43.Базисом на пл-сти

наз-ся 2 линейно-независимых(не колиниарных)век-ра этой пл-сти взятых в определен.порядке.

Базисом в прост-ве наз. 3 линейно-независимых (не комплонарных) век-ра взятых в определённом порядке.

Теорема:если век-ры 1и2 образ. базис на плос-ти,то любой ек-орэтой плос-ти можно единствен.способом представить в виде линейной комбинации базисных век-ов:=x 1+y2(такое представление назыыв.разложением в-ра по базису {1;2},такжеx,y-назыв.координатами в-ра в базисе {1;2}.

Теорема:если в-ра 1,2 ,3 образ.базис в простр-ве ,то=x 1+y+z3(x,y,z-координаты в-ра ра базисе {1;2,3}.

44. Направление в-ра в пространстве

опред-тся углами , кот. вектор образует с осями координат. Косинусы этих углов наз.направляющими косинусами вектора: ,,.

 

Рис. 12

Из свойств проекций:,,. Следовательно,

, ,.

Легко показать, что

1)     ;

2)     координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: .

Единичный вектор - вектор, абсолютная величина (модуль) кот. равен единице. Единичный вектор, направленный вдоль оси Х, обозн-ся i, единичный вектор, направленный вдоль оси Y , обозн-тся j, а единичный вектор, направленный вдоль оси Z, обозн-тся k. Векторыi, j, k называются , они имеют единичные модули, то есть i = 1, j = 1, k = 1.

45.Скалярным произведением двух векторов (или) наз. число, равное произведен. длин этих ве-ров на косинус угла между ними:, где.

Св-ва скалярного произведения:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     , или, или(в-ры ортогональны).

5)     a • a = | a |²;

6)

7) i•i=j•j=k•k=1

Приложение скалярного произведения

46.Векторным произв. *называется

вектор с=[;]=×, который удовлетворяет 3 услов.:

1)где

2) ,

3) ,,-правая тройка, т.е кратчайший поворот от правого вектораквиден через с по часовой стрелке.

Свойства:

1. ;

2)

3) ×(+с)= ×+×

4)

5)   , или, или;

6) ; ;;

Геометрическое приложение:

, 

Механическое приложение:

М=ОА×F

47.Смешанным произв. 3-ёх векторов назыв.

скалярное произв. ,на ..

Свойства:

1. 

2. ×* =×*=×*=-×*=-×*=-×*

3. (λ)×*=λ(×*)

4. (1+2)×*=1×*+2×*

5. Если ,,образ. Правую тройку, то их смешанное произв.>0; если-левую <0

6. ×*=0 ,,-компланарны (условие компланарности)

48. Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости

каноническое уравнение

параметрическое уравнение

 уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

,.  уравнения прямой с угловым коэффициентом

49. Угол между двумя прямыми

tgϕ=,, ,где , 

Условие перпендикулярности 2-ух прямых:

Условие параллельности:

50. Расстояние от точки до прямой на плоскости

_{Расстояние от точки до плоскости}

51. Эллипс

Каноническое уравнение

(a>0, b>0)

a-большая полуоси, b-малая полуоси эллипса

(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)- вершины эллипса;

(ε‹1) – эксцентриситет эллипса

- уравнение эллипса с осями, параллельными координатным, и центром симметрии (

52. гипербола

Каноническое уравнение

а- действительная, b- мнимая полуоси;

(a,0),(-a,0)- вершины гиперболы

(ε›1) – эксцентриситет гиперболы

- уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным осям

53. парабола

Каноническое уравнение

p>0 – расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы. Вершина параболы - точкаO(0,0), ось Ox-ось симметрии. Уравнение директрисы ᶩ параболы: x= -

парабола с вершиной в начале координат , симметрична относительно оси Оу, имеет уравнение

54. Плоскость. Различные виды уравнения плоскости.

*плоскость в пространстве

Ax+By+Cz+D=0, (– общие уравнение плоскости

Расположение плоскости в зависимости от значений коэффициентов А,В,С,Д

Пл. проходит через начало координат	D=0, Ax+By+Cz+D=0
Пл.ǁОх n(вектор) _l_Ох→A=0	A=0, By+Cz+D=0
Пл. проходит через Ох	A=0, D=0 , By+Cz=0
Пл. ǁ Оу и Ох	A=0, B=0, Cz+D=0
Координатная плоскость Оху	A=0, B=0, D=0, z=0
Координатная плоскость Оуz	X=0
Координатная пл.Охz	Y=0

Уравнение плоскости в пространстве

Три точки M1(x1,y1,z1)ͼQ M2(x2,y2,z2)ͼQ M3(x3,y3,z3)ͼQ
Точка М0(х0,у0,z0) и вектор n={A,B,C} _l_Q	A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Плоскость Q отсекает отрезкиa, b, c, на осях Ox, Oy и Oz соответственно

Взаимное расположение плоскостей Q1 и Q2 в пространстве

Q1ǁQ2 ↔n1ǁn2
Q1 и Q2 совпадают
Q1 _l_ Q2 ↔n1 _l_n2	A1A2+B1B2+C1C2=0
Q1 b Q2 пересекаются под углом γ	Сos γ=
Расстояние d от точки M0(x0,y0,z0) до плоскостиQ: Ax+By+Cz+D=0	d=d(M0,Q)=