Прикладная газовая динамика

1. Введение. Предмет и прикладное значение дисциплины. Основные понятия, терминология, модели жидкости.

Прикладная газодинамика – это наука, изучающая законы движения сжимаемых и несжимаемых легкоподвижных сред, взаимодействие и силы взаимодействия движущихся сред с твердыми и упругими телами.

Прикладное значение – математическое моделирование потоков жидкости, движущихся в канале.

Модели жидкости

В модели, для упрощения ее изучения, отброшены несущественные стороны реального объекта.

1.Сжимаемые/несжимаемые

2.Стационарные течения/нестационарные течения Жидкость – любая легкоподвижная среда

Капельная жидкость отличается тем, что, будучи предоставлена самой себе (находясь в невесомости, либо в равенстве нулю равнодействующей всех внешних сил), под действием сил поверхностного принимают шарообразную форму. Вследствие значительной величины межмолекулярных сил и сил поверхностного натяжения капельные жидкости не в состоянии занять весь выделенный для них объем. Данное свойство не распространяется на течения, когда объем канала заполняется за счет притока жидкости.

Отличительной особенностью сжимаемых жидкостей (газов) является малый уровень межмолекулярных сил и отсутствие сил поверхностного натяжения. В силу этих обстоятельств газы не собираются в капли и полностью заполняют весь предоставленный им объем. Иногда сжимаемостью газов в описываемом процессе можно пренебречь, в этом случае принимают, что их поведение в потоках и качественно, и количественно неотличимо от поведения капельных жидкостей. Именно в этом случае по отношению к газам применимо понятие жидкости. Понятие газа применяется тогда, когда свойством сжимаемости пренебрегать нельзя. Однако и в этом случае понятие жидкости применимо, т.к. основным ее качеством является легкоподвижность, которой обладают и капельные жидкости, и газы.

Контрольный объем – ограниченный проницаемой поверхностью произвольный фиксированный в пространстве объем неизменной формы. Жидкая частица – часть движущейся среды с непроницаемой поверхностью, способная перемещаться в пространстве и изменять форму (масса неизменна).

1

2. Основные математические понятия. Операторы и операции. Физический смысл дивергенции вектора скорости применительно к контрольному объему и жидкой частице. Формула Остроградского – Гаусса.

Оператор Гамильтона

Оператор служит для удобства записи основных операций над скалярным ( ) или векторным ( ̅) полем – , ̅, ̅ (векторные дифференциальные операции первого порядка). Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

̅̅ ̅

Символическое умножение вектора на скаляр или вектор ̅ производится по обычным правилам векторной алгебры, а

умножение символов на величины как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Оператор Лапласа

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка, которых существует всего пять видов: , , ̅, ̅,

2

̅. Остальные комбинации не имеют смысла, так как результатами векторных операций первого порядка является скаляр, векторные операции второго порядка над которым не имеют смысла. Оператор Гамильтона действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

1):

2):

Поле градиента есть поле безвихревое, так как векторное

произведение двух векторов ( ) равно нулю:

( )

4)̅

Смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые,

равно нулю. Это означает, что поле вихря – соленоидальное:

̅ ( ̅)

5)̅

̅ ( ̅) ( ̅) ( )̅ ( ̅) ̅

Последнее преобразование – по свойству векторного произведения

̅ (̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅.

Дивергенция

Дивергенция вектора есть предел отношения вектора через контрольную поверхность F к контрольному объему V,

3

ограниченному данной поверхностью, при условии, что данный объем может быть стянут к внутренней точке, не выходя за пределы векторного поля (непрерывность функции):

Дивергенцию называют схождением или расхождением вектора, а если вектором является скорость потока, то коэффициентом кубического или объемного расширения, а также скоростью объемной относительной деформации.

Для контрольного объема дивергенция – источник/сток:

Поскольку в определении дивергенции участвует скалярное умножение на внешнюю нормаль, постольку положительное значение дивергенции означает, что внутренняя относительно объема V точка является источником для векторного поля. Если дивергенция отрицательна, то точку называют стоком.

4

3. Основные математические понятия. Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом течении, теорема Стокса. Правила действий с оператором Гамильтона.

Ротор представляет собой угловую скорость вращения твердого тела с точностью до числового множителя. Направление ротора – направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S. Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между производной по направлению и градиентом.

линий циркуляция не равна нулю, так как в каждой точке векторной линии скалярное произведение ̅̅̅̅ сохраняет знак, положительный при совпадении вектора ̅ с направлением обхода векторной линии и отрицательной в обратном случае.

5

̅

Эта формула показывает, что циркуляция вектора ̅ вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора ̅ через поверхность , лежащую в поле вектора ̅ и ограниченного контуром

. Используя формулу Стокса, можно дать другое определение ротора вектора – это вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора ̅ по контуру плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Это векторная величина,

порядка). Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

соответствующей частной производной от этих величин.

6

4. Термодинамические характеристики рабочего тела, параметры состояния в идеальных и реальных газах, молекулярно-кинетическое обоснование. Первый и второй законы термодинамики. Изменение энтропии.

Совершенный газ – упрощенная модель реального газа, с принятыми допущениями:

Полностью отсутствуют межмолекулярные силы;

Молекулы в виде материальных точек, обладающих массой;

Теплоемкость, газовая постоянная, показатель адиабаты и молярная масса неизменны и не зависят от температуры;

Агрегатное состояние неизменно при любых условиях.

Газ можно рассматривать как совершенный до температуры 2500 К, при более высоких температурах начинаются процессы диссоциации, ионизации и рекомбинации.

Идеальный газ – совершенный газ, лишенный свойств вязкости. Параметры состояния рабочего тела:

Давление. Согласно МКТ, давление – результат ударов хаотически и непрерывно движущихся молекул о стенки сосуда. Основное уравнение кинетической теории для модели идеального газа:

содержится столько молекул, сколько содержится атомов в изотопе углерода массой 0,012 кг.

7

При постоянной температуре давление определяется только числом молекул в единице объема, и не зависит от рода молекул. При

свойства газа определяются только числом молекул. Температура. Согласно МКТ, абсолютная термодинамическая температура – величина, пропорциональная средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа. По уравнению Больцмана, для модели идеального газа:

константа Больцмана.

Абсолютный ноль температуры – ноль по шкале Кельвина ( ), при котором прекращается движение молекул.

Плотность и удельный объем. Это количество вещества,

заключенное в единице объема:

Эти три параметра состояния связаны между собой уравнением Клапейрона-Менделеева, для одного килограмма идеального газа: удельная газовая постоянная, Дж/кг∙К. При

умножении на молярную массу, получается универсальная газовая постоянная, одинаковая для всех газов (на основании закона Авогадро о том, что при одинаковых давлении и температуре все

газы имеют одинаковый молярный объем, при н.у. равный 22,4 м3/кмоль).

Значение универсальной газовой постоянной при н.у. (101325 Па и

273,15 К) равно:

Вид термодинамического процесса определяется показателем политропы , из уравнения политропного процесса, для идеальных газов:

( )⁄ ( )

8

политропы, тем меньше сжимаемость и больше упругость газов. Теплоемкость тела – количество тепла, необходимое для нагрева единицы вещества на один градус Кельвина. Истинная теплоемкость соответствует бесконечно малому изменению температуры:

В газодинамике используют массовые теплоемкости – изобарную и изохорную:

Модуль упругости – количественная оценка сжимаемости газа, отношение изменения давления к вызванному им относительному изменению плотности:

Упругость газов, в зависимости от давления и вида термодинамического процесса, на 3-4 порядка меньше упругости капельных жидкостей. На малых скоростях газовых потоков их свойство сжимаемости проявляется незначительно, поэтому их рассматривают как поток капельной жидкости.

Первый закон термодинамики: подводимые к газу удельное тепло трения и внешнее тепло расходуются на изменение

9

Второй закон термодинамики: рост количества подводимого тепла увеличивает приращение энтропии, в то время как рост температуры, при которой к системе подводится тепло, снижает приращение энтропии.

Свойства реальных рабочих тел описываются уравнением Ван-дер- Ваальса:

К увеличению давления приводит:

увеличение скорости хаотического движения молекул; увеличение концентрации молекул увеличивает

межмолекулярные силы; уменьшается оттягивающее действие на молекулы,

приближающиеся к стенке; уменьшение свободного пробега молекул и увеличение

коэффициент сжимаемости природного газа, определяется по номограммам.

10