Лекция 6. Гидродинамика

Гидродинамика изучает движение жидкостей.

Прежде чем начать знакомство с основами гидродинамики, вспомним две

важные формулы из гидростатики, которая изучает неподвижные жидкости.

Если на уровне поверхности жидкости известно внешнее давление P0 (например, атмосферное давление), то давление P на глубине h будет равно

где ρ − плотность жидкости. Величина ρgh – гидростатическое давление.

С помощью этой формулы можно найти давление, действующее на водолазов и ныряльщиков1, на водных обитателей, например, рыб, а также на подводные лодки, батискафы и любые другие подводные объекты.

Закон Архимеда: выталкивающая сила FA, действующая на тело, погру-

женное в жидкость, равна весу жидкости, вытесненной телом, приложена к

Если вес тела равен архимедовой силе (весу вытесненной им жидкости), тело плавает на поверхности или внутри жидкости, если больше – тонет. Плавают не только тела с меньшей, чем у жидкости плотностью, но и полые тела из

материалов с большей плотностью (в целом их средняя плотность меньше, чем

у жидкости). Если плотности равны, тело может находиться в любом месте внутри жидкости.

6.1. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли

называется стационарным (установившимся).

Течение жидкости можно изобразить в виде трубки тока, то есть множе-

ства линий тока, проходящих через какое-либо сечение (рис. 6.2).

Если плотность жидкости не зависит от давления, такую жидкость назы-

вают несжимаемой.

Сжимаемость большинства жидкостей и, в частности воды, очень мала2,

и их можно считать несжимаемыми.

1Не рекомендуется погружаться глубже 40 м и долго находиться на большой глубине. Дальнейшее погружение приведет к неизбежному повреждению грудной клетки.

2При увеличении давления от 1 до 25 атм, плотность воды увеличится всего на 0,1%. Однако если вода была бы абсолютно несжимаема, то ее уровень в океане был бы примерно на 30 м выше существующего.

41

Идеальной называют жидкость, которая течет без трения, то есть жид-

ном поперечном сечении площади S.

Из уравнения видно, чем меньше сечение трубы, тем быстрее течет в ней жидкость, и наоборот. Отсюда также легко понять, почему на мелких участках

1 Конечно, таких жидкостей в природе не бывает. Однако при температурах выше 0 °С многие реальные жидкости обладают малой вязкостью (вода, ацетон, спирт, эфир…), и при описании их течения эти жидкости можно считать идеальными.

42

где υ − скорость жидкости в данном поперечном сечении, h − высота данного сечения над некоторым нулевым уровнем, P − внешнее давление на данной высоте.

По существу, уравнение Бернулли – это закон сохранения энергии для текущей невязкой жидкости. Это уравнение используется для нахождения скорости течения жидкостей или давления в потоке. Приведем два примера.

1) Течение в горизонтальной трубе, рис. 6.2. Так как h1 = h2, то уравнение

ким образом, в тех участках трубы, где жидкость течет быстрее, давление меньше. Или так: в узких участках трубы давление меньше, чем в широких.

2) Вода вытекает из широкого бака через узкий кран К вблизи дна. Найдем скорость течения воды из крана. Для этого выделим трубку тока от поверх-

мало отличается (Р1 ≈ Р2), а так как бак широкий, а кран узкий, то скорость движения поверхности жидкости достаточно мала (υ1 ≈ 0). Учитывая также, что

Это формула Торричелли. Из нее видно, чем ниже уровень воды в баке, тем медленнее она вытекает. Что мы и наблюдаем на практике.

6.2. Вязкость жидкости. Формула Стокса

В реальной жидкости между молекулами действуют силы взаимного притяжения, обусловливающие внутреннее трение или вязкость. Внутреннее трение, например, действует на дно реки, вызывает силу сопротивления при движении медуз, рыб, головоногих моллюсков, кораблей, подводных лодок, и др.

43

сила трения.

Градиент показывает, как меняется скорость в направлении, перпендикулярном течению, то есть от координаты х. Математически – это производная скорости по х. На рис. 6.5 изображена сила вязкого трения, действующая на поверхность, по которой течет жидкость.

Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью, а ее размерность можно получить из формулы (6.6): [η] = H·м/(м2·м/с) = Н·с/м2 = Па·с. У большинства жидкостей (вода, низкомолекулярные органические соединения, истинные растворы, расплавы) вязкость зависит только от природы жидкости и температуры (с ростом температуры вязкость понижается). Такие жидкости называются ньютоновскими. У некоторых жидкостей, преимущественно высокомолекулярных (растворы полимеров) или представляющих дисперсные системы (эмульсии, суспензии), вязкость зависит также от режима течения – давления и градиента скорости. При их увеличении вязкость жидкости уменьшается из-за нарушения внутренней структуры потока жидкости. Такие жидкости называются структурно вяз-

кими или неньютоновскими.

Чем больше вязкость жидкости, тем труднее в ней двигаться. Это можно увидеть на примере установившегося движения маленького шарика в жидкости. Так, маленькая дробинка в воде падает гораздо быстрее, чем в глицерине, обладающем большей вязкостью.

Сила сопротивления вязкой среды, действующая на маленький шарик ра-

найти ее вязкость. Покажем это. Пусть маленький шарик с плотностью ρ1 падает в жидкости с плотностью ρ2 (ρ1 > ρ2, иначе будет всплытие). При движении шарика на него действуют следующие силы: сила тяжести mg, сила сопротивления жидкости Fc и выталкивающая (архимедова) сила FА. На-