23.3. Решение дифференциальных уравнений в приложении Mathcad
В приложении Mathcad решить дифференциальное уравнение можно, записав формулы выбранного метода. Например, пусть имеется дифференциальное уравнение:
x0
= 0, y0
= 1, h
= 0,1.
Для решения уравнения методом Эйлера надо на рабочем поле Mathcad записать:
h := 0.1, n := 3, i := 0..n,
x0 := 0, y0 := 1,
xi+1 = xi + h,
yi+1 = yi + h (0.2 yi + xi).
Для получения численных значений записываются выражения: x= и y = .
Имеются и встроенные функции для решения дифференциальных уравнений, например встроенная функция rkfixed.
Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, приведенную выше, можно записать:
x1 := 1, x2:=1.3, Np:=20,
y0 := 1, y1 := 0,
R := rkfixed(y, x1, x2, Np, D).
Здесь x1, x2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение; Np – число точек, в которых определяется решение; y0, y1 – начальные условия; D(x, y) – вектор правых частей системы. Для определения матрицы с решениями надо набрать R =
Можно также построить графики решения для различных значений i, характеризующие зависимость R(1, i) от R(0, i) и зависимость R(2, i) от R(0, i), т. е. зависимость y от x и зависимость z от x.
23.4. Задание для выполнения на компьютере
1. Решить дифференциальные уравнения, представленные в таблице. В приложении Excelдля дифференциального уравнения первого порядка на языкеVBAразработать программу решения методом Рунге-Кутта, а для системы дифференциальных уравнений − методом Эйлера.
3. Выполнить вычисления в пакете Mathcad. Результаты сравнить между собой.
Таблица
Исходные данные для расчета
|
№ п/п |
Уравнения |
Интервал и шаг |
Начальные условия |
|
1 |
|
[0;1], h=0.05 |
y(0)=1 |
|
|
[2;4], h=0.1 |
z1(2)=3, z2(2)=0 | |
|
2 |
|
[1;2], h=0.05 |
c(1)=1 |
|
|
[0;1], h=0,1
|
y1(0)=2, y2(0)=2 | |
|
3 |
|
[1;3], h=0.1 |
x1(1)=1, x2(1)=0 |
|
|
[0;1], h =0.05 |
y(0)=4 | |
|
4 |
|
[10;12], h=0.1 |
p1(10)=3, p2(10)=0 |
|
|
[1;2], h=0.05 |
y(1)=10 | |
|
5 |
|
[0;2], h =0.2 |
z(0)=1 |
|
|
[1;2], h=0.05 |
y1(1)=5, y2(1)=0 | |
|
6 |
|
[0;1], h=0.05 |
y(0)=8 |
|
|
[2;3], h=0.1 |
z1(2)=3, z2(2)=1 | |
|
7 |
|
[1;2], h=0.05 |
c(1)=1 |
|
|
[0;1], h=0.1 |
y1(0)=2, y2(0)=0 | |
|
8 |
|
[2;3], h=0.1 |
x1(1)=1, x2(1)=0 |
|
|
[0;1], h =0.05 |
y(0)=9 |
;
;
;
Окончание таблицы
|
9 |
|
[1;2], h=0.1 |
p1(1)=3, p2(1)=1 |
|
|
[1;2], h=0.05 |
y(1)=5 | |
|
10 |
|
[0;2], h=0.2 |
z(0)=1 |
|
|
[1;2], h=0.05 |
y1(1)=6, y2(1)=0 | |
|
11 |
|
[0;1], h=0.05 |
y(0)=1 |
|
|
[2;3], h=0.1 |
z1(2)=3, z2(2)=0 | |
|
12 |
|
[1;2], h=0.05 |
c(1)=1 |
|
|
[0;1], h =0.1 |
y1(0)=0, y2(0)=2 | |
|
13 |
|
[1;3], h =0.1 |
x1(1)=5, x2(1)=0 |
|
|
[0;1], h=0.05 |
y(0)=4 | |
|
14 |
|
[0;2], h=0.1 |
p1(0)=3, p2(0)=0 |
|
|
[1;2], h=0.05 |
y(1)=6 | |
|
15 |
|
[0;2], h=0.2 |
z(0)=1 |
|
|
[1;2], h=0.05 |
y1(1)=5, y2(1)=1 |
