Biometrija_2011
.pdf
41
. 3.5
, |
i = 0,5; . |
. , , - |
|
|
, 50% - |
. :
, |
- |
|
, , |
. , |
- |
|
( |
|
3.2) , . 3 .6. -
,
.
. 3.6
42
3.3
( ).
( ), ,
. -
( ). -
, -
. ( -
) ( ).
-
, -
|
|
X 1 X 2 X 3 X n |
|
1 |
n |
|
|
|
|
X i (3.2) |
|||
X |
||||||
n |
n |
|||||
|
|
|
i 1 |
Xi - ( ); n - ( ).
( ) -
( )
. , , .:
X M (x)
:
|
|
1 |
n |
|
|
|
(x) (x)2 |
(Xi M (x))2 |
|
||
D |
(3.3) |
||||
n |
|||||
|
|
i 1 |
|
: Xi - ( );
M(x) - ; n - .
( )
, X .
, , -
; :
43
|
1 |
n |
|
|||
D (x) |
( X i |
X |
)2 . |
(3.3') |
||
n |
||||||
|
i 1 |
|
||||
" ",
1/(n-1), :
|
|
1 |
|
n |
|
|||
|
(x) |
|
( X i |
|
) 2 . |
(3.3") |
||
D |
X |
|||||||
n 1 |
||||||||
|
|
i 1 |
|
|||||
-
,
; -
. -
.
. -
:
|
1 |
n |
(x) D(x) |
( X i X ) 2 . (3.4) |
|
|
n 1 |
i 1 |
,
-
.
(3.2),(3.3),(3.4), ( -
) , -
. ,
,
:
|
|
1 |
n |
|
|
|
(Xi mi ) |
||
X |
||||
n |
||||
|
|
i 1 |
n |
|
(Xi i ) . |
(3.5) |
i 1
|
1 |
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|||
D (X) |
|
(Xi |
|
)2 mi |
(Xi |
|
|
)2 i |
|
|
||||
|
X |
X |
. |
(3.6) |
||||||||||
n 1 |
n 1 |
|||||||||||||
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|||||||||
: Xi – i - ;
mi - ;
i – i - ;
44
, (3.5),
.
-
, -
:
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
X i cp mi ( Xi cp i ) |
|||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
||
|
(x) |
|
( X i |
|
|
) 2 mi |
|
|
( X |
||||||
D |
X |
||||||||||||||
|
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
n 1 |
i 1 |
|
|
|
|
1 i 1 |
||||||
: X - ( ); mi - ( );
i- ( ).
. (3.5')
icp X ) 2 i . (3.6')
, -
-A.
, , ,
-. :
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|||
|
|
X |
A |
|
( X i A) . |
(3.5") |
||||||
|
|
n 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|||
D |
(x) |
{ (xi A)2 n ( |
X |
A)2} . |
(3.6") |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
|
n 1 |
i 1 |
|
|
|
|
||||
, -
:
|
|
1 |
|
n |
2 ) . |
||
D |
(x) |
|
( X i 2 n |
X |
|||
n 1 |
|||||||
|
|
i 1 |
|
||||
-
, . -
|
, - |
. |
|
45
:
C |
|
(x) |
100 % . |
(3,7) |
||
|
|
|
||||
X |
||||||
|
|
|
||||
.
3.3 -
( n = 9)
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
20,7 |
21,2 |
20,5 |
20,6 |
20,4 |
21,1 |
20,7 |
21,1 |
20,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:
X X1 X 2 X3 X n n
20,7 21,2 20,5 20,6 20,4 21,1 20,7 21,1 20,9 20,8. 9
-
: (Xi- X
(Xi- |
|
|
)2 |
, - |
||||||||||
X |
||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Xi |
20,7 |
21,2 |
20,5 |
20,6 |
20,4 |
21,1 |
20,7 |
21,1 |
20,9 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Xi- |
|
|
|
|
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
|
X |
||||||||||||||
( X i |
|
)2 |
0,01 |
0,16 |
0,09 |
0,04 |
0,16 |
0,09 |
0,01 |
0,09 |
0,01 |
|||
X |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:
|
|
1 |
|
n |
|
0.01 0.16 0.09 0.01 0.09 0.01 |
|
||
D |
(x) |
|
( Xi |
X |
)2 |
|
0.082 0.08 |
||
n 1 |
|
||||||||
|
|
1 i |
8 |
|
|||||
(x) D(x) = 0,08 = 0,29.
46
3.4. .
. n = 100.
|
M ( ) |
1,75-2,24 |
2,25-2,74 |
|
2,75-3,24 |
3,25-3,74 |
3,75-4,24 |
|||
|
( ) |
2,0 |
2,5 |
|
3,0 |
3,5 |
4,0 |
|||
|
i |
0,02 |
0,10 |
|
0,24 |
0,30 |
0,21 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
4,25-4,74 |
|
4,75-5,25 |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
4,5 |
|
5,0 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
0,10 |
|
0,03 |
|
|
|
|
|
n = 100
,
:
n
M M I i
i1
=2*0,02+2,5*0,1+3*0,24+3,5*0,3+4*0,21+4,5*0,1+5* *0,03 = 3,5.
, -
:
i |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
||||
i |
0,02 |
0,10 |
0,24 |
0,30 |
0,21 |
0,10 |
0,03 |
||||
- |
|
|
|
1,5 |
1,00 |
0,50 |
0,00 |
0,50 |
1,00 |
1.50 |
|
M |
|||||||||||
- |
|
|
)2 |
2,25 |
1,00 |
0,25 |
0,00 |
0,25 |
1,00 |
2,25 |
|
M |
|||||||||||
:
|
|
n |
|
n |
|||
|
(x) |
|
(M I cp |
|
)2 i |
||
D |
M |
||||||
n 1 |
|||||||
|
|
i 1 |
|||||
=100/99*(2,25*0,02+1*0,1+0,25*0,24+0,25*0,21+1*0,01
+2,25*0,03)=0,429=0,43.
:
(x) D(x) 0,43 = 0,65.
47
, , .
, .
( ) -
( );
, .
( ) ( ),
.
- ,
, ; , , :
, ( ).
. -
[1].
3.4.
( ), -
, -
, , . -
, : -
, . -
. ( ) -
( )
.
,
, , -
, .
p = p (| - | < ), |
(3.8) |
p - ,
[ - + ].
( ) -
,
, :
48
b
p(a,b) f (x)dx
a
f(x) - .
-
, -
b |
1 |
|
|
|
p(a, b) |
e ( X M )2 / 2 |
D |
( x) |
|
a |
2 D(x) |
|
|
|
, -
( . 1 ).
:
p(a, b) 1 (tb ) (t ). 2
(t) - ,
tb (b M ) / (x); ta (a M ) / (x);
-
, : -
p ± .
= - b = + tb ta -
:
ta = (a - )/ (x) = ( - - )/ (x) = - (x) tb = (b - M)/ (x) = (M + - M)/ (x) = + (x)
, - , .
(t) = - (-t),
p = p( ± ) = (x)].
tb= = (x),
p, :
49
tp = (x) => ± = (x) * tp . |
(3.9) |
,
:
= (x) * -1(p), |
(3.10) |
-1(p) - .
-
.
, -
(n > 30) -
; -
( X ) n ,
), .:
( X ) = )/ 
n .
,
(3.10), -
(x)
( X ) :
± = ( |
|
) * -1(p) (x) 1 ( p) |
(3.11) |
X |
|||
|
|
n |
|
(n < 30), -
,
, :
± = ( |
|
) tk , p |
(x) t |
|
|
X |
, |
(3.11') |
|||
|
|
|
n |
|
|
tk,p = ,
p k = n-1. -
( . 2 -
).
|
± , - |
|
|
|
|
) . |
p |
|
50
, ,
.
,
, ; -
:
0,9; 0,95; 0,97; 0,99; 0,995; 0,999.
( ), ,
1 – p:
= 1 - p
:
0,1; 0,05; 0,03; 0,01; 0,005; 0,001.
-
.
3.5. -
, 3.3 -
p = 0,9.
3.3 , -
(x) = =0,29.
(n = 9), -
(3.11'). p = 0,9 k = n-1 = 8 -
tk,p = 1,86 , , :
± |
(x) tk , p = 0,29 1,86 0,19 0,2. |
|
|
n |
9 |
X = 20,8 -
p = 0,9 ± 0,2, . -
, 0,2. , -
- , -
( ). 0,2
20,8 , .
.
3.6. -
, 3.4, p = 0,95.
(n = 100), -
(3.11).