Лекция 8. Первое начало термодинамики. Теплоемкость
С изобретением тепловых машин, где в качестве рабочего вещества используется газ или водяной пар, возник вопрос о теплопередаче между телами, то есть как передается тепло и на что оно расходуется. Первое начало (закон) термодинамики открыто в середине XIX века в виде, близком к современному.
8.1. Первое начало термодинамики. Теплоемкость
Первое начало термодинамики: количество теплоты Q, сообщенное системе, идет на увеличение внутренней энергии системы U и на совершение системой внешней работы А:
Q = U + A. |
(8.1) |
Например, если газу под поршнем сообщить некоторое количество теплоты, он нагреется (увеличится внутренняя энергия газа) и переместит поршень (газ совершит работу). Внутренняя энергия есть функция температуры. Чем выше температура тела, тем быстрее движутся его молекулы, а, значит, больше внутренняя энергия тела. Если система получает тепло, Q > 0, если отдает, Q < 0; если работает система, A > 0, если работа над системой, A < 0.
Первое начало термодинамики, по существу, является законом сохранения энергии: полная энергия, переданная системе Q, превращается в тепловую энергию молекул системы U и в механическую энергию А. Он справедлив не только для газов, но и для жидкостей, и для твердых тел.
Если процесс медленный (равновесный), этот закон можно записать в ви-
де бесконечно малых приращений величин (в дифференциальном виде)1: |
|
δQ = dU + δA. |
(8.1)′ |
Пусть газ, находящийся под давлением Р медленно сдвинул поршень площади S на бесконечно малое расстояние dx. Тогда совершенная газом элементарная (бесконечно малая) работа
δA = Fdx = PSdx = PdV.
Полная работа газа при изменении объема от V1 до V2 получается интегрированием (суммированием бесконечно малых работ):
V2 |
|
A = ∫P(V )dV . |
(8.2) |
V1
Для характеристики процессов теплообмена введем понятия молярная и удельная теплоемкость вещества (не обязательно газа).
1 Внутренняя энергия – это функция состояния системы, для идеального газа зависящая только от температуры. Для равновесных процессов функция U(T) дифференцируемая и для нее определен дифференциал dU = U′(T)dT, где U′(T) – производная функции U(T) по температуре. Напротив, количество теплоты и работа не являются функциями состояния системы: нельзя сказать, что у системы такая-то теплота или такая-то работа. Для них дифференциал не определен. Поэтому бесконечно малые приращения этих величин обозначеныпо-другому.
54
Молярная теплоемкость – это отношение бесконечно малого количества теплоты, полученного молем вещества, к соответствующему приращению его температуры:
C = |
1 |
|
δQ |
(8.3) |
ν |
|
. |
||
|
dT |
|
||
Удельная теплоемкость – это отношение бесконечно малого количества теплоты, полученного килограммом вещества, к соответствующему прираще-
нию его температуры: |
1 |
|
δQ |
|
c = |
|
|
||
|
|
. |
(8.4) |
|
|
||||
|
m dT |
|
||
Эти теплоемкости связаны между собой простым соотношением С = μс и измеряются соответственно в Дж/(моль·К) и в Дж/(кг·К).
Чем больше теплоемкость, тем медленнее вещество нагревается и медленнее остывает. Например, в холодную погоду водоемы охлаждаются медленнее окружающего воздуха и вблизи них теплее (в холодную погоду водоплавающие птицы сидят на воде). А в жару, наоборот, вода нагревается медленнее окружающего воздуха, и вблизи водоемов прохладнее. Это обусловлено тем, что теплоемкость воды гораздо больше теплоемкости воздуха.
Для газов, как правило, пользуются молярной теплоемкостью, а для жидкостей и твердых тел – удельной1. Например, из формулы (8.4) легко получить школьную формулу для количества тепла, которое нужно сообщить телу массы m, чтобы нагреть его от температуры t1 до температуры t2
δQ = mcdT.
Считая, что масса в процессе не меняется, а теплоемкость не зависит от температуры, получим
T2
Q = ∫δQ = mc∫dT = mc(T2 −T1) = mc T .
T1
ТаккакразницатемпературвкельвинахиградусахЦельсияодинакова, то
Q = mc(t2 – t1). |
(8.5) |
Аналогично из формулы (8.3) можно получить похожее выражение для теплоты через молярную теплоемкость и количество вещества. В термодинамике особо рассматриваются следующие молярные теплоемкости: молярная теплоемкость при постоянном объеме
C |
= |
1 |
|
δQ |
= |
1 |
dU |
(8.3)′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
ν |
ν |
|
||||||||
V |
|
dT |
V |
dT |
V |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и молярная теплоемкость при постоянном давлении
1 Значения теплоемкостей обычно определяют экспериментально и приводят в справочных таблицах. Для идеального газа теплоемкости можно сравнительно легко рассчитать из классических молекулярно-кинетических принципов. Теоретический расчет теплоемкостей жидкостей и твердых тел довольно сложен, так как опирается на принципы квантовой физики.
55
CP = |
1 |
|
δQ |
(8.3)″ |
ν |
|
. |
||
|
dT P |
|
||
Для идеального газа эти теплоемкости связаны между собой уравнением
СР = CV + R. (8.6)
Для идеального газа в диапазоне средних температур (100-1000 К) теплоемкость CV рассчитывается из молекулярно-кинетических принципов, см. приложение к главе II. Не вдаваясь в детали расчета, отметим, что для одноатомно-
го газа CV = 32 R , для двухатомного CV = 52 R , для трех- и более CV = 3R. Для термодинамических расчетов воздух обычно считают двухатомным газом.
8.2. Первое начало термодинамики для различных процессов
Как видно из определений (8.3)′ и (8.3)″, теплоемкость при постоянном объеме используется для описания изохорного процесса, а теплоемкость при постоянном давлении – изобарного.
Действительно, так как в изохорном процессе объем не меняется, то газ работы не совершает, и первое начало термодинамики для этого процесса будет иметь вид
Q = U = νСV T. |
(8.7) |
Первое начало для изобарного процесса: |
|
Q = νСP T. |
(8.8) |
В изотермическом процессе температура постоянна, поэтому внутренняя энергия не меняется, и первое начало термодинамики для этого процесса можно получить следующим образом:
V |
|
V2 |
|
|
|
Q = A = ∫2 |
P(V )dV = νRT ln |
, |
(8.9) |
||
V1 |
|||||
V1 |
|
|
|
где зависимость P(V) определяется из уравнения Менделеева – Клапейрона
(7.6): P = νRT/V.
Кроме этих трех процессов часто рассматривается адиабатический процесс, в котором газ не обменивается1 теплом с окружающей средой. Первое начало термодинамики для такого процесса очень простое
P
0
Q = 0. |
(8.10) |
адиабата
изотерма
В координатах P-V график адиабатического процесса похож на изотерму, только идет более круто, рис. 8.1.
|
CP |
PV γ = const, |
(8.11) |
где γ = |
− показатель адиабаты. |
|
|
C |
|
||
|
|
|
|
|
V |
|
|
Рис. 8.1 |
V |
В адиабатическом процессе U = –A. Отсюда сле- |
|
||
|
|
дует вывод, что при адиабатическом расширении (А > 0) |
1 или не успевает обменяться
56
газ охлаждается ( U < 0), а при адиабатическом сжатии (А < 0) – нагревается ( U > 0). Это свойство используется в технике. Например, при резком сжатии воздух в цилиндрах дизельного двигателя сильно нагревается и воспламеняет топливо. В природе многие атмосферные процессы можно считать адиабатическими. Например, теплые воздушные массы, быстро поднимаясь вверх, адиабатически расширяются (так как с высотой падает давление). При этом они охлаждаются, и в них начинается конденсация водяных паров, которые мы видим как облака.
Конечно, все многообразие тепловых процессов, происходящих в природе, не исчерпывается четырьмя рассмотренными. Первое начало термодинами-
ки для любого квазистатического процесса с идеальным газом имеет вид
V2 |
|
Q = νCV T + ∫P(V )dV , |
(8.12) |
V1 |
|
где первое слагаемое – изменение внутренней энергии |
U, а второе – работа га- |
за А. |
|
Вопросы к лекции 8
1.Сформулируйте первое начало термодинамики и приведите иллюстрирующий его пример.
2.Что такое теплоемкость?
3.Почему прибрежный климат мягче континентального?
4.Почему перед весенними и летними ночными заморозками рекомендуется обильно полить растения?
5.Дайте характеристику адиабатического процесса.
6.Выведите первое начало термодинамики для основных процессов.
7.Почему при быстром подъеме воздушных масс происходит интенсивное образование облаков?
8.Почему в дизельном двигателе топливо воспламеняется без электрического разряда?
57