64.Неявно заданная фу-ция
Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .
Пример
1.
Всякую явно заданную функцию можно записать в неявном виде . Обратно сделать не всегда возможно. Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно , оказывается возможным найти производную от по . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию как функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную .
65.Линии уровня.Градиент
Рассматривается
функция u=f(x,y,z)=f(M);M
U(M0)
и единичный вектор 
=(cos
.
Проводится прямая l через
т.М0 с
направляющим вектором 
l:
Определение 1. Производная функции u = u(x, y, z) по переменной t называется производной по направлению l
Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t.
Она
обозначается 
и
равна
Определение 2. Градиентом функции u(х1,х2,…,хn) называется вектор, координаты которого равны частным производным функции u :
В
нашем случае gradu= 
Свойства градиента:
-Производная
по направлению в-ра l
равна скалярному произведению градиента
ф-ии на в-р
соноправлен
с в-ом l
-производная по направлению имеет большую величину если cos(µ)=1 т.е если она берётся в направление градиента(вектор сонаправлен с градиентом)
-градиент характеризует направление наискорейшего возрастания ф-ии
-градиент перпендикулярен поверхности уровня(линии уровня в случае 2 переменных)
Линия
уровня.
Пусть функция f(x) задана
в некоторой области пространства 
,n
.
Поверхность в пространстве 
,
определённая уравнениемf(x)=C ,
где C --
постоянная, называется поверхностью
уровня C
функции f(x) .
Если n=2 ,
то множество, заданное уравнением f(x)=0 ,
называется линией уровня.
66. Точка m0(x0;y0) называется точной локального максимума(минимума) функции двух переменных
если для всех точек с координатами (x;y) из некоторой проколотой окрестности точки (x0;y0) выполняется неравенство f(x0;y0)>f(x;y)(f(x0;y0)<f(x;y))
Необходимое условие существования локального экстремума. Если точка (x0;y0) является точкой локального экстремума функции нескольких переменных, то в этой точке обе частные производные этой функции равны 0, или хотя бы одна из них не существует
Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных. Пусть точка (x0;y0) критическая точка функции двух переменных и пусть функция имеет в этой точке частные производные второго порядка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в области.
1.найти частные производные, приравниваем их к нулю, найти критические точки
2. выбрать те критические точки, которые лежат в области Д
3. найти наибольшее и наименьшее значения функции на каждом отрезке
4. выбрать наибольшее и наименьшее значения