где V = 4 πr3 – объем шарика радиуса r.

3

Тогда для вязкости получим

2gr

2

η =

) .

9υ

(ρ −ρ

1

2

6.3. Течение вязкой жидкости по горизонтальной трубе. Формула Пуазейля

Перейдем теперь к рассмотрению движения жидкости в цилиндрической

трубе с гладкими стенками. При сравнительно небольших скоростях жидкость

течет без завихрений. Такое течение называют ламинарным. При больших ско-

ростях течения в потоке появляются завихрения, и движение становится турбу-

лентным. Для выяснения, когда ламинарное движение переходит в турбулент-

ное, используют так называемое число Рейнольдса:

Re = ρυd

,

(6.8)

η

где d и υ – характерные размер и скорость тела или потока (в данном случае

d – диаметр трубы), ρ и η – плотность и вязкость жидкости.

Число Рейнольдса безразмерное. Существует критическое значение этого

числа Reкр, при котором течение жидкости становится турбулентным. При этом,

если Re < Reкр, движение ламинарное, а если Re ≥ Reкр – турбулентное. Критиче-

ское число Рейнольдса определяют из опыта для конкретной ситуации. Оно зави-

сит от конфигурации тел, обтекаемых жидкостью и свойств самой жидкости. Так,

для рассматриваемой нами прямой гладкой трубы Reкр ≈ 2300.

Рассмотрим безвихревое (ламинарное) течение жидкости в трубе радиуса

R и длины l под действием разности давлений

Р = Р2 – Р1 на ее концах (Р2 > Р1).

При этом слой молекул, прилегающий к стенке, прилипает к ней и остается не-

подвижным. Следующий слой молекул под действием

силы, создаваемой разностью внешних давлений, мед-

r

υ(r)

ленно движется, преодолевая внутреннее трение. Каж-

дый следующий слой движется быстрее, достигая мак-

Р2

Р1

симального значения в центре трубы, рис. 6.7. Распре-

R

деление скоростей в трубе носит параболический ха-

рактер. Покажем это.

l

Выделим внутри трубы трубку тока радиуса r. На

ее боковую поверхность действует сила вязкого трения

Рис. 6.7

(6.6)

= −ηdυ 2πrl .

F

тр

dr

Кроме того, на основания трубки действует сила, вызванная разностью

давлений,

F =

Р·πr2.

Эта сила противоположна силе вязкого трения. При стационарном течении

этисилыдолжныбытьравныповеличине(векторнаясуммаравнанулю). Тогда

45

(r = R) скорость обращается в ноль, то есть υ(R) = 0. Тогда получим

υ =

P

(R2

− r 2 ) .

(6.9)

4ηl

Q =

π P

∫R (R2 − r 2 )rdr ,

2ηl

0

Q =

πR4

P

.

(6.10)

8η

l

Rg =

P

.

(6.11)

Q