Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var15

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

652.32 Кб

Скачать

☆

Вариант № 15

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить

дифференцированием.

∫

dx3

подведение под

dx =

x3 + 5 + x6

+ C .

5 + x6

знак дифференциала

5 + (x3 )2

′

6x5

Проверка:

5 + x

+ C

(3x

) =

3 x3 + 5 + x6

2 5 + x6

5 + x6 + x3

. Ответ: ∫

dx =

x3 +

5 + x6

+ C .

x3 + 5 + x6

5 + x6

∫arcsin xdx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

arcsin x = u, du =

xdx

d(1− x2 )

arcsin xdx =

= x arcsin x

−

=x arcsin x +

1− x2

∫

2 ∫

(1− x2 )1/ 2

dx = dv,

v = x

1− x2

= x arcsin x + cc . Проверка:

′

(= x arcsin x + 1− x2

+ C) = arcsin x +

−

= arcsin x.

1− x2

2 1− x2

Ответ: ∫arcsin xdx = x arcsin x + 1− x2 + C .

∫

x − 7

dx =

∫

2x + 4 −18

dx =

∫

x2 + 4x + 5)

dx − 9∫

x2 + 4x + 5

(x + )2 +1

= x2 + 4x + 5 − 9ln

(x + ) + (x + )2 +1

+ С .

′

+ 4x + 5 − 9ln

(x +

) +

(x +

)

Проверка:

2x + 4

x + 2

x − 7

− 9

2 x + 4x + 5

−

2 x2 + 4x + 5

(x + ) + (x + )2 +1

x2 + 4x + 5

Ответ: ∫

x − 7

dx =

x2 + 4x + 5 − 9ln

(x +

) +

x2 + 4x + 5

+ С .

+ 4x + 5

∫

2x3

+ 4x2 − 8x + 3

dx. Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на

x(x

− 2x +1)

простые дроби. ∫

2x3 + 4x2 − 8x + 3

dx = ∫

[2 +

8x2 − 4x +

]dx = ∫[2 +

8x2 − 4x + 3

]dx

x(x

− 2x +1)

x(x

− 2x +

x(x −1)

8x2 − 4x + 3

A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx

A(x −1)2

+ Bx(x −1) + Cx =

x(x −

1)2

−

1)2

x(x −1)2

x x

−1 (x

= 8x2

− 4x + 3.

Полагаем

x = 0,

получим

A = 3.

Из

равенства

x = 1

следует

C = 7 .

Приравнивая

коэффициенты

при

x2 ,

получим

A + B = 8. Или B = 5 . Таким

образом,

∫

2x3

+ 4x2 −

8x +

dx = ∫[2 +

]dx =

2x + 3ln

+ 5ln

x −1

−

+ C

x(x

− 2x

+1)

x x

−1 (x −1)

−1

= 2x + ln

x3 (x −1)5

−

+ C

−

′

= 2 +

Проверка: 2x

+ ln

(x −1)

−

+ C

−

x x

−1 (x −1)2

2x(x2

− 2x +1) + 3(x2 − 2x +1) + 5x(x −1)

+ 7x

2x3

+ 4x

2 − 8x + 3

x(x −1)2

Ответ: ∫

2x3 +

4x2 − 8x + 3

dx = 2x + ln

x3 (x −1)5

−

+ C .

x(x

− 2x +1)

−

∫

x2 − 8x + 21

dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем.

(x − 3)(x

−

8x +17)

∫

− 8x + 21

dx = ∫

− 8x + 21

dx .

(x − 3)(x

− 8x +17)

(x − 3)((x −

+1)

x2 − 8x + 21

Bx + C

A(x2

− 8x +17) + (Bx + C)(x− 3)

(x − 3)((x − 4)2

+1)

x −

x2 −

8x +17

(x − 3)(x2

− 8x +

17)

A(x2

− 8x +17) + (Bx + C)(x− 3) = x2

− 8x + 21. Полагаем x = 3, получим A = 3.

Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим A + B = 1. Или B = −2 . Приравнивая

коэффициенты при

x0 , получим 17A − 3C = 21. Или C = 10 . Таким образом,

∫

− 8x + 21

dx = ∫

−

(x − 4) − 2

[

]dx =

(x − 3)(x

− 8x +17)

x − 3

(x − 4)

= 3ln

x − 3

− ln((x − 4)2 +1) + 2arctg (x − 4) + C = ln

(x − 3)3

+ 2arctg(x − 4)

x2 − 8x

+17

Проверка:

(x − 3)

′

2x − 8

− 4) + C

2arctg(x

−

x2 − 8x +17

x −

3 x2

− 8x +17 x2

− 8x +17

3(x2 − 8x +

17) − (x − 4)(x − 3) + 2x − 6

− 8x + 21

(x2 − 8x +17)(x − 3)

(x2

− 8x +17)(x − 3)

Ответ: ∫

x2 −

8x + 21

dx = ln

− 3)3

+ 2arctg(x − 4) + C .

− 3)(x

−

8x +17

− 8x +17)

6. ∫

3 x

dx . Инетегрируем с помощью замены переменной.

x +

x = t6 , dx = 6t5dt

t2 6t5dt

+ t − t)dt

∫

dx =

= ∫

= 6∫

+ t

) t

t(t +1)

x( x + 3 x)

x = t3 , 3 x = t2

= 6lnt − 6ln

t +1

+ C = 6ln

6 x

+ C .

6 x +1

+ C .

Проверка:

′

−5/ 6

+1−

6ln

+ C

= 6

− 6

x +1

x +1)x

5/ 6

x +1)x

5/ 6

3 x

x(6 x +1)

x(6 x

+1)3 x

x( x + 3 x) (1

+ 4 x)3 x

Ответ: ∫

dx = 6ln

+ C .

x +

x +1

7. ∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

+ 4

∫

x = 2tg t, dx =

2dt

= ∫

2dt

∫

cos3

tdt

+ 4

cos

/ cost 16

sin

∫

(1− sin2 t)d sin t

∫

(1− sin2

t)d sint

= −

+ C =

sin

48sin

16sint

= −

(1+ tg2t)3

1+ tg2t

+ C

= −

(1+ x2 / 4)3

1+ x2 / 4

+ C = −

4 + x

(

4 + x

−1) + C

48tg

16tg t

48x3 /8

16x / 2

16x

3x2

−

4 + x

4 + x2 − 3x

+ C =

(x2 − ) 4 + x

+ C .

16x

3x2

24x3

′

[2x

x2 −

)

] x3 − 3x2 (x2 − )

4 + x2

− )

4 + x

Проверка:

+ C

24x

8x2 + 2x4 + x4

− 2x2 −12x2 − 3x4 + 6x2 + 24

x4 4 + x2

Ответ: ∫

(x2

− )

4 + x

+ C .

x2 + 4

24x

8. ∫sec4 x tg4 xdx . Интегрируем с помощью замены переменной.

(1+ t

∫sec4 x tg4 xdx =

tg x = t, dt =

, cos2 x =

= ∫

)

= ∫t4 (1+ t2 )dt =

+ t

1+ t

cos

+ C =

tg5 x

tg7 x

+ C .

′

tg5

7 x

Проверка:

+ C

= (tg4 x + tg6 x)

= tg4 x(1+ tg2 x)

= tg4 x

cos

= sec4 x tg4 x . Ответ: ∫sec4 x tg4 xdx =

tg5 x

tg7 x

+ C .

9. ∫5 + 4sindx x . Интегрируем с помощью замены переменной.

t = tg

dx =

2dt

∫

1+ t

∫

=∫

5 + 4sin x

sin x =

5 +

+ t

5 + 5t2

+ 8t)

)

+ t2

+ t

∫

arctg

t + 4/5

+ C =

+ 2

4/5 +16/ 25 −16/ 25

(t + 4/5)

3/5

+1 5

+ 9/ 25 3

arctg

5t + 4

+ C =

arctg

5tg(x / ) + 4

+ C .

5tg(x / ) + 4

′

Проверка:

arctg

+ C

) + 4)2

3 1+ (5tg(x /

/9 6cos2 (x / )

9cos2 (x /

) + 25sin2 (x /

) + 40sin(x / )cos(x /

) +16cos2 (x / )

25 + 20sin x

5 + 4sin x

Ответ: ∫

arctg

5tg(x / ) + 4

+ C .

+ 4sin x

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞ e2x −1

∞

10.

dx = 2

sh xdx = 2 lim

sh xdx =2 lim ch x

= 2 lim (chb − cha) = ∞ + ∞ = ∞ .

∫

a→−∞

−∞

b→∞

∞

−1

Интеграл расходится.

Ответ: ∫

dx = ∞ . Интеграл расходится.

−∞

1/ 2

d ln x

1/ 2

11. ∫

= lim ∫

= lim(−

)

= lim(−

) =

. Интеграл

lnα

xln

α →0

ln x

α →0

ln(1/

ln 2

сходится.

α >0

1/ 2

Ответ: ∫

. Интеграл сходится.

ln 2

xln

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y	= −x2 + 3x +1 = f		1	(x)
12.			1		.	Найдём точки пересечения линий:
12.	= x − 2 = f2 (x)				.	Найдём точки пересечения линий:
y	= x − 2 = f2 (x)
− x2 + 3x +1 = x − 2 x2 − 2x − 3 = 0 x = −1, x										2	= 3 .
								1		2		4
												4
Тогда
x2				3								2
S = ∫[ f1 (x) − f2 (x)]dx = ∫[−x2 + 3x +1− x + ]dx =												0
x1			−1									0
x1			−1
3							3	3
= ∫[3 + 2x −x2 ]dx = [3x + x2 − x							] =					2
												2
−1						3		−1				4	0	1	2	3
												1	0	1	2	3
= 9 + 9 − 9 + 3 −1− `1 = `32 = 10 2 . Ответ: S = 10 2 .												1
	3	3				3			3

x = 32cos3 t

13. y = sin3 t . Это астроида. Найдём точкиx = 4, (x ≥ 4)

пересечения линий:

32cos3 t = 4 cost =

= − π , t

= π . Следовательно,

π / 3

S = ∫(x(t) − 4)dy(t) =

∫[32cos3 t − 4]3sin2 t costdt =

−π / 3

π / 3

sin

π / 3

= 96

∫cos4 t sin2 tdt −12

= 12

∫(1+ cos2t)sin2 2tdt −

−π / 3

π / 3

sin

π / 3

sin 4t

π / 3

− 3

3 = 6

∫(1− cos4t)dt + 6

− 3

= 6[t −

]

−π / 3

= 4π +

3 − 3

3 − 3 3 = 4π . Ответ: S = 4π .

14. Вычислите длину дуги кривой (L):{ρ = 3(1− cosϕ) (кардиоида).

ϕ2

2π

L = ∫

ρ 2 + ρ′2 dϕ = ∫ 9(1− cosϕ)2 + 9 sin2 ϕdϕ = 3∫

dϕ = 3∫ 4sin2 (ϕ / )dϕ =

(1− cosϕ)

ϕ1

2π

02π = −12(−1−1) = 24 . Ответ: L = 24 .

= 6 ∫sin(ϕ / )dϕ = −12cos(ϕ / )

y = x2

15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)

вокруг оси OX.

y = 4

Найдём точки пересечения линий: x2 = 4 x

= − , x

= 2 .

x2	2		x	5		2

V = π ∫(y22	− y12 )dx = π ∫	(16 − x4 )dx = π (16x −			)

x1	−2	5				−2

= π (32 − 32 + 32 − 32) = 256π . Ответ: 5 5 5

V = 256π .

2 = 4(x − 4)

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

≤ x ≤

вокруг оси OX.

8π

P = 2π ∫ y

1+ y′2 dx = 2π ∫2

x − 4 1+1/(x − 4)dx = 4π ∫ x − 3dx =

(x − 3)3/ 2

7 =

8π

(27 − 8) =

152π

Ответ: P =

152π

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей

математике.

arctg

a +

− x

17. ∫

dx = −

arccos

+ C . По справочнику находим:

arctg

+ x2

∫

dx = −

arctg

−

+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие

математические формулы.)

arctg

a2 + x2

Ответ: ∫

dx = −

arctg

−

+ C .

∞

π .

18. ∫sin(x2 )dx . По справочнику находим: ∫sin(x2 )dx =

. Ответ: ∫sin(x2 )dx =

−∞

19.Напряжение цепи, равное первоначально 120 в, равномерно падает со скоростью

0.01вольт в секунду. Одновременно в цепь вводится сопротивление с постоянной скоростью

0.1Ом/с. В цепи имеется постоянное сопротивление r =12 Ом. Сколько кулонов

электричества протечёт через цепь за 3 минуты.

В момент времени t = 0 сопротивление цепи равно r(0) = 12 , а напряжение равно

V(0) = 120. В момент времени t сопротивление цепи будет r(t) = 12 + 0.1t , а напряжение

V(t) = 120 − 0.01t . Тогда в момент времени t ток составит величину J(t) = V(t) = 120 − 0.01t . r(t) 10 + 0.1t

Следовательно количество электричества за 3 минуты составит величину

180		− 0.01t		180					180

q = ∫	120		dt =	∫[	121.2	− 0.1]dt = 121.2	1	ln(12 + 0.1t)	− 0.1t	1800 =


0	12	+ 0.1t		0	12 + 0.1t	0.1			0

= 1212 [ln30 − ln12]−18 = 1212 ln 5 −`18 ≈ 1092 кулонов. Ответ: q ≈ 1092 кулонов. 2

20. Цилиндр с диаметром поперечного сечения d = 20 см и высотой H = 60 см заполнен паром под давлением 10 кг/см2. Пользуясь законом Бойля-Мариотта, вычислите работу, необходимую для изменения объёма пара в два раза при неизменной температуре.

По закону Бойля-Мариотта VP = V P = Const , т.е. P =						V0 P0	. Начальный объём будет
По закону Бойля-Мариотта VP = V P = Const , т.е. P =							. Начальный объём будет
				0	0	V
						V
равен V	0	= 60 πr2	= 60100π = 6000π	см3. Конечный объём равен V = V				0	/ 2 = 3000π . Пусть
	0						1	0

дно цилиндра расположено в точке x=0, а x – точка текущего положения поршня, которым сдавливается пар. Тогда V = πr2 x . Из этого следует, что dV = πr2dx . В положении

поршня x давление на поршень составит величину πr2 V0 P0 . Таким образом, на участке (x,

x+dx) необходимо совершить работу dA = πr2

V0 P0

dx = πr2

V0 P0

= V P

πr2

0 0 V

Следовательно,

6000π

A = ∫V0 P0

V = V0 P0

∫

V = V0 P0 lnV

V1 = V0 P0

ln V

= 6000π 10 ln 3000π

= 60000π ln 2 .

Переводя единицу длины в метры, получим

A = 600π ln 2 кГм.

Ответ: A = 600π ln 2 кГм.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015652.3 Кб16m2var06.pdf
#
27.03.2015659.11 Кб16m2var08.pdf
#
27.03.2015654.59 Кб15m2var09.pdf
#
27.03.2015655.06 Кб13m2var13.pdf
#
27.03.2015652.64 Кб15m2var14.pdf
#
27.03.2015652.32 Кб13m2var15.pdf
#
27.03.2015653.75 Кб17m2var16.pdf
#
27.03.2015650.31 Кб14m2var17.pdf
#
27.03.2015659.79 Кб38m2var18.pdf
#
27.03.2015275.71 Кб31m3var12.pdf
#
27.03.2015273.25 Кб13m3var15.pdf