метода, MCad6

y(x0 ) = y0

y n−1 (x0 ) = y0 n−1

Процедура решения такого ДУ в пакете Mathcad сводится к решению рассмотренной выше системы ДУ. Для этого введем обозначения:

y = y0

Таким образом имеем систему уравнений

и систему начальных условий

Пример. Решить дифференциальное уравнение

d 2 y + 2 dy + 17 y = 0 , dx 2 dx

1.Статистический анализ

Для решения задач статистического анализа в пакете Mathcad предусмотрен ряд встроенных функций, позволяющих получить статистические оценки случайных совокупностей. Ниже приводится их описание. При этом предполагается, что m- число строк, а n- число столбцов в рассматриваемых массивах.

mean(A) Возвращает среднее значение элементов массива A размерности m×n

mn i=0 j=0

вектор (n=1), то

1 m−1

mean(V ) = ∑Vi m i=0

var(A) Возвращает дисперсию элементов массива A размерности m×n

cvar(A,B) Возвращает ковариацию элементов массивов A и B размерности m×n

согласно формуле

mn i=0 j =0

черта означает комплексное сопряжение. Если A и B вектора с действительными элементами, то

m i=0

stdev(A) Возвращает среднеквадратичное отклонение ( квадратный корень из дисперсии ) элементов m×n массива A

corr(A,B) Возвращает скаляр: коэффициент корреляции для двух m×n массивов A и B

Mathcad содержит ряд встроенных функций для генерирования случайных чисел, имеющих разнообразные распределения вероятностей.

rnorm(N,m,σ) Возвращает вектор N случайных чисел, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием m и среднеквадратичным отклонением σ (квадратный корень из дисперсии).

runif(N,a,b) Возвращает вектор N случайных чисел, имеющих равномерное распределение на отрезке [а,b], a<b.

rnd(x) Возвращает равномерно распределенное случайное число на отрезке [0,1]. Эквивалент runif(1,0,x).

Mathcad содержит встроенную функцию hist для вычисления частотного распределения, применяемого для построения гистограмм.

hist(int,A) - возвращает вектор, представляющий частоты, с которыми величины, содержащиеся в векторе А , попадают в интервалы, представляемые вектором int. Элементы в А и int должны быть вещественными. Кроме того, элементы int должны быть расположены в порядке возрастания. Возвращаемый результат - вектор, содержащий на один элемент меньше, чем int.

Пример. Получить выборку размером N=100 элементов из последовательности случайных чисел, имеющих нормальное распределение, математическое ожидание a=5 и среднеквадратичное отклонение σ=1. Определить для нее среднее значение, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и построить гистограмму.

1.Функции регрессии

Mathcad включает ряд встроенных функций, позволяющих получить уравнение регрессии по набору экспериментальных данных. Эти функции создают кривую определенного типа, которая в некотором смысле минимизирует ошибку между собой и имеющимися данными. Они отличаются между собой прежде всего типом кривой, которую они используют для аппроксимации данных. Рассмотрим некоторые из этих функций.

1.1. Линейная регрессия

Уравнение регрессии в пакете Mathcad можно представить в виде:

y(x)=slope(VX,VY)*x+intersept(VX,VY),

где VXвектор измеренных значений аргумента , VY - вектор измеренных значений функции. Функция наилучшим образом приближает данные в смысле наименьших квадратов.

Пример. По заданному набору экспериментальных данных получить уравнение регрессии в виде линейной функции.

Функцию regress удобно использовать, когда все данные можно приблизить единственным полиномом. Если же данные не связаны единой полиномиальной зависимостью, то для получения лучшего результата вместо функции regress совместно с interp можно воспользоваться функцией loess, которая выполняет локальное квадратичное приближение данных. Это означает, что вместо одного полинома, как это делает regres, loess создает различные полиномы второго порядка в зависимости от расположения на кривой.

loess(VX,VY,span) - возвращает вектор, требуемый interp,

чтобы найти набор полиномов второго порядка, которые наилучшим образом приближают определенные окрестности выборочных точек, определенных в векторах VX и VY. Вектора VX и VY имеют тот же смысл, что и в функции regress. Аргумент span ( span>0, хорошее значение по умолчанию - span=0.75 ) определяет насколько большие окрестности loess будет использовать при выполнении локального приближения.

Пример. Величины X и Y связаны функциональной зависимостью

Измерения величины Y производится с погрешностью, которая представляет собой равномерно распределенную на отрезке [ 0,1 ] случайную величину, имеющую среднее значение равное нулю и дисперсию равную 4. Необходимо смоделировать набор измеренных значений величины Y, при условии, что величина X принимает ряд значений в диапазоне от 0 до 10 с шагом равным 1, и получить уравнение регрессии по этим данным.

Из графика видно, что в данном случае наилучшее приближение к экспериментальным данным получается с использованием локального квадратичного приближения.