Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Прикладная газовая динамика

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
1.51 Mб
Скачать

23. Характерные скорости потока, анализ формул. Эквивалентность изменения скорости и работы расширениясжатия. Безразмерные скорости и связь между характерными скоростями в размерном и безразмерном виде. Критериальность безразмерных скоростей, связь сжимаемости со скоростью потока.

Местная скорость звука

Скорость распространения слабых возмущений в упругой среде.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

.

С ростом статической температуры местная скорость звука увеличивается. Это объясняется молекулярно-кинетической природой распространения звуковых волн. При увеличении температуры скорость хаотического движения частиц увеличивается, они быстрее преодолевают расстояние, равное длине свободного пробега молекул и быстрее передают возмущение.таким образом, распространение слабых возмущений представляет собой продольную волну.

Местная скорость звука зависит от рода газа, с ростом газовой постоянной местная скорость звука увеличивается, что объясняется ростом скорости хаотического движения молекул, связанной с уменьшением молярной массы.

Скорость потока

√ (

) √

(

)

 

 

Полученная формула показывает, что скорость потока

определяется

расходуемым

на

кинетическую

энергию

теплоперепадом

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Выносим полную температуру за скобку, С учетом изоэнтропичности связи полных и статических параметров отношение температур заменяется отношением давлений, и в результате получим общепринятую формулу скорости потока:

√ ( ) √ [ ( ) ]

Равенство показывает зависимость скорости потока не только от начального запаса энергии, но и от степени преобразования потенциальной

41

энергии в кинетическую, оцениваемой величиной

 

или

 

. Перепад

 

 

температур не является определяющим для возникновения течения, он лишь связан с первопричиной изменения скорости потока – перепадом давлений или плотностей, задающим величину и направление силового воздействия на поток.

Скорость потока, как и местная скорость звука и любая иная скорость, зависит от рода газа. Легкие газы в одинаковых условиях развивают большую скорость, чем тяжелые, поскольку у них выше газовая постоянная.

Кроме того, на величину скорости потока влияет сжимаемость среды. Если принять среду несжимаемой, то:

 

 

(

 

 

)

(

 

)

 

 

 

 

Где

 

. Формула

дает

более

высокое

значение

скорости, что обусловлено снижением статической плотности при ускорении сжимаемой среды.

Максимальная скорость

Достигается тогда, когда вся потенциальная энергия полностью и без потерь переходит в кинетическую. Максимальная скорость – скорость

истечения

в

пустоту,

где

(

)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Является теоретическим пределом и реально никогда не

достижима, даже при фактическом истечении в вакуум (ракета). Т.к. при ускорении газа происходит его расширение и охлаждение, то задолго до достижения предельной скорости либо произойдет потеря сплошности, либо газ сконденсируется (пример: углекислотный огнетушитель, резкий выброс влажного воздуха из емкости высокого давления – газ конденсируется и становится видимым, индуктивные вихри на концах крыла самолета).

Критическая скорость

Такая скорость, при которой скорость потока и местная скорость

звука в данном сечении одинаковы.

Критическая скорость звука зависит только от рода газа и полной температуры.

42

Безразмерные скорости

( )

 

( √

 

)

 

( )

 

 

 

Безразмерные скорости представляют собой критерии подобия потоков по сжимаемости и характеризуют степень преобразования энтальпии (теплосодержания) в кинетическую энергию.

Так для числа М имеем:

Аналогично получают соотношения для скоростей

:

Взадачах внешнего обтекания используют число М (в атмосфере), при расчете внутренних течений – приведенную скорость .

Выбор безразмерной скорости может определятся температурой. Если постоянная статическая температура, то изменения физической скорости и числа М прямо пропорциональны друг другу. Во внутренних энергоизолированных течениях постоянной является температура торможения, поэтому для простоты оценки удобно применять приведенную скорость.

Связь скоростей:

Разделим на

:

 

 

43

24. Газодинамические функции параметров торможения и их анализ. Критические и полные параметры.

Представим отношение статической температуры к температуре торможения как функцию числа М. Будем искать это соотношение из равенства энергий в произвольном и заторможенном состояниях:

или ( ) ,

Откуда следует связь между статической и полной температурами, выраженная через число М:

[ ( )] ( )

( )

Полученное выражение носит название газодинамической функции (ГДФ) температуры торможения, обозначаемой τ с указанием безразмерной скорости как аргумента данной функции:

( )

 

(

 

)

 

 

ГДФ плотности и давления торможения получаем с учетом изоинтропичности связи между полными и статическими параметрами:

(

)

 

 

[

(

)]

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

(

)

 

 

[

(

)]

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

Зависимость ГДФ параметров торможения от скоростей λ и Λ можно получить либо путем преобразований, подобных проведенным, либо заменой числа М по уравнению связи между безразмерными скоростями. В результате получим формулы для скорости λ:

( )

 

 

( ) (

 

 

 

 

( ) (

 

;

 

) ;

 

 

)

44

и для числа Чаплыгина:

( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( )

Подобие потоков по сжимаемости оценивается не физической скоростью, которая может быть очень высокой при большой температуре газа, а безразмерной, которая не зависит от полной температуры и, как указывалось выше, показывает степень преобразования потенциальной энергии в кинетическую.

45

25. Консервативность законов сохранения. Уравнение неразрывности в общем виде (консервативное и неконсервативное). Частные случаи уравнения неразрывности.

Консервативность законов сохранения заключается в том, что при их рассмотрении для выделенного объема принимается, что внутри этого объема не происходит генерации или поглощения вещества, а возможное изменение массы вещества в объеме осуществляется только за счет его притока или оттока через поверхность, ограничивающей данный объем.

Консервативное уравнение неразрывности:

̅

̅

∫( ) ̅

∫ ( )

Дивергенция массовой плотности тока определяется локальной производной от плотности:

( ̅)

Дивергенция скорости зависит от относительной полной

производной по времени

:

 

 

 

 

 

 

 

 

̅

 

 

̅

 

 

 

̅

(

 

)

(

)

 

 

(

)

Неконсервативное уравнение неразрывности:

 

 

 

 

 

 

 

(

̅

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

удельный единичный объемный источник вещества, удельный единичный массовый источник вещества.Скорость изменения объема жидких частиц определяется интенсивностью источников (стоков) ̅ .

Частные случаи уравнения неразрывности.

Для сжимаемого стационарного течения: постоянство массовой плотности тока в канале постоянного сечения:

̅

̅

( )

 

46

Для канала переменного сечения выполняется равенство массовых расходов газа. В расширяющемся канале массовая плотность тока вдоль канала убывает, в сужающемся – растет.

̅

̅

̅

∫( ) ̅

∫ ( ) ̅

∫ ( ) ̅

Для несжимаемого канала с постоянной плотностью тока.

Дивергенция скорости определяется скоростью относительной объемной деформации.

̅

Изменение объема частиц отсутствует, постоянным является как массовый, так и объемный расход жидкости вдоль любого произвольного канала, а движение частиц сопровождается только изменением их массы, но не объема.

Для несжимаемого потока:

̅ ̅

̅ ̅

̅ ̅

Уменьшение площади поперечного сечения приводит к росту скорости потока, а увеличение площади вызывает торможение. Конфузор – суживающийся канал для несжимаемого потока; любой канал, вызывающий ускорение газа – для сжимаемого потока. Диффузор – расширяющийся канал для несжимаемого потока; любой канал, в котором происходит торможение газа – для сжимаемого потока.

47

26. Нестационарное одномерное уравнение неразрывности в полных и в статических параметрах. Примеры проявления нестационарности (гидроудар, помпаж и пр.).

 

( ⁄

)

 

 

(

)

( )

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

( )

 

 

 

 

 

 

 

Пусть расход газа

 

на выходе

из

канала под влиянием

некоторого внешнего возмущения уменьшится относительно расхода на входе . Тогда внутри объема отношение полных давления и температуры начнет возрастать во времени. Очевидно, что давление торможения будет увеличиваться быстрее, чем температура торможения. Аналогично влияет на параметры и увеличение расхода

на входе в канал.

 

При обратном соотношении параметров

параметры

торможения начнинают уменьшаться, причем давление убывает в большей степени, чем температура. Итак пра накоплении или расходовании массы газа внутри фиксированного объема полное давление всегда меняется быстрее полной температуры.

Если возмущение по расходу является ступенчатым (внезапное изменение на фиксированную величину ( ) ( )), то в результате изменения плотности внутри выделенного участка канала расходы на входе и выходе будут выравниваться.

Работа сужающегося регулируемого сопла ГТД:

При уменьшении расхода газа через срез сопла путем уменьшения площади выходного сечения давление и температура внутри сопла возрастают. Т.к. в начальный момент времени давление перед турбиной неизменно, то рост давления за турбиной означает,

что меньшее количество потенциальной энергии

давления

преобразуется

в

работу

на

валу турбины.

Кроме того

через

 

ее

последние

ступени в

соответствии

с

уравнением

 

( ⁄

)

 

 

 

 

 

(

)

(

)

начинает

протекать

меньший расход

газа.

 

В

 

 

48

результате мощность турбины уменьшается, оказываясь меньше потребной для вращения компрессора. Это приводит к уменьшению частоты вращения ротора и, соответственно, расхода газа через турбину в целом, а также к уменьшению давления вдоль всего тракта двигателя. В результате расход газа на входе в сопло начинает уменьшаться вслед за первоначальным уменьшением расхода на выходе, вызванным дросселированием выходного сечения. Переходный процесс асимптотически завершается выходом на стационарное течение при пониженном режиме работы ГТД. Открытие сопла вызывает обратное действие и приводит к увеличению частоты вращения ротора, давлений внутри двигателя, расхода газа и реактивной тяги.

На скорость протекания переходных процессов оказывает влияние объем газа внутри машины или ее узла. С ростом объема время переходного процесса увеличивается. Если переходный процесс является автоколебательным (помпаж), то это приводит к уменьшению частоты колебаний, а значит и к росту их амплитуды.

49

27. Газодинамическая форма уравнения неразрывности. Газодинамические функции расхода.

Для вывода стационарного одномерного уравнения неразрывности в виде газодинамической формулы массового расхода вводят понятие ГДФ расхода

( )

( )

( )

называемой приведенным расходом и равной отношению массовых плотностей тока в произвольном и критическом сечениях.

( ) ,

где m – коэффициент, характеризующий род газа

( )

[

 

(

 

)]

 

 

Характер изменения ГДФ q(λ) зависит от скорости потока. В дозвуковых потоках влияние сжимаемости невелико, поэтому увеличение скорости течения С приводит к росту функции q(λ). На сверхкритических скоростях плотность снижается быстрее, чем растет скорость потока. В результате функция q(λ) снижается до 0 при достижении теоретического предела скорости потока С=Сmax. В критическом состоянии выполняется равенствоρС = ρкрСкр, в силу чего приведенный расход принимает максимальное значение q(λ) = 1. Значение функции q и, соответственно, скорости потока,

определяются только геометрией канала ( )

 

 

 

 

 

,

 

 

 

где n – степень сужения (для дозвуковых потоков) или раскрытия (для сверхзвуковых потоков) канала.

Если полное давление заменить статическим, то получится вторая

ГДФ расхода:

(

)

 

(

)

 

 

 

 

 

 

 

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда массовый расход газа:

( )

 

 

 

,

 

 

 

где ( ) (

 

)

 

⁄(

 

 

 

) Функция ( ) является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

возрастающей до бесконечности.

50