20. Решение систем уравнений
20.1. Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений n-го порядка имеет следующий вид:
или в матричном виде:
AX = B,
где
,
,
Корнями системы являются такие значения x1, x2, …, xn, подстановка которых в систему превращает уравнения в тождества.
Метод Гаусса. Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных x1, x2,…, xnпутем преобразования системы уравнений таким образом, чтобы под главной диагональю располагались нули. В полученной системе определяется корень xn из последнего уравнения, корень xn–1 – из предпоследнего и т. д.
Рассмотрим алгоритм метода Гаусса:
1. Ввод числа n, обозначающего порядок системы, матрицы A и вектора B.
2. Выполнение п. 3–7 данного алгоритма с изменением номера вычитаемого уравнения k с 1 до n – 1.
3. Выполнение п. 4–7 с изменением номера уравнения i, из которого производится вычитание, с k + 1 до n.
4. Вычисление c = aik / akk, aik = 0.
5. Выполнение п. 6 с изменением номера столбца j c k + 1 до n.
6. Расчет aij = aij – cakj.
7. Вычисление bi = bi – cbk.
8. Определение корня xn = bn / ann.
9. Выполнение п. 10–13 с изменением номера уравнения i с n – 1 до 1.
10. Подготовка переменной для вычисления суммы s = 0.
11. Выполнение п. 12 с изменением номера столбца j с i + 1 до n.
12. Вычисление s = s + aijxj.
13. Определение xi = (bi – s) / aii.
14. Вывод значений x1, x2, …, xn.
В данном алгоритме п. 2–7 обеспечивают преобразование матрицы A к треугольному виду (прямой ход метода), а выполнение п. 8–13 позволяет определить корни системы линейных уравнений (обратный ход метода).
Матричный метод.Зная матрицу A, можно вычислить обратную матрицу A–1, затем умножить ее на систему: A–1 A X = A–1 B. Получится: X = A–1 B. Элементы вектора Xи являются корнями системы линейных уравнений.
20.2. Решение систем линейных уравнений в приложениях Mathcad и Excel
Рассмотрим решение систем линейных уравнений в приложении Mathcad матричным методом. Сначала записываются коэффициенты системы в матрицу A. Далее задается вектор B и записывается формула для определения корней
X := A–1 B.
Корни вычисляются после набора выражения: X =
В приложении Excel также можно использовать матричный метод. Пусть имеется система линейных уравнений третьего порядка. Первоначально необходимо ввести элементы матрицы А, например, в ячейки А1:С3. Затем − вектор В, например, в ячейки Е1:Е3.
Далее следует выделить диапазон ячеек для вычисления корней, например G1:G3, и в строке формул набрать:
=МУМНОЖ(МОБР(A1:C3);E1:E3)
После ее набора нажать не одну клавишу ввода, а вместе три клавиши: <Shift> + <Ctrl> + <Enter>. В ячейках G1:G3 появятся вычисленные корни системы линейных уравнений.
20.3. Решение систем нелинейных уравнений в приложении Mathcad
Системы нелинейных уравнений могут иметь разнообразный вид. Рассмотрим способ решения системы нелинейных уравнений на примере. Пусть имеется система:
В приложении Mathcad надо записать начальные приближения корней и систему уравнений в блоке given:
x1 := 1 x2 := 1
given
5x1 x2 + 0.2x2 = – 6
– 6x1 + 4x1x2 = 0.8
При записи системы используется не знак равенства, а знак логического равенства =, который имеется на панели Булево. Затем вводится встроенная функция: r := find(x1, x2).
Чтобы получить значения корней, надо записать: r =