56. Понятие о рациональных и дробно-рациональных функциях. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Опред.1: ф-я, равная отношению двух многочленов, назыв. дробно-рациональной ф-ей, или рациональной дробью. , (m,nϵN, a₀, a₁, …, a_n, b₀, b₁, …, b_m – действительные числа, a₀≠0, b₀≠0).

Опред.2: рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе(n<m). В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде многочлена и правильной рациональной дроби.

= L_n-m(x) + , гдеL_n-m(x)-многочлен степени n-m), R_k(x) – многочлен степени k, где k<m, т.е. – правильная рациональная дробь.

Интегрирование правильной рациональной дроби сводится к разложению ее на сумму простейших дробей. Для этого необходимо найти корни знаменателя, т.е. решить ур-е Q_m(x)=0 и разложит знаменатель на сомножители. Если в этом разложении x=a является действительным корнем первой кратности(т.е. встречается один раз), то ему соответствует простейшая дробь вида , где А-неизвестный коэффициент, подлежащий определению.

Если x=a явл. действительным корнем кратности k(т.е. в разложении встречается k раз), то ему соответствует сумма k дробей вида , гдеA₁, A₂, …, A_k – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Если знаменатель Q_m имеет комплексно-сопряженные корни первой кратности, то они определяются квадратным трехчленом x²+px+q, D=p²-4q<0. Этой паре комплексно-сопряженных корней соответствует , гдеM,N – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Если комплексно-сопряженные корни имеют кратность k, то им соответствует сумма k дробей вида ++ … +, гдеM_i, N_i(i=1,2,…,k) – неизвестные корни, подлежащие определению.

________________________________________________________________________

57) Интегрирование простейших дробей.

Опред.: простыми или простейшими рациональными дробями назыв. дроби вида: ,,,, гдеA, a, M, N, p, q – действительные числа, k-натуральное число, а квадратный трехчлен x²+Px+q не имеет действительных корней, т.е. D=p²-4q<0.

1. 

2. 

3. , D=p²-4q<0

При интегрировании используется метод интегрирования квадратного трехчлена, выделяется полный квадрат

= (выделяем полный квадрат в знаменателе) = = (заменаx+(p/2)=t, x=t-(p/2), dx=dt, 0<) =(разбиваем на два интеграла, один содержитt, другой нет) = = ===, где

4. = = = (заменаx+(p/2)=t, x=t-(p/2), dx=dt, 0<) ==+= ==.

вычисляется по рекуррентной формуле.

________________________________________________________________________

58. Вывод рекуррентной формулы.

= = |= =, dv=dx, v=x | ==+= =+=+-=+ 2nI_n – 2na²I_n+1

I_n = + 2nI_n – 2na²I_n+1 => 2na²I_n+1 = + (2n-1)I_n |/2na²

I_n+1 = +I_n = |n+1=k, n=k-1|

I_k = +I_k-1

= + *, (k>1)

________________________________________________________________________

59. Интегрирование иррациональных ф-й. Дробно-рациональные подстановки.

Интегрирование иррациональных выражений производится методом рационализации подынтегрального выражения. Суть метода состоит в том, что с помощью определенных замен под знаком получают рациональную дробь, которую можно интегрировать стандартными способами, разложив на простейшие дроби.

1. Вычисление интегралов вида , где К – рациональная ф-я своих аргументов,a, b, c, у – действительные числа, m≥2 – натуральное число. Обязательно в этом интеграле под корнем стоит дробно-линейная ф-я, которая в частном случае может быть линейной.

–дробно-линейная ф-я(отношение двух линейных ф-й). если c=0, e=1 => ax+b

Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены .

Покажем, что такая замена приводит к рационализации подынтегрального выражения. Выразим x и найдем dx.

ax+b=cxt^m+et^m => x(a-ct^m)=et^m-b => x=– рациональная дробь

dx==

= ч.т.д.

2. Вычисление интегралов вида , гдеR-рациональная ф-я своих аргументов, a,b,c,e – действительные числа, – несократимые дроби.

Замена , где – общий знаменатель дробей.

Покажем, что в этом случае снова получаем рациональную дробь.

Из предыдущего известно, что x=,dx = .

, где r₁ – целое число

, где r₂ – целое число

, где r_k – целое число

В результате получаем интеграл: . ч.т.д.

________________________________________________________________________