	25	5
1	1	1	32	6
1	2	2	25	7
1	3	5	20	8
1	4	10	17	9
1	5	17	16	10
2	1	0	25	11
2	2	1	18	12
2	3	4	13	13
2	4	9	10	14
2	5	16	9	15
3	1	1	20	16
3	2	2	13	17
3	3	5	8	18
3	4	10	5	19
3	5	17	4	20
4	1	4	17	21
4	2	5	10	22
4	3	8	5	23
4	4	13	2	24
4	5	20	1	25
5	1	9	16	26
5	2	10	9	27
5	3	13	4	28
5	4	18	1	29
5	5	25	0	30

3. Отображаем вычисленные значения частных критериев оптимальности , в системе координат (см.рис. 2).

Рис. 2.

4. На рис. 2 аппроксимируем границу множество ломаной и выделяем множество .

5. Отмечаем точки, соответствующие множеству , на множестве и аппроксимируем полученные точки отрезком прямой. Этот отрезок прямой и представляет собой приближение к искомому множеству Парето(см. рис. 1).

11.2 Метод весовых множителей решения задачи многокритериальной оптимизации

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

(1)

где — векторный критерий оптимальности, — частные критерии оптимальности(скалярные), .- множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Для решения задачи многокритериальной оптимизации(1) широко используются методы, основанные на сведении задачи многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации. Рассмотрим один из методов этой группы методов —метод весовых множителей.

В метод весовых множителейдополнительной информацией (относительно информации, заданной в постановке задачи (1)) является информация об относительной важностичастных критериев. Метод требует, чтобы эта информация была формализована в значениях весовых множители . В этом случае в качестве скалярного критерия используется критерий

(2)

Т.е. вместо задачи (1) решается многомерная задача условной оптимизациисо скалярнымкритерием оптимальности(2)

(3)

Напомним следующее: из теоремы 1 (см. параграф 1 данной главы) вытекает, что вектор , являющийся решением задачи условной оптимизации(3), принадлежитмножеству Паретозадачи (1), а обратное утверждение неверно — вектор , принадлежащий множеству Парето задачи (1), не обязательно удовлетворяет условию (3).

Существуют различные способы выбора весовых множители . Одним из таких способов является назначение коэффициентов в зависимости от относительной важности соответствующих частных критериев оптимальности, например, согласно табл. 1.

Таблица 1    

Относительная важность критерия	Определение относительной важности критериев
1	Равная важность
3	Умеренное (слабое) превосходство
5	Сильное (существенное) превосходство
7	Очевидное превосходство
9	Абсолютное (подавляющее) превосходство
2,4,6,8	Промежуточные решения между двумя соседними оценками

Шкала относительной важности частных критериев.

Для того чтобы при выборе весовых множителей избавиться от влияния масштабов частных критериев оптимальности, вметоде весовых множителейцелесообразно использовать нормализованные критерии.

Дадим геометрическую интерпретацию метода. Введем в рассмотрение вектор . Тогда критерий оптимальности(2) можно записать в виде скалярного произведения

(4)

а задачу (3) в виде

(5)

Уравнение , где — некоторая константа, определяет в пространстве критериев гиперплоскость. При этом решение задачи (5) можно интерпретировать как поиск такого значения , при котором гиперплоскость будет касательной к множеству задачи (1). Компоненты вектора определяют искомую точку касания этой гиперплоскости с множеством (см. рис. 1). На рис. 1 для любой точки множества (дуга A,B) найдется вектор весовых множителей = (λ₁, λ₂, ... , λ_s), при котором эта точка удовлетворяет условию (5).

Рис. 1.  Геометрическая интерпретация метода весовых множителей: случай двух критериев; множество D_Ф выпукло.

Множество задачи (1) может быть не выпуклым. В этом случае не все точки множества могут быть достигнуты с помощью изменения весовых множителей (см. рис. 2). На рис. 2 ни для одной точки множества , принадлежащей дуге A₁B₁, невозможно найти вектор весовых множителей = (λ₁, λ₂, ... , λ_s), при котором эта точка удовлетворяет условию (5).

Рис. 2.  Геометрическая интерпретация метода весовых множителей: случай двух критериев; множество D_Ф не выпукло.

11.3 Метод эпсилон-ограничений решения задачи многокритериальной оптимизации

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

(1)

где — векторный критерий оптимальности, — частные критерии оптимальности(скалярные), — множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Метод ε-ограниченийотносится к группе методов, основанных на сведениизадачи многокритериальной оптимизациик однокритериальной многомернойзадаче условной оптимизации.

В метод ε-ограниченийв качестве скалярногокритерия оптимальности используется самый важный из частных критериев оптимальности , а остальные частные критерии учитываются с помощью ограничений типа неравенств вида .

Дополнительной информацией в методе ε-ограниченийявляется информация о номере самого важного изчастных критериев, а также информация о максимально допустимых значения частных критериев .

Таким образом, в методе -ограничений вместо задачи (1) решается задача условной оптимизациисо скалярнымкритерием оптимальности :

(2)

где

(3)

Метод ε-ограниченийв значительной мере свободен от указанного выше недостаткаметода весовых множителейв случае, когда множество не выпукло (см. рис. 1). На рис. 1 точка A₂ в данном методе является доступной.

Рис. 1.  Геометрическая интерпретация метода ε-ограничений: случай двух критериев; множество D_Ф не выпукло; самым важным является критерий ф₁(X); на критерий ф₂(X) наложено ограничение ф₂(X) ≤ ε₂.

Недостатком метода ε-ограниченийявляется трудность выбора максимально допустимых значениячастных критериев , которые гарантировали бы достижимость некоторого решения. Кроме того, жесткость ограничений далеко не всегда адекватна представлениям ЛПР (лица, принимающего решения) о наилучшем решении. Отметим также трудность построения в явном или неявном виде множества .

11.4 Метод справедливого компромисса для решения задач многокритериальной оптимизации

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

(1)

где — векторный критерий оптимальности, — частные критерии оптимальности(скалярные), — множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Положим, что все частные критерии имеют одинаковую важность!

Справедливый компромисс.

Справедливым компромиссомбудем называть такой компромисс, при котором относительный уровень снижения качества по одному или несколькимчастным критериямне превосходит относительного уровня повышения качества по остальным частным критериям (меньше или равен).

Для формализации понятия справедливого компромиссанам понадобится ввести отношение превосходства на множестве Парето(не путать сотношением доминирования , используемым при построении множества Парето!).

Пусть во множестве Паретозадачи (1) даны две точки , и значения всех частных критериев оптимальностив них . Введем меру относительного изменения (снижения – знак "минус" или повышения – знак "плюс") качества решения по каждому из этих критериев

(2)

где — абсолютные изменения значений частных критериев оптимальности при переходе от решения к решению . Вычислим максимальное снижение качества решения при переходе от решения к решению

(3)

Аналогично вычислим максимальное повышение качества решения при переходе от решения к решению

(4)

Будем говорить, что решение превосходит решение , и писать

(5)

С другой стороны, будем говорить, что решение превосходит решение , и писать

(6)

Пример 1

Пусть заданы четыре частных критерия оптимальности , и решения принадлежащие множеству Паретозадачи (1). Положим, что критерии в точках имеют следующие значения:

Таблица 1    

	1	2	3	5
	3	2	0	4

По формулам (2), (3), (4) последовательно имеем

Поскольку , т.е. максимальное относительное повышение качества решения превышает максимальное относительное снижение качества решения, то решение превосходит решения : .

Таким образом, дополнительной информацией в методе справедливого компромиссаявляется информация об одинаковой важности всехчастных критериев , а также информация о справедливом компромиссе, формализованная отношением превосходства .

Упрощенная схема метода справедливого компромисса.

Рассмотрим основные этапы метода справедливого компромисса.

1. Полагаем счетчик числа итераций .

2. Тем или иным способом выбираем из множества Паретозадачи решение .

3. Вычисляем значения всех частных критериев оптимальности в точке .

4. Тем или иным способом выбираем из множества Паретозадачи (1) решение .

5. Вычисляем значения всех частных критериев оптимальности в точке .

6. По формулам (2), (3), (4), (5), (6) из числа решений , находим превосходящее решение. Обозначим его .

7. Если условие окончания итераций выполнено (см. ниже), то принимаем точку в качестве приближенного решения задачи (1) и заканчиваем вычисления. Иначе полагаем и переходим к п.3

В простейшем случае выбор решений может быть произведен случайным образом. В качестве условия окончания итераций в этом случае может быть использовано достижение заданного количества итераций.

Выбор решений может быть произведен также с помощью полного перебора узлов какой-либо сетки, покрывающей множество .

Поскольку метод справедливого компромиссаиспользует относительные изменениячастных критериев оптимальности, этот метод инвариантен к масштабу измерения частных критериев, т.е. не требуется их нормализация.

11.5 Метод приближения к идеальному решению для решения задач многокритериальной оптимизации

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

(1)

где — векторный критерий оптимальности, — частные критерии оптимальности(скалярные), — множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Метод приближения к идеальному решениюотносится к группе методов, основанных на сведениизадачи многокритериальной оптимизациик задаче однокритериальной оптимизации.

Идеальным решением задачи многокритериальной оптимизации(1) называется вектор , где

минимальное значение частного критерия оптимальности во множестве .

Напомним, что векторы , доставляющие минимумы соответствующим критериям оптимальности , вообще говоря, различны.

Введем в рассмотрение скалярный критерий оптимальности

(2)

где — некоторая векторная норма, например, евклидова; — нормированный векторный критерий оптимальности; — нормированное идеальное решение(единичный -вектор).

В методе приближения к идеальному решениювместо задачи (1) решаетсязадача условной оптимизациисо скалярнымкритерием оптимальности

(3)

Заметим, что если — евклидова норма, то критерий оптимальности является квадратичной функцией компонент вектора . Поэтому если, дополнительно, множество является выпуклым, то задача (3) представляет собой задачу квадратичного программирования. Этот факт значительно упрощает решение задачи (3).

Дополнительной информацией в методе приближения к идеальному решениюявляется информация, заключенная в способе сворачиваниявекторного критерия оптимальности в скалярный критерий .

Поскольку метод приближения к идеальному решениюиспользует нормированныечастные критерии оптимальности, этот метод инвариантен к масштабу измерения частных критериев.

11.6 Метод последовательных уступок для решения задач многокритериальной оптимизации

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

(1)

где — векторный критерий оптимальности, — частные критерии оптимальности(скалярные), — множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

В методе последовательных уступокпрежде производится качественный анализ относительной важностичастных критериев оптимальности . На основании этого анализа частные критерии располагаются и нумеруются в порядке убывания важности. Положим, что главным является критерий , следующим по важности – критерий , затем следуют остальные частные критерии .

Затем для каждого из частных критериев, исключая последний по важности критерий , назначаются уступки — допустимые, с точки зрения лица, принимающего решения (ЛПР), увеличения соответствующих критериев относительно их оптимальных значений ф_k()==ф_k().

Далее решается задача минимизации критерия

(2)

и определяется множества допустимых значений — сужение множества допустимых значений:

(3)

Переходим к следующему по важности критерию . Решается задача минимизации критерия

(4)

и определяется множества допустимых значений — сужение множества допустимых значений:

(5)

Т.е. минимизация критерия производится при условии, что значения предыдущего критерия не превосходит величины .

И т.д. до предпоследнего по важности критерия . Решается задача минимизации критерия

(6)

и определяется множества допустимых значений — сужение множества допустимых значений:

(7)

Наконец, переходим к последнему по важности критерию . Решается задача минимизации критерия

(8)

В качестве решения задачи (1) принимается решение со значениями частных критериев .

Достоинством метода последовательных уступокявляется то, что он легко позволяет контролировать, ценой какойуступкив одномчастном критерииприобретается выигрыш в другом частном критерии. Заметим также, что свобода выбора решения, приобретаемая ценой даже незначительных уступок, может оказаться существенной, так как в окрестностях минимума обычно эффективность решений меняется слабо.

Не смотря на идейную простоту метода последовательных уступок, практическое применение этого метода сопряжено со значительными трудностями.

1. Метод последовательных уступокприменим для решения лишь техзадач многокритериальной оптимизации, в которых всечастные критерииестественным образом упорядочены по степени важности.

2. Поскольку взаимосвязь частных критериевобычно неизвестна, заранее назначить величиныуступок , как правило, не удается. Поэтому изучение взаимосвязи частных критериев и назначение величин уступки приходится производить в процессе решения задачи. Практически, для этого вначале оценивают взаимосвязь частных критериев , . Для этого задают несколько величин уступок и определяют соответствующие значения второго по важности критерия . На основе анализа этой информации лицо, принимающее решение, принимает решение о величине первой уступки . Затем аналогично оценивают взаимосвязь частных критериев , и назначают величину второй уступки . И так далее до критериев , и уступки . Таким образом, фактически приходится решать каждую из задач (2), (4), (5), (6) не однократно, как в изложенной схеме, а многократно.

3. Изложенная схема метода последовательных уступокпредполагает, что каждыйчастный критерий настолько существенно более важен, чем последующий частный критерий, что можно ограничиться учетом только попарных связей критериев и выбирать величину уступкидля данного критерия с учетом поведения лишь одного следующего критерия.

4. Сложной самостоятельной проблемой является отыскание в явном виде множеств .

Дополнительной информацией в методе последовательных уступокявляется информация об относительной важностичастных критериев , а также информация об уступках .