метода, MCad6

1.3.Обобщенная регрессия

Ксожалению линейная или полиномиальная функции не во всех случаях подходят для описания зависимости данных.

При более сложных зависимостях между данными приходится использовать уравнение регрессии в виде линейной комбинации известных функций

y(x) = a0 f 0 (x) + a1 f1 (x) + ... + an f n (x)

либо в виде произвольной нелинейной функции

y(x) = f (x, a0 , a1 ,..., an ) ,

где коэффициенты a0 , a1 ,..., an подлежат определению. Первая задача может быть решена с использованием встроенной функции linfit, а для решения второй задачи можно воспользоваться функцией genfit.

linfit(VX,VY,F) - возвращает вектор, содержащий коэффициенты, используемые для создания линейной комбинации функций из F, дающую наилучшую аппроксимацию данных из векторов VX и VY. F - функция, которая возвращает вектор, состоящих из функций, которые нужно объединить в виде линейной комбинации.

genfit(VX,VY,VG,F) - возвращает вектор, содержащий n параметров a0 , a1 ,..., an−1 , которые обеспечивают наилучшее приближение данных из VX и VY функцией y(x) = f (x, a0 , a1 ,..., an−1 ) . F - функция, которая возвращает (n+1)- мерный вектор, содержащий f и ее частные производные.

Пример. Для заданного набора экспериментальных данных получить уравнение регрессии в виде:

y( x) A.F( x) - уравнение регрессии

x 1

Пример. Величины X и Y связаны функциональной зависимостью

y(x)= 2e− x

Измерения величины Y производится с погрешностью, которая представляет собой равномерно распределенную на отрезке [ 0,1 ] случайную величину, имеющую среднее значение равное нулю и дисперсию равную 1. Необходимо смоделировать набор измеренных значений величины Y, при условии, что величина X принимает ряд значений в

vxi

Получено уравнение регрессии: y( x) 1.937.e 0.393 .x

1.Экстремум функции

Рассмотрим два способа поиска экстремума функции многих переменных. Первый из них использует известный из математического анализа факт равенства нулю частных производных функции в точке ее локального экстремума. Если такая точка найдена, то проводится исследование является данная точка точкой локального мксимума или минимума.

Пример. Найти экстремум функции

f (x, y) = (x − y − 2)2 + (x + y − 4)2 + 3

минимум функции y = f (x1 , x2 ,..., xn ) ³ 0 .Если эта функция является знакопеременной то необходимо воспользоваться

монотонно связана с первой и, следовательно, имеет минимум в той же точке что и исходная функция. Далее, если попытаться с использованием функции Minerr найти решение уравнения f (x1 , x2 ,..., xn ) = 0 , то она возвратит набор

Следовательно набор значений (x1 , x2 ,..., xn ) и будет

f (x1 , x2 ,..., xn ) , то необходимо поступить как и в предыдущем

локальных максимумов или минимумов, то результат поиска

Исследуем, действительно ли является ли найденная точка точкой локального минимуа функции f(x,y).

Для этого опрелелим функции для первых, вторых, смешаных производных от функции f(x,y) а также определитель матрицы Гессе.

В точке с координатами x=x0 и y=y0

Следовательно, точка с координатами x=x0 и y=y0 действительно является точкой локального экстремума.

-то точка с координатами x=x0 и y=y0 является точкой локального минимума.

g( x, y) 0

x x - формальное равенство, которое необходимо, чтобы число неизвестных в системе уравнений было равно числу уравнений

f( x0, y0) = 0.795 - значение функции в точке экстремума

Исследуем, действительно ли является ли найденная точка точкой локального локального максимума функции f(x,y). Для этого опрелелим функции для первых, вторых, смешаных производных от функции f(x,y) а также определитель матрицы Гессе.

fyx( x, y) f yy( x, y)

Вточке с координатами x=x0 и y=y0

Следовательно, точка с координатами x=x0 и y=y0 действительно является точкой локального экстремума.

Так как

-то точка с координатами x=x0 и y=y0 является точкой локального максимума.

Рассмотрим теперь получение уравнения регрессии по методу наименьших квадратов рассмотренным выше способом, основанным на минимизации целевой функции.

Пусть X = (x1 , x2 ,..., xi ,..., xn )T - вектор измеренных значений величины X, а Y = ( y1 , y2 ,..., yi ,..., yn )T - вектор измеренных значений величины Y. Необходимо по этому набору данных получить уравнение регрессии вида y(x) = f (x, a0 , a1 ,..., am ) .

В соответствии с методом наименьших квадратов задача сводится к минимизации квадратичной целевой функции

n

S (a1 , a2 ,..., am ) = ∑[ yi − f (xi , a1 , a2 ,..., am )]2 по набору параметров

i=1

a1 , a2 ,..., am .

Ниже приведен пример решения такой задачи.

Моделирование данных

2

g( x) 2.e ( x 2 ) - вид функциональной зависимости между величинами X и Y

δx 0.2 M 20 - шаг изменения величины X и число измерений

i 0 .. M

vxi i.δx vyi g vxi 0.8.rnd( 1) - моделирование измеренных значений X и Y

Получение уравненя регрессии

N length( vx) 1

Given

S( a1 ,a2 ,a3) 0 a1 a1

a2 a2