43)Повторное дифференцирование в дифференциалах. Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.
(uv)(n)
=
u(n)v
+ Cn1*u(n-1)v’
+ Cn2*u(n-2)v’’
+ … + Cnk*u(n-k)v(k)
+ … + Cnn-1*u’v(n-1)
+ uv(n)
= ∑nk=0Cnk*
*u(n-k)v(k),
Cnk
=
.
Аналогично dn(uv) = ∑nk=0Cnk*dn-ku*dkv.
Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.
y=f(x). 1) x – независ. перем. dx=Δx, d(dx)=d(Δx)=0
dy=f’(x)dx
d2y=d(f’(x)dx)=d(f’(x)dx + f’(x)d(dx)) = f’’(x)dx*dx = f’’(x)dx2
d3y=d(f’’(x)dx2) = d(f’’(x)dx2 + f’’(x)d(dx2)) = f’’’(x)dx*dx2 = f’’’(x)dx3
dny=f(n)(x)dxn, (n≥1)
2) x завис. перем. Пусть x=x(t), dx=xt’dt
dy=f’(x)dx
d2y=d(f’(x)dx) = d(f’(x)dx + f’(x)d(dx)) = f’’(x)dx*dx + f’(x)d2x = f’’(x)dx2 + f’(x)d2x
d3y=d(f’’(x)dx2 + f’(x)d2x) = d(f’’(x))dx2 + f’’(x)d(dx2) + d(f’(x))d2x + f’(x)d(d2x) = f’’’(x)dx*dx2 + f’’(x)(d2x*dx + dx*d2x) + f’’(x)dx*d2x + f’(x)d3x = f’’’(x)dx3 + 3f’’(x)dx*d2x + f’(x)d3x.
Форма n-го дифференциала при n≥2 различна для случаев, когда x – независ. и x – завис. перем. В этом случае говорят об не инвариантности формы высших диффер-лов.
________________________________________________________________________
44) Формула Тейлора для многочлена.
Пусть дан многочлен Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn. преобразуем этот многочлен относительно (x-x0), где x0 – произвольное число, т.е. представим многочлен в виде Pn(x) = A0 + A1(x-x0) + A2 (x-x0)2 + A3(x-x0)3 + … + An(x-x0)n (1)
Продифференцируем (1) n раз. Получим:
Pn’(x) = A1 + 2A2(x-x0) + 3A3(x-x0)2 + … + nAn(x-x0)n-1
Pn’’(x) = 2A2 + 3*2A3(x-x0) + … + n(n-1)An(x-x0)n-2
Pn’’’(x) = 3*2A3 + … + n(n-1)(n-2)An(x-x0)n-3
Pn(n) = n(n-1)(n-2)*…* 2 * 1* An.
Подставим в эти выражения x0.
Pn(x0) = A0 A0 = Pn(x0)
Pn’
(x0)
= A1 A1
=
Pn’’(x0)
= 2! * A2 A2
=
Pn’’’(x0)
= 3! * A3 A3
=
Pn(n)(x0)
= n! * An An
=
.
Подставим найденные выражения в ур-е (1).
Pn(x)
= Pn(x0)
+
(x-x0)
+
(x-x0)2
+
(x-x0)3
+ … +
(x-x0)n
.
Получили ф-лу Тейлора для многочлена.
________________________________________________________________________
45)Формула Тейлора для произвольной ф-и.
Пусть f(x) – ф-я общего вида(не многочлен) определена в окр-ти т. x0 и имеет производные до n-го включительно в т. x0. Для такой ф-и составим многочлен Тейлора.
Pn(x)
= f(x0)
+
(x-x0)
+
(x-x0)2
+
(x-x0)3
+ … +
(x-x0)n
(1).
Т.к. ф-я f’(x) не явл. многочленом, то ф-ла (1) дает лишь некоторое приближение к f(x), с помощью которого f(x) может быть вычислена с некоторой степенью точности. Поэтому разность f(x)-Pn(x) назовем остаточным членом и обозначим Rn(x). Тогда f(x) может быть представлена f(x)=Pn(x) + Rn(x), где Pn(x) – многочлен Тейлора для f(x).
Остаточный член – погрешность приближенного равенства (которую получают при замене f(x) многочленом). f(x) ≈ Pn(x).
Теорема:
если f(x)
определена в некоторой окр-ти т. x0
и имеет в ней производные до n-го
порядка включительно и Ǝf(n-1)(x).
Пусть существ. производная n+1-го
порядка в окр-ти т.x0.
тогда для любого x
из этой окр-ти найдется такая Cϵ(x,x0),
что справедлива след. ф-ла: f(x)
= f(x0)
+
(x-x0)
+
(x-x0)2
+ … +
(x-x0)n
+
(x-x0)n+1
(2), (C=x0
+ ϴ(x-x0)
, 0<ϴ<1).
Ф-ла (2) назыв. ф-лой Тейлора для ф-и f9x) с остаточным членом в форме Лагранжа.
Rn=
(x-x0)n+1
– остат. член в форме Лагранжа.
Остаточный член в форме Лагранжа исп. для вычисления погрешности заменой ф-и f(x) многочленом Тейлора. Очевидно, что при n→∞ => Rn(x)→0, т.к. в этом случае (n+1)! растет быстрее показательной ф-и. (x-x0)n+1 может быть б.м. при n→∞, если x близко к x0.
В
тех случаях, когда оценивать погрешность
не надо, остат. член записывают в форме
Пеано: Rn(x)
= 0((x-x0)n)
. Ф-ла Тейлора с остат. членом в форме
Пеано имеет вид: f(x)
= f(x0)
+
(x-x0)
+
(x-x0)2
+ … +
(x-x0)n
+ 0((x-x0)n)
(3).
Если
в ф-ле (2) или (3) положить x0=0,
то получ. частный случай ф-лы Тейлора
(ф-ла Маклорена): f(x)
= f(0)
+
x
+
x2
+ … +
xn
+ 0(xn)
(4).
Частный случай ф-лы (2) при n=0:
f(x)
= f(x0)
+
(x-x0)
или f(x)
– f(x0)
=
(x-x0)
Δf(x0)
= f’(C)
Δx
, где x0<C<x
– ф-ла Лагранжа для конечных приращений.
________________________________________________________________________