Лекция 2. Динамика материальной точки
Динамика занимается изучением движения тел под действием различных сил. В основе классической динамики лежат законы Ньютона и законы сохранения импульса, момента импульса и энергии.
2.1. Законы Ньютона
Первый закон Ньютона (закон инерции): существуют такие системы отсчета, в которых тело, не подверженное внешним воздействиям, или покоится, или движется прямолинейно и равномерно (другими словами, если сумма всех действующих на тело сил равна нулю, то тело или покоится, или движется прямолинейно и равномерно). Эти системы отсчета называются инерциальными.
Инерциальными называют системы отсчета, которые движутся равномерно и прямолинейно или неподвижны. Например, вагон поезда, движущегося с постоянной скоростью по прямолинейному участку. Для таких систем отсчета справедлив принцип относительности Галилея: основные законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Неинерциальными называют системы отсчета, движущиеся с ускорением. Например, вагон поезда, движущегося с ускорением (разгон, торможение или прохождение закругленного участка). Здесь на пассажиров кроме прочих сил начинает действовать сила инерции, направленная в сторону, противоположную направлению ускорения. Действие этой силы в движущемся транспорте каждый, безусловно, ощущал1.
Второй закон Ньютона: в инерциальной системе отсчета сила, действующая на тело, равна производной импульса по времени:
Fr = ddtp , (2.1)
где pr = mυr − импульс тела (измеряется в кг·м/с). Если масса тела m постоянна, то
r |
|
dυ |
r |
|
F |
= m |
|
= ma , |
(2.1)′ |
dt |
||||
где ar – ускорение тела, приобретаемое под действием силы, |
F – суммарная или |
|||
равнодействующая сила: векторная сумма всех сил, действующих на тело.
Единицей измерения силы является ньютон (Н). Из формулы (2.1)′ следует связь этой единицы с основными единицами международной системы из-
мерений СИ:
[F] = Н = кг·м/с2.
Приведем примеры некоторых сил, действующих в природе.
1 Вопрос о силах инерции довольно сложный и более подробно рассмотрен в приложении 1 к главе I. Здесь только отметим, что, если пассажир движущегося по закругленному участку поезда пойдет по вагону, то кроме центробежной появится еще одна сила – сила Кориолиса, направленная перпендикулярно скорости человека. Поэтому на поворотах легче удержаться в неподвижном положении, чем в движении.
11
|
|
Сила тяжести действует в гравитационном поле Земли на |
||
m g |
любой объект, имеющий массу, и направлена к центру Земли. Сила |
|||
тяжести приложена к центру масс тела и по величине равна |
|
|||
|
|
|
||
|
|
Fт = mg, |
(2.2) |
|
Рис. 2.1 |
||||
где m − масса тела, g − ускорение свободного падения (рис. 2.1). По |
||||
мере удаления от поверхности ускорение свободного падения уменьшается.
В природе сила тяжести имеет ориентирующее значение. Так, растения всегда растут против силы тяжести, реки и ручьи текут под уклон, а вода скапливается в низинах. Животные и человек также выравнивают свое положение в соответствии с направлением силы тяжести.
Сила упругости возникает при деформации тел и направлена против де-
формации. По величине она равна |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fу = k l, |
(2.3) |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
где k − коэффициент жесткости, измеряемый в Н/м, |
l − |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
величина деформации. На рис. 2.2 в положении 1 груз |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
поддерживается так, что пружина недеформирована, а в |
|
|
|
|
|
|
l |
положении 2 груз медленно опустили. Указанная формула |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пригодна в случае относительно небольших деформаций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 2.2 |
О возникновении и действии упругих сил речь пойдет в |
|
лекции 5.
Сила трения скольжения обусловлена шероховатостью соприкасающихся поверхностей или в случае гладких поверхностей – силами притяжения меж-
|
|
Nr |
r |
ду молекулами этих поверхностей. Сила трения действует |
||
|
|
υ |
вдоль поверхности соприкосновения тел и направлена про- |
|||
Fтр |
F |
тив скорости движущегося тела (рис. 2.3). По величине она |
||||
|
|
|
|
|
равна |
|
|
|
Рис. 2.3 |
|
Fтр = μN, |
(2.4) |
|
|
|
|
где μ − коэффициент трения, N − сила реакции опоры (сила |
|||
упругости). |
|
На неподвижные тела действует сила трения |
||||
Fтр |
|
|||||
|
покоя. Максимальная сила трения покоя равна той |
|||||
|
|
|
|
|
||
μN |
|
наименьшей приложенной к телу силе F, которая вы- |
||||
|
зывает скольжение тела. Таким образом, сила трения |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
скольжения равна максимальной силе трения покоя |
|
0 |
Рис. 2.4 |
F (на самом деле, чуть меньше |
максимальной силы |
|||
|
|
трения покоя, рис. 2.4). |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Трение играет большую роль в природе и технике. Благодаря трению приходят в движение и останавливаются все живые организмы и транспортные средства. Действие органов передвижения и хватательных органов живых существ основано на трении. Трение удерживает корни растений в почве, нити в тканях, песок в дорожной насыпи и т.д. Без трения в прямом смысле все расползется и будет неустойчивым. В сельскохозяйственной практике на различии значений коэффициента трения у семян разных зерновых культур основано разделение смеси этих семян на составные части.
12
Спомощью второго закона Ньютона можно рассчитывать ускорения тел
исилы, действующие на них. Посмотрим, как пользоваться этим законом на практике.
Пусть по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, скатывается брусок (рис. 2.5). Найдем силу трения, действующую на брусок, и его ускорение, если коэффициент трения бруска о плоскость μ. Для этого запишем второй закон Ньютона в векторном виде, учитывая все силы, действующие на тело массы m:
mar = mgr + Fтр + N .
Y r |
r |
|
N |
||
Fтр |
||
r |
||
|
a |
α 
mg X
Рис. 2.5
Теперь возьмем проекции каждой силы на оси X и Y.
На ось X: ma = mgsinα − Fтр = mgsinα − μN,
на ось Y: 0 = N − mgcosα.
Из этих двух уравнений получим: Fтр = μmgcos α, a = g(sin α − μ cos α). Следует отметить, что если sin α < μcos α (то есть a < 0), то брусок двигаться не будет. Предельный случай, когда еще возможно движение, sin α = μ cos α или tgα = μ.
Третий закон Ньютона (закон действия и противодействия): силы взаи-
модействия двух тел равны по величине |
и противоположны по направлению. |
|
F1 = F2 и |
F1 = −F2 . |
(2.5) |
На рис. 2.6 приведен пример столкновения двух ша-
ров, иллюстрирующий этот закон. Здесь F1 − сила, дейст- F1 
F2 вующая в момент удара на первый шар со стороны второго,
F2 − на второй со стороны первого.
Кроме трех основных законов Ньютон открыл закон всемирного тяготения, согласно которому любые два тела притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс m1 и m2 и обратно пропорциональными квадрату расстояния r между ними, рис. 2.7. Такие силы называются гравитационными или силами тяготения.
F = G |
m1m2 |
, |
|
|
(2.6) |
||
|
|
|
|||||
т |
r 2 |
|
|
|
|
|
|
где G = 6,67·10−11 Н·м2/кг2 – гравитационная по- |
Fт |
− Fт |
|
|
|
||
стоянная. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно, величина G очень мала, поэтому m1 |
|
r |
|
|
m2 |
||
|
|
||||||
гравитационные силы при взаимодействии не- |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
больших тел несущественны. |
|
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
|
Из закона всемирного тяготения можно лег- |
|
|
|
|
|
||
ко получить выражение для ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли. Если m – масса тела, а Mз и Rз – масса и радиус Земли, то
Fт = G M з2m , Rз
с другой стороны
Fт = mg,
13
поэтому
g = G |
M з |
2 |
|
≈ 9,81 м/с . |
|
R2 |
||
|
з |
|
2.2. Закон сохранения импульса
Этот закон можно получить из второго закона Ньютона для замкнутой системы тел.
Замкнутой или изолированной системой называется группа тел, взаимодействующих только друг с другом и не взаимодействующих с другими телами. Конечно, в природе таких систем не бывает, но в некоторых случаях внешние силы не оказывают влияния на протекающие в системе процессы. Действие внешних сил на систему можно не учитывать, если эти силы или скомпенсированы1, или пренебрежимо малы.
Итак, если система замкнутая, то суммарная внешняя сила, действующая на нее, равна нулю F = 0 . Для такой системы формула (2.1) имеет вид
ddtp = 0.
Равенство нулю производной означает, что функция постоянная, – в данном случае импульс системы pr не зависит от времени и является постоянным
вектором:
p = const .
Это и есть закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса утверждает, что в замкнутой системе сумма
импульсов всех тел есть величина постоянная |
|
p = const , |
(2.7) |
где p = p1 + p2 +... Другими словами, в замкнутой системе суммарный импульс тел до взаимодействия равен суммарному импульсу тел после взаимодействия.
Например, для двух взаимодействующих тел с массами m1 и m2: |
|
||
r |
+ m2υ2 |
= m1u1 + m2u2 , |
(2.7)′ |
m1υ1 |
|||
где υ1 и υ2 − скорости 1 и 2 тела до взаимодействия, а u1 и u2 − их скорости после взаимодействия. Импульс величина векторная, и закон сохранения импульса записывается в векторном виде. При решении задач удобно записывать этот закон в проекциях на оси X и Y.
В природе и технике закон сохранения импульса выполняется в различных процессах, связанных со столкновениями, ударами, взрывами и т.д. Один из характерных примеров – реактивное движение, используемое в воздушнореактивных и ракетных двигателях. Тяга в таких двигателях создается отдачей (реакцией) вытекающего из него рабочего тела, например, газа, образующегося при сгорании ракетного топлива. В соответствии с законом сохранения импульса ракета движется в сторону, противоположную направлению истечения газов.
1 Векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему равна нулю.
14