Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

метода, MCad6

.0.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
26.03.2015
Размер:
1.17 Mб
Скачать

f( x, y)

 

e

x2

 

 

 

 

y2

Определение функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

2.5

y0

 

 

 

 

 

 

2.5

Начальные значения аргументов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

0.2

y

 

 

0.2

Шаг изменения аргументов

 

 

 

N

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число точек на осях X и Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

0 .. N

 

 

1

x

 

 

x0

 

 

 

 

i. x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

0 .. N

 

1

y

 

 

 

y0

 

 

j. y

M

 

f x , y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j

 

i j

Пример графика поверхности

0.8

0.6

0.40

0.210

20

0

10

20

M

2.2.Форматирование 3-х мерного графика

Для форматирования

3-х мерного графика

необходимо:

 

выделить график щелчком ЛКМ;

выполнить команду меню Graphics/3D Plot Format (

Графики/ Формат 3D графики);

После этого появится окно "Формат 3D графики", содержащее четыре вкладки, позволяющие выполнять форматирование отдельных элементов графика:

View(Вид) - позволяет выполнить вращение ( Rotation ) графика, изменять угол наклона относительно плоскости х-y под которым виден график( Titl ) и другие операции

Axes(Оси) - позволяет установить линии сетки по осям координат;

Color & Lines (Цвет) - изменяет цвет окраски графика;

Title(Заголовок) - позволяет задать название графика.

2.3.Построение карты линий уровня функции 2-х переменных

рассчитать матрицу

значений

функции

f(x,y):

Mi,j=f(xi,yi) на заданном множестве значений

(xi, yi)

аргументов x и y.

 

 

 

выполнить команду меню Graphics/Create Contour Plot

(Графики/создать карту линий уровня) и в поле ввода шаблона напечатать имя матрицы, содержащей значения функции.

После заполнения поля шаблона необходимо щелкнуть ЛКМ вне области графика при работе в автоматическом режиме или нажать клавишу F9 при работе в ручном режиме. Карта линий уровня будет отображена на экране.

Для изменения размеров карты, ее необходимо выделить пунктирной линией и изменить размер, ухватившись мышью за правую или нижнюю границу выделенной области ( при этом курсор должен принять вид двойной стрелки).

Пример. График поверхности и карта линий уровня для функции f (x, y) = x2 y2

 

График поверхности

5

 

 

0

 

0

 

 

5

 

10

 

20

 

 

0

10

20

M

 

 

 

 

Карта линий уровня

2

2 1 0

1

2

3

 

1 2

 

2

1

4

 

 

 

1

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

0

 

3

0

 

 

2

 

 

2

 

 

1

0

1

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

1

0

4

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

2 1

0

1

2

3

1 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

0

1

2

M

 

 

 

 

 

 

 

Карта линий уровня строится таким образом, что ось X графика идет направо, а ось Y направлена вверх. Так как карта линий уровня создается помещением значений функции в матрицу, Mathcad не знает истинных значений x и y. По этой причине на карте линий уровня по умолчанию нормированы так, что координаты изменяются от -1 до 1. Если необходимо установить истинные границы изменения аргументов x и y, то необходимо выполнить команду меню

Graphics/3D Plot Format ( Графики/ Формат 3D графики),

выбрать вкладку Axes(Оси) и на ней заполнить поля Min.Val. ( Мин. Знач.) и Max. Val.( Макс. Знач.) необходимыми значениями для X- оси (X- Axis) и Y- оси (Y- Axis).

2.4.Форматирование карты линий уровня

Форматирование карты линий уровня выполняется аналогично форматированию 3-х мерного графика. Используется команда меню Graphics / 3D Plot Format.

Замечание: Функция двух переменных f(x,y) может быть графически представлена либо в виде графика поверхности либо в виде карты линий уровня. Переключение между этими формами представления, производится по вкладке View( Вид ) в окне “ Формат 3D графика”. Кнопка Surface Plot -устанавливает отображение графика в виде

поверхности, а кнопка Countaur Plot - в виде карты линий уровня.

1.Вычисления в пакете Mathcad

1.1.Операции с матрицами и векторами.

Для проведения вычислений с матрицами и векторами в пакете Mathcad предусмотрен ряд встроенных функций. Ниже приведены некоторые из них.

Имя

Возвращается...

функции

 

rows(A)

Число строк в массиве A. Если A - скаляр,

 

возвращается 0.

cols(A)

Число столбцов в массиве A. Если A - скаляр,

 

возвращается 0

lenght(v)

Число элементов в векторе v

last(v)

Индекс последнего элемента в векторе v

max(A)

Максимальный элемент в массиве A

min(A)

Минимальный элемент в массиве A

identity(n)

(n×n)- единичная матрица

diag(v)

Диагональная матрица, содержащая на

 

диагонали элементы вектора v

tr(A)

Сумма диагональных элементов матрицы A

 

(след A ). Матрица A должна быть

 

квадратной

Рассмотрим примеры некоторых операций с матрицами и векторами.

Произведение матриц

 

 

 

1

 

3

6

 

 

 

 

 

 

2

5

 

7

 

 

 

 

 

 

68

32

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

7 8 2

 

 

 

B

 

 

4 5 6

 

C

 

A.B C =

64 79

99

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

5

4

 

 

 

 

 

 

9

2

 

1

 

 

 

 

 

 

70

68

 

83

 

 

 

Произведение матрицы на вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

5

 

 

D

 

 

 

A.V

D =

 

 

68

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

67

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Транспонирование матрицы и вектора

Вычисление определителя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрицы

 

 

 

 

 

 

AT =

 

1

7

7

 

 

 

VT =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

8

5

 

 

 

 

2

 

5 7

 

 

 

 

D

 

 

A

 

 

D =

 

146

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление обратной матрицы

A 1 =

 

 

0.151

 

0.123

0.288

A 1 .A =

1

0

0

 

 

0.096

0.26

 

0.274

0

1

0

 

 

0.144

 

0.11

0.089

 

0

0

1

 

Скалярное произведение векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

s

 

 

 

W.V

s = 52

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

V

 

d =

8.832

- длина вектора V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- определитель матрицы A

d

 

 

 

 

 

 

A

 

d =

 

 

146

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

V

s =

14

 

- сумма элементов вектора V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A< 0 >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Y

 

 

Y =

7

- первый столбец матрицы A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

Число строк и столбцов матрицы A

n

 

 

 

 

 

rows( A)

n = 3

 

m

 

 

 

 

cols( A) m = 3

 

 

 

 

 

 

 

max( B) = 9

min( B) =

1

 

 

 

k

 

 

 

 

 

length( V)

k =

3

 

 

 

 

- число элементов вектора V

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

last( V)

m =

2

 

 

 

 

- индекс последнего элемента в векторе V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

- создана единичная матрица

I

 

 

 

 

 

 

identity( 2)

I =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

diag( V)

T =

 

0

5

 

0

 

 

- создана диагональная матрица с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

7

 

 

элементами вектора V на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

диагонали

p

 

 

 

 

 

tr( B)

p = 8

 

 

 

 

 

 

- след матрицы B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для выполнения поэлементных операций над элементами векторов или матриц в пакете Mathcad существует оператор векторизации, который предписывает Mathcad применять операторы и функции к каждому элементу массива поочередно. Так если V- вектор, то sin(V)- недопустимое выражение. Но если использовать оператор векторизации, Mathcad вычисляет синус каждого элемента вектора V, а результат - новый вектор, чьи элементы - синусы элементов

V.

Для применения оператора векторизации к некоторому выражению необходимо заключить это выражение в выделяющую рамку и нажать комбинацию клавиш “ Ctrl” и”. Сверху выделенного выражения будет помещена стрелка. Например

 

 

 

1

 

 

 

0.841

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2 =

V

 

 

2

 

sin( V) =

0.909

 

4

 

 

 

 

 

 

3

 

0.141

 

9

1.2. Простейшие вычисления в пакете

Mathcad

Ниже приведены примеры простейших вычислений в математическом пакете Mathcad. Сюда относятся вычисление

алгебраических выражений, сумм, произведений, интегралов, производных, логических выражений и т. д.

Напомним, что нужный математический оператор может быть введен нажатием соответствующей комбинации клавиш на клавиатуре или взят из палитры символов.

 

 

 

 

 

 

 

sin( x)

 

 

 

 

 

ln( y)

 

x

 

0.5 y

 

6.7 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = 9.783 109

- вычисление значения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x2

 

 

 

 

 

y2

алгебраического

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выражения

f( x)

 

 

x.ex

 

 

 

2.ln( x

 

 

 

1)

- определение функции

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

5

 

 

f( x) dx

 

 

 

I = 604.381

- вычисление интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( t , a)

 

 

 

 

 

 

 

 

- определение функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f( x) dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( 5 , 1) = 604.381 - предыдущий пример с использованием функции F(t,a)

x

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

d

 

 

f( x)

p = 3

 

 

- производная функции f(x) при x=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P( x)

 

 

d

 

f( x)

 

 

 

 

 

 

- определение функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P( 0) = 3

 

 

 

 

 

 

- предыдущий пример с использованием функции P(x)

i

 

 

1 , 3 .. 7

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

s = 16

 

- сумма нечетных чисел на отрезке [1,7]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

2 , 4 .. 10

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i2

p = 1.475 107

- произведение квадратов четных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чисел на отрезке [2,10]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

s = 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

length( V) s

 

 

 

 

 

Vi

 

- сумма элементов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 0

 

 

 

вектора V

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p = 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vi

 

 

 

 

 

 

 

 

- произведение элементов вектора V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 , x2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 , x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f( x)

 

 

if x

 

 

 

 

 

x

- определение функции f( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x , x> 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(

 

3) = 9

 

 

 

 

 

 

f( 9) = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Алгебраические уравненения и системы

1.1. Решение одного уравнения

Для решения одного уравнения с одним неизвестным f(x)=0 в пакете Mathcad используется функция root(f(x),x), где f(x)- функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение, которое возвращает скалярное значение,

x - имя переменной, относительно которой ищется решение уравнения.

Функция root(f(x),x) возвращает значение x при котором f(x)=0. Для нахождения корня Mathcad использует численный метод. Поэтому перед использованием функции root(f(x),x) переменной x необходимо присвоить начальное значение. Если функция f(x) имеет несколько корней, то найденное значение корня будет зависеть от начального приближения для переменной x. Будет найдено то значение корня, в окрестности которого задано начальное приближение.

Пример. Найти все корни уравнения ex cos( x) = 0.5 на отрезке

[-1.5, 1.5]

 

f( x)

e x.cos( x)

0.5

x

1.5, 1.4.. 1.5

 

График функции f(x)

Строим график функции f(x) на

 

 

 

2

 

 

 

заданном отрезке и определяем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

примерное положение корней

f( x)

 

 

1

 

 

 

на оси X .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

0

1

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

1

- начальное приближение для первого корня.

x1

root( f( x) , x)

 

x1 =

1.454

 

- найден первый корень.

x

1

- начальное приближение для второго корня.

x2

root( f( x) , x)

 

x2 = 0.54

 

- найден второй корень.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.