Глава I. МЕХАНИКА
Механика – наука о движении тел. Основные законы классической механики были сформулированы Г. Галилеем и И. Ньютоном в XVII-XVIII в.в. Классическая механика рассматривает расстояния много больше размеров атома: s >> 10–10 м = 1 Å (ангстрем) и скорости много меньше скорости света:
υ << c = 3·108 м/с.
Лекция 1. Кинематика материальной точки
Кинематика описывает движение тел, не рассматривая причин этого движения, то есть не рассматривает силы, действующие на тела. В кинематике любое (даже большое) тело мы будем считать материальной точкой, то есть пренебрегать его формой и размерами.
Кроме того, кинематика описывает изменение во времени различных параметров, характеризующих систему (масса, концентрация и др.) или скорости процессов (диффузия, теплообмен, химическая реакция и др.), протекающих в ней.
1.1. Основные характеристики движения (общий случай)
Для описания движения необходима система отсчета, которая состоит из системы координат для указания положения тела в пространстве и часов для указания времени.
|
|
|
|
Примером системы координат является пря- |
|||
Z |
A |
B |
|
моугольная система координат с началом в точке |
|||
r |
r |
|
О и осями X, Y, Z. Положение точки в пространстве |
||||
|
|
задается радиус-вектором r (x, y, z) . |
|||||
r0 |
|
|
r |
||||
|
rv |
|
υ |
Линия, по которой движется материальная |
|||
|
|
|
|
точка, – это траектория. |
|
||
O |
|
|
Y |
Пусть точка движется из А в В (рис. 1.1). |
|||
Х |
|
|
|
Тогда путь, пройденный точкой – это длина тра- |
|||
Рис. 1.1 |
|
|
ектории s, а перемещение точки – это длина от- |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
резка АВ или длина вектора |
r = r − r0 . |
||
Отношение пути s, пройденного материальной точкой, к промежутку |
|||||||
времени t, за который он пройден, называется средней скоростью точки: |
|||||||
|
|
|
|
υср = |
s |
. |
(1.1) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
t |
|
|
Однако часто нужно знать скорость в любой момент времени или мгновенную скорость.
Мгновенная скорость точки – это производная ее радиус вектора по вре-
мени:
6
r |
dr |
|
|
υ = |
|
. |
(1.2) |
dt |
|||
Скорость – это вектор, направленный по касательной к траектории движущейся точки. Величина этого вектора равна производной пути по времени:
υ = |
ds |
. |
(1.2)′ |
|||
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|||
Скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Такое |
||||||
движение называется неравномерным или ускоренным. |
|
|||||
Мгновенное ускорение – это вектор, равный производной вектора скоро- |
||||||
сти по времени: |
|
|
dυ |
|
||
r |
|
|
|
|||
a |
= |
|
. |
(1.3) |
||
dt |
||||||
Вектор ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории.
В общем, можно сказать, что скорость характеризует, как меняется со временем радиус-вектор или путь, а ускорение характеризует, как меняется скорость. Из формул (1.2) и (1.3) можно получить зависимости скорости и пути от времени для любого вида движения материальной точки.
Единицы измерения очевидны: скорость – м/с, ускорение – м/с2. 1.2. Прямолинейное движение
Прямолинейное движение – это частный случай |
|
υ0 |
|
|
|||
криволинейного, когда траекторией материальной точ- |
|
|
|
||||
|
|
||||||
ки является прямая. |
и ее положение A |
|
|
|
|
||
Точка движется вдоль прямой, |
|
s |
|
|
|||
|
|
||||||
определяется одной координатой х, которая меняется |
|
Рис. 1.2 |
|||||
со временем (рис. 1.2). |
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенные значения скорости υ и ускорения a прямолинейного |
|||||||
ния определяются формулами (1.2)′ и (1.3): |
|
|
|
|
|||
υ = ds , |
a = |
dυ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
Из этих формул следует, что ds = υdt, dυ = adt и s = ∫υ(t)dt , υ = ∫a(t)dt ,
υ
B X
движе-
где υ(t) и a(t) – зависимости скорости и ускорения от времени.
Рассмотрим случай, когда ускорение не зависит от времени: a = const. Такое движение называют равнопеременным. Тогда зависимости скорости и
пройденного пути от времени после интегрирования будут иметь вид |
|
|||
υ = υ0 + at, |
|
(1.4) |
||
s = υ0t + |
at 2 |
. |
(1.5) |
|
2 |
||||
|
|
|
||
где υ0 – скорость в начальный момент времени t = 0.
Исключая из двух последних уравнений время t, можно получить еще одно полезное для расчетов соотношение
7
υ2 − υ02 = 2as . |
(1.6) |
Если a > 0, движение равноускоренное; если a < 0 – равнозамедленное; если a = 0 – равномерное.
При равномерном движении скорость не зависит от времени: υ = υ0 = = const. Тогда путь s, пройденный материальной точкой за время t,
|
|
s = υt. |
(1.7) |
||||
|
B |
1.3. Движение по окружности |
|
||||
|
Траектория точки – окружность. |
|
|||||
R |
|
|
|||||
A |
Положение точки на окружности радиуса R одно- |
||||||
ϕ |
значно определяется углом поворота ϕ, |
который меняется |
|||||
O |
|
||||||
|
со временем (рис. 1.3). По аналогии с обычными (линей- |
||||||
|
|
||||||
|
|
ными) скоростью и ускорением вводятся понятия угловой |
|||||
Рис. 1.3 |
|
скорости и углового ускорения (угол поворота можно так- |
|||||
|
же назвать «угловой путь»). |
|
|||||
|
|
|
|||||
Угловая скорость – это производная угла поворота по времени: |
|||||||
|
|
ω = |
|
dϕ |
. |
(1.8) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dt |
|
||
Угловое ускорение – это производная угловой скорости по времени: |
|||||||
|
|
ε = |
dω |
. |
(1.9) |
||
|
|
|
|||||
dt
Единицы измерения следуют из определений: угловая скорость – рад/с, угловое ускорение – рад/с2.
Из формул (1.8) и (1.9) следует, что
ϕ = ∫ω(t)dt , ω = ∫ε(t)dt ,
где ω(t) и ε(t) – зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени.
Рассмотрим случай, когда угловое ускорение не зависит от времени: ε = = const. Такое движение называют равнопеременным движением по окружности. Тогда зависимости угловой скорости и угла поворота от времени после интегрирования будут иметь вид
ω = ω0 + εt, |
|
(1.10) |
||
ϕ = ω0t + |
εt 2 |
. |
(1.11) |
|
2 |
||||
|
|
|
||
где ω0 – угловая скорость в начальный момент времени. Эти уравнения аналогичны уравнениям для прямолинейного движения, где вместо пути берется угол поворота (угловой путь), вместо скорости – угловая скорость, вместо ускорения – угловое ускорение.
Если ε > 0, движение равноускоренное; если ε < 0 – равнозамедленное; ес-
ли ε = 0 – равномерное движение по окружности.
При равномерном движении по окружности угловая скорость не зависит от времени: ω = ω0 = const. Тогда для угла поворота
8
ϕ = ωt. |
(1.12) |
Часто вместо угловой скорости задается либо период вращения T (время одного оборота), либо частота вращения n (число оборотов в единицу време-
ни): |
|
|
|
2π |
|
|
|
||
T = |
, |
|
(1.13) |
||||||
ω |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
ω |
|
|
||
n = |
|
= |
|
. |
(1.14) |
||||
T |
|
|
|||||||
|
|
2π |
|
||||||
Теперь посмотрим, как найти линейную скорость υ при движении по окружности. Пусть за бесконечно малое время dt точка сместилась на бесконечно малый угол dϕ. При этом она прошла путь, равный длине дуги окружности
ds = R dϕ. Учитывая, что скорость υ = |
ds |
, получим |
|
||
dt |
|
||||
|
|
|
|
||
υ = R |
dϕ |
|
= Rω. |
|
|
dt |
|
||||
|
|
|
|||
Таким образом, линейная скорость υ связана с угловой скоростью ω со- |
|||||
отношением |
|
|
|||
υ = ωR. |
(1.15) |
||||
Полное линейное ускорение a при движении по окружности это векторная сумма тангенциального (касательного) aτ и нормального (центростреми-
тельного) ускорения an :
a = aτ + an . |
(1.16) |
|||||
Величина полного ускорения равна |
|
|
|
|
|
|
a = |
|
aτ2 |
+ an2 , |
(1.16)′ |
||
где |
|
|
dυ |
|
|
|
aτ |
= |
= εR , |
(1.17) |
|||
dt |
||||||
|
|
|
|
|
||
an = |
υ2 |
= ω2 R . |
(1.18) |
|||
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
||
Эти соотношения выводятся из формулы (1.3). Отметим, что тангенциальное ускорение показывает, как меняется скорость по величине, а его знак за-
висит от знака углового ускорения (или знака производной |
r |
aτ |
|
скорости по времени). На рис. 1.4 изображен случай разго- |
|||
υ |
|||
на, когда тангенциальное ускорение направлено по скоро- |
|
ar |
|
сти, aτ > 0. При торможении тангенциальное ускорение на- |
|
||
правлено против скорости, aτ < 0. Нормальное ускорение |
|
an |
|
|
O |
||
показывает, как меняется скорость по направлению и все- |
|
||
гда положительно. |
|
|
|
При равномерном движении по окружности линейная |
|
Рис. 1.4 |
|
скорость не меняется по величине, а меняется только по |
|
||
|
|
направлению. В этом случае тангенциальное ускорение равно нулю, а нормальное – нет.
9