где f0 = F0 l/J.

Это уравнение вынужденных колебаний. Его незатухающее решение

Таким образом, в установившемся режиме вынужденные колебания можно считать гармоническими. Амплитуду и начальную фазу вынужденных колебаний можно найти, подставив ϕ(t) в (4.7).

силы, возникшей, например, из-за несбалансированности вращающихся частей машин, из-за порывов ветра или из-за сейсмических колебаний. Крупные органы человека и сельскохозяйственных животных имеют частоты собственных колебаний порядка нескольких герц, и сильные внешние вибрации с такими частотами могут вызвать резонанс органов, приводящий к местным кровоизлияниям и микроразрывам тканей. Вибрации приводят к головокружениям, затруднению дыхания, болям в суставах, нарушению зрения и другим неприятным последствиям. Поэтому при работе с виброинструментом или вблизи него необходим постоянный контроль здоровья. Кроме того, сильные вибрации снижают молочную продуктивность коров, замедляют рост молодняка и т.д.

Заканчивая разговор о свободных и вынужденных колебаниях, еще раз повторим, что все сказанное в этих трех параграфах относится к колебаниям любой природы, а не только механическим.

4.4. Механические волны

К механическим колебаниям относятся также совместные колебания частиц, из которых состоит та или иная среда. Такие колебания называют механи-

ческими волнами.

Если обозначить смещение частиц среды, участвующих в волновом процессе y, то уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль оси Х, будет иметь вид

30

Определим основные характеристики волны. В целом они те же, что и для гармонических колебаний. Амплитуда A – максимальное отклонение частиц среды от положения равновесия. Циклическая частота ω (ω = 2πν = 2π/T),

Из формулы (4.11) видно, чем больше частота волны, тем меньше ее длина, а значит, больше волновое число. Размерность волнового числа: м–1.

Волна называется бегущей, так как частицы не только совершают колебания в одной плоскости, например, вверх-вниз или вправо-влево, но и еще все вместе движутся (бегут) со скоростью u вдоль оси Х. Волна плоская, когда ее фронт представляет плоскость. Бывают волны со сферическим и цилиндрическим фронтом. Фронтом волны называется поверхность, до которой к данному моменту дошло колебание. См. также вступление к главе IV.

Если частицы совершают колебания в направлении распространения волны, волна называется продольной. Например, звуковые волны. Если колебания совершаются в плоскости, перпендикулярной распространению волны, волна называется поперечной. Например, волны на поверхности воды.

Продольные волны существуют в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях растяжения-сжатия. Поэтому продольные волны могут распространяться в любых веществах: твердых, жидких и газообразных.

Любую волну можно характеризовать и с энергетической точки зрения. Есть «сильные» волны, есть «слабые». Введем понятие интенсивности волны.

Интенсивность волны – это энергия, переносимая волной в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению

Единица измерения интенсивности: [J] = Дж/(м2·с) = Вт/м2.

Выразим интенсивность через основные параметры колебаний и параметры среды. Энергию каждой колеблющейся частицы можно найти по формуле (4.4)′. Складывая энергии всех частиц, получим такую же формулу для энергии, переносимой этими частицами,

E = 12 mA2ω2 ,

где m – масса всех частиц в объеме V, прошедших через выделенную площадку S за время t. Так как m = ρV, а V = Sut, то

Из полученной формулы видно, что интенсивность волны кроме квадрата амплитуды пропорциональна плотности среды. Так, браконьеры взрывают в воде

31

толовую шашку, взрыв которой в воздухе не производит разрушений уже на расстоянии нескольких метров. Но поскольку плотность воды во много раз больше плотности воздуха, то взрыв такой шашки в воде гораздо мощнее и приводит к гибели рыбы на расстоянии в десятки, а иногда и сотни метров от места взрыва. По этой же причине глубинные бомбы небольшой мощности приводят к деформации и разрыву корпусов подводных лодок на значительных расстояниях от них. Кроме того, интенсивность пропорциональна скорости распространения волны в среде. В воде скорость звука почти в 4 раза больше, чем в воздухе, поэтому данный фактор дополнительно увеличивает мощность подводных взрывов.

4.5. Физические характеристики звуковых волн

Особый интерес для рассмотрения представляют звуковые волны, поскольку и человек, и животные посредством звука передают и получают разнородную информацию. В звуковой волне периодически меняется плотность среды: в области сжатия она больше, в области разрежения – меньше. Другими словами, чередуются области повышенного и пониженного давления.

Источниками звука являются колеблющиеся системы. Например, мембрана, кварцевая пластина, струна, труба, колокол. Кроме того, звук возникает от движения соприкасающихся частей различных механизмов, ударов, взрывов, электрических разрядов и т.д.

Изучением упругих колебаний среды и распространяющихся в среде зву-

ковых волн с частотами от самых низких, около 0 Гц, до предельно высоких 1011 – 1013 Гц, занимается акустика.

Частотный диапазон звуковых волн следующий: ниже 20 Гц – инфразвук, 20-20000 Гц – звук, воспринимаемый слуховым аппаратом человека и многих животных, выше 20 кГц – ультразвук.

Скорость распространения звуковой волны (скорость звука u) в разных средах разная. Например, в воздухе u ≈ 330 м/с, в воде u ≈ 1450 м/с, в твердых телах1 (сталь) u ≈ 6000 м/с. Скорость звука зависит от плотности среды и от ее упругих свойств. Для газов скорость звука зависит от температуры: с ростом температуры скорость звука увеличивается. Отметим, что в вакууме звук не распространяется, поскольку там нет среды и нечему колебаться.

Интенсивность звука, как и для любой волны, определяется формулой (4.12). Это объективная характеристика силы воздействия звука.

При удалении от источника звука интенсивность звуковых волн уменьшается согласно следующей закономерности:

J = J0 e–αx, (4.14)

где J0 – интенсивность вблизи источника, х – расстояние от источника звука до

точки наблюдения, α – коэффициент поглощения (затухания) звука, его размерность м–1.

1 В отличие от газов и жидкостей в твердых телах могут распространяться и поперечные звуковые волны, причем скорость поперечной волны u меньше скорости продольной u||. Скорость продольной волны в тонком стержне uст тоже другая: u < uст < u||. Например, для стали u = 3100 м/с, uст = 5200 м/с, u|| = 6000 м/с.

32

Коэффициент поглощения возрастает пропорционально квадрату частоты звука, поэтому низкие звуки (с маленькой частотой) распространяются дальше высоких (с большой частотой). Так, ядерные взрывы на низких частотах 0,01-1 Гц можно зафиксировать практически на любом расстоянии (десятки тысяч километров) в любой точке Земли. А высокочастотный звук 10-20 кГц уже не пройдет через стену в несколько сантиметров.

Если волна (необязательно звуковая) проходит через границу раздела разных сред, например, воздух-вода, то она частично отражается от границы и частично проходит в другую среду. Любая среда характеризуется коэффициентом отражения: если он маленький (много меньше единицы), почти вся волна проходит в среду, аесли большой(около единицы), почтивсяволнаотражается.

Если обозначить интенсивность падающей волны J0, а интенсивность отраженной J1, то коэффициент отражения

Для границы воздух-вода или вода-воздух r ≈ 1, то есть звук практически полностью отражается от этой границы. По этой причине подводные звуки на берегу практически не слышны, и звуки на берегу под водой тоже почти не воспринимаются.

Для любых волн, в том числе и звуковых, характерно еще одно важное свойство: частота колебаний, которую регистрирует приемник, зависит от скорости взаимного движения источника и самого приемника. Например, если источник звука удаляется от наблюдателя, то частота звуковой волны, воспри-

нимаемая наблюдателем, будет меньше собственной частоты источника

(длина волны, соответственно, больше). И наоборот, когда источник приближается, наблюдатель воспринимает увеличенную частоту (длина волны уменьшается). Это свойство называется эффектом Доплера.

В общем случае, когда может двигаться и источник, и приемник, эффект Доплера описывается следующим образом. Частота звуковой волны ν от источника, движущегося со скоростью υ2, воспринимаемая наблюдателем, движущимся со скоростью υ1

где ν0 – собственная частота источника, ϕ1 (ϕ2) – угол между направлением скорости υ1 (υ2) и направлением распространения звука от источника к наблюдателю, рис. 4.8.

зяйственных животных.

33