7.5. Упражнения и задачи

Упражнение 1

По наблюдениям за объясняемой переменной X и за объясняющими переменными Z = (Z₁, Z₂) из таблицы 7.1:

1. 1

   Вычислите ковариационную матрицу переменных z

(M = Z^ˆtZ^ˆ), вектор ковариаций переменных z с пе-

N

1

ременной x ( m =

Z^ˆtX^ˆ ), дисперсию объясняемой

N

x

переменной s² . Для регрессии X = Za + 1_N b + e най-

q

дите оценки a и b, объясненную дисперсию s² = m^ta

и остаточную дисперсию s² = s² − s², а также коэф-

e x q

фициент детерминации R².

2. Запишите для данной модели уравнение регрессии в форме со скрытым сво- бодным членом X = Z^˜a^˜ + e. Рассчитайте для переменных начальные момен- ты второго порядка двумя способами:

а) M^˜ = ¹ Z^tZ и

m^˜ = ¹ Z^tX

_N ˜ ˜ _N ˜

248 Глава 7. Основная модель линейной регрессии



˜

б) M = ^



M + z¯^tz¯

z¯



z¯^t





1

и m^˜

 

m + z¯^tx¯

.

₌  

 

x¯

3. Найдите оценку a^˜, рассчитайте s² = ¹ X^tX − x¯² и s² = m^{˜ t}a^˜ − x¯² и убе-

x _N q

дитесь, что результат совпадает с результатом пункта 1 упражнения 1.

4. Рассчитайте несмещенную оценку остаточной дисперсии

sˆ² = ^N s²

^e N − n − 1 ^e

и оцените матрицу ковариации параметров уравнения регрессии

sˆ²

M_a =

^e _M˜⁻¹_.

N

5. Используя уровень значимости θ = 0.05, вычислите доверительные интер- валы для коэффициентов уравнения регрессии и проверьте значимость фак- торов.

6. 2

   Рассчитайте статистику F ^c = ^{R (N − n − 1)}

(1 − R²)n

и, используя уровень значи-

мости θ = 0.05, проверьте гипотезу о том, что модель некорректна и все

факторы введены в нее ошибочно.

7. Рассчитайте коэффициент детерминации, скорректированный на число сте- пеней свободы R^˜2.

8. По найденному уравнению регрессии и значениям а) z = (min Z₁, min Z₂);

б) z = (Z^¯ , Z^¯ );

1 2

в) z = (max Z₁, max Z₂);

вычислите предсказанное значение для x и соответствующую интервальную оценку при θ = 0.05.

Упражнение 2

Дано уравнение регрессии: X = Z^˜α^˜ + ε = −1.410z₁ + 0.080z₂ + 56.962 1₂₀ + ε, где X — вектор-столбец 20 наблюдений за объясняемой переменной (20 × 1), ε — вектор-столбец случайных ошибок (20 × 1) с нулевым средним и ковариа-

ционной матрицей σ²I₂₀ = 21.611I₂₀ и

Z^˜ — матрица размерности (20 × 3) на-

блюдений за объясняющими переменными. Используя нормальное распределение

7.5. Упражнения и задачи 249

с независимыми наблюдениями, со средним 0 и ковариационной матрицей σ²I₂₀ =

= 21.611I₂₀, получите 100 выборок вектора ε (N × 1), k = 1, . . . , 100, где N =

= 20. Эти случайные векторы потом используйте вместе с известным вектором

α^˜ = (−1.410, 0.080, 56.962) и матрицей

Z^˜ = (Z₁, Z₂, 1) из таблицы 7.1. Снача-

ла получите ожидаемое значения X⁰ = Z^˜α^˜, затем, чтобы получить 100 выборок

вектора X (20 × 1), добавьте случайные ошибки: X⁰ + ε = X .

1. Используйте 10 из 100 выборок, чтобы получить выборочные оценки для α₁ ,

α₂, β , σ и R².

2. Вычислите матрицу ковариаций параметров уравнения регрессии M_a для каж- дого элемента выборки и сравните с истинным значением ковариационной матрицы:





_Zt

=

1

_σ2  _{˜ Z˜}₋ ^



0.099813 −0.004112 −0.233234 _











^ −0.004112 0.000290 −0.057857 ^{ .}





−0.233234 −0.057857 39.278158

Дайте интерпретацию диагональных элементов ковариационных матриц.

3. Вычислите среднее и дисперсию для 10 выборок для каждого из параметров, полученных в упражнении 2.1, и сравните эти средние значения с истинными параметрами. Обратите внимание, подтвердилась ли ожидаемые теоретиче- ские результаты.

4. Используя уровень значимости θ = 0.05, вычислите и сравните интерваль- ные оценки для α₁, α₂, β и σ для 10 выборок.

5. Объедините 10 выборок, по 20 наблюдений каждая, в 5 выборок по 40 на- блюдений и повторите упражнения 2.1 и 2.2. Сделайте выводы о результатах увеличения объема выборки.

6. Повторите упражнения 2.1 и 2.5 для всех 100 и для 50 выборок и проана- лизируйте разницу в результатах.

7. Постройте распределения частот для оценок, полученных в упражнении 2.6, сравните и прокомментируйте результаты.

250 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

Задачи

1. В регрессии X = Za + 1_N b + e матрица вторых начальных моментов ре-



грессоров равна ^





9 2

^. Найдите дисперсию объясняющей переменной.



2 1

2. На основании ежегодных данных за 10 лет с помощью МНК была сделана оценка параметров производственной функции типа Кобба—Дугласа. Чему равна несмещенная оценка дисперсии ошибки, если сумма квадратов остат- ков равна 32?

3. В регрессии X = Za + 1_N b + e с факторами Z^t = (1, 2, 3) сумма квадра- тов остатков равна 6. Найдите ковариационную матрицу оценок параметров регрессии.

4. Какие свойства МНК-оценок коэффициентов регрессии теряются, если ошибки по наблюдениям коррелированы и/или имеют разные дисперсии?

5. Что обеспечивает гипотеза о нормальности распределения ошибок при по- строения уравнения регрессии? Ответ обоснуйте.

6. Какие ограничения на параметры уравнения проверяются с помощью t-кри- терия (написать ограничения с расшифровкой обозначений)?

7. Четырехфакторное уравнение регрессии оценено по 20-ти наблюдениям. В каком случае отношение оценки коэффициента регрессии к ее стандарт- ной ошибке имеет распределение t-Стьюдента? Сколько степенией свободы в этом случае имеет эта статистика?

8. Оценки МНК в регрессии по 20-ти наблюдениям равны (2, −1), а ковариа-

 

9 2

ционная матрица этих оценок равна ^



^. Найти статистики t-Стьюдента



2 1

для этих коэффициентов.

9. По 10 наблюдениям дана оценка 4 одному из коэффициентов двухфакторной регрессии. Дисперсия его ошибки равна 4. Построить 99%-ный доверитель- ный интервал для этого коэффициента.

10. МНК-оценка параметра регрессии, полученная по 16 наблюдениям, рав- на 4, оценка его стандартной ошибки равна 1. Можно ли утверждать с веро- ятностью ошибки не более 5%, что истинное значение параметра равно 5.93? Объяснить почему.

7.5. Упражнения и задачи 251

11. Оценка углового коэффициента регрессии равна 4, а дисперсия этой оценки равна 4. Значим ли этот коэффициент, если табличные значения:

^tN −n−1, 0.95 ^{= 2.4, t}N −n−1, 0.90 ^{= 1.9?}

12. В результате оценивания регрессии x = zα + 1_N β + ε на основе N = 30

наблюдений получены следующие результаты:

x =	1.2z1+	1.0z2−	0.5z3+	25.1
Стандартные ошибки оценок t-статистика 95% доверительные интервалы	( ) (0.8) (−1.88; 4.28)	(1.3) ( ) ( )	(0.06) ( ) ( )	(2.1) ( ) ( )

Заполните пропуски в скобках.

13. На основе годовых отчетов за 1973–1992 годы о затратах на продукты пи- тания Q, располагаемом доходе Y , индексе цен на продукты питания PF и индексе цен на непродовольственные товары P N F , группа исследовате- лей получила различные регрессионные уравнения для функции спроса на продукты питания:

=	3.87 − (1.45)	1.34 ln PF (−4.54)
=	0.56
=	2.83 − (1.25)	0.92 ln PF (−2.70)	+	1.23 ln Y (2.99)
=	0.76
=	2.35 − (1.54)	0.52 ln PF (−1.80)	+	0.95 ln Y (0.79)	+ 1.54 ln P N F (2.45)
=	0.84

ln Q

_R2

ln Q

_R2

ln Q

_R2

В скобках приведены значения t-статистики.

Прокомментируйте полученные оценки коэффициентов и t-статистики, объ- ясните, почему значения могут различаться в трех уравнениях. Можете ли вы предложить решение проблемы статистической незначимости коэффициен- тов в последнем уравнении?

252 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

14. Используя приведенные ниже данные, оцените параметры модели x_t = β +

+ α₁z_1t + α₂z_2t + ε_t и, делая все необходимые предположения, проверьте статистическую значимость коэффициента α₁ .

1t

2t

а) ^ zˆ²

= 10, ^ zˆ²

= 8, ^ zˆ_1tzˆ_2t = 8, ^ zˆ_1txˆ_t = −10, ^ zˆ_2txˆ_t = −8,

t

^ xˆ²

= 20,

t = 1, . . . , 5;

1t

б) ^ z²

= 55, ^ z²

= 28, ^ z_1tz_2t = 38, ^ z_1tx_t = 35, ^ z_2tx_t = 22,

2t

^ x_t = 15, ^ z₁ = 15, ^ z₂ = 10, N = 5, ^ x² = 65.

15. Анализ годовых данных (21 наблюдение) о спросе на некоторый товар привел к следующим результатам:

Средние Стандартные

отклонения

Парные коэффициенты корреляции

z¯ = 51.843 s_z = 9.205 r_xz = 0.9158

x¯ = 8.313 s_x = 1.780 r_xt = 0.8696

t^¯ = 0 s_t = 6.055 r_zt = 0.9304

z — потребление на душу населения, x — цена с учетом дефлятора, t — время (годы).

а) Найдите коэффициент при времени в оцененной регрессии x по z и t. б) Проверьте, будет ли этот коэффициент значимо отличен от нуля.

в) Кратко объясните экономический смысл включения в регрессию вре- мени в качестве объясняющей переменной.

16. Какие ограничения на параметры уравнения можно проверить с помощью

F -критерия? Написать ограничения с расшифровкой обозначений.

17. Пяти-факторное уравнение линейной регрессии для переменной x оценено по 31 наблюдению. При этом объясненная и смещенная остаточная дис- персии соответственно равны 8 и 2. Вычислить коэффициент детерминации и расчетное значение F -статистики.

18. В регрессии x = z₁α₁ +z₂α₂ +β +ε по 5-ти наблюдениям смещенная оценка остаточной дисперсии равна 1, а дисперсия зависимой переменной равна 2. Значима ли эта зависимость?

19. По 10 наблюдениям оценено двухфакторное уравнение линейной регрессии, коэффициент детерминации составляет 90%. При каком уровне доверия это уравнение статистически значимо? Записать уравнение для нахождения этого уровня значимости.

7.5. Упражнения и задачи 253

20. Используя следующие данные:

X = (5, 1, −2, 5, −4)^t, Z = (1, 2, 3, 4, 5)^t ,

и делая все необходимые предположения

а) для X = Zα + 1_N β + ε оценить 95-процентные доверительные интер- валы для параметров регрессии;

б) проверить значимость коэффициентов регрессии и оценить качество регрессии с вероятностью ошибки 5%.

21. Пусть X = α₁Z₁ + α₂Z₂ + ε, X = (4, −2, 4, 0)^t , Z₁ = (1, 1, 2, 2)^t

и Z₂ = 2Z₁. Постройте систему нормальных уравнений и покажите, что

существует бесконечное множество решений для a₁ и a₂. Выберите любые два решения, покажите, что они дают одинаковые расчетные значения X и, таким образом, одинаковые значения суммы квадратов ошибок.

22. Для уравнения регрессии X = Zα + 1₅β + ε имеются следующие данные:

   

 ⁴ 

^{1.03 2.08 0.41}

   

   

 ₈ 

^1.46 2.80 2.03^

   

_{X =}    

  , Z = (Z₁ Z₂ Z₃) = _{1.14 2.30 0.98} .

_5.5  

   

   

^5.8^

^1.71 3.05 0.81^

 

 

 

7.0

 

 

^1.06 2.17 1.17^

а) Являются ли факторы линейно зависимыми?

б) Найти матрицу коэффициентов корреляции факторных переменных, рассчитать определитель данной матрицы и сделать вывод о мульти- коллинеарности факторов.

в) Рассчитать определитель матрицы коэффициентов корреляции фактор- ных переменных в случае, если из уравнения выводится фактор Z₂.

г) Учесть дополнительную внешнюю информацию: α₁ = 1.5α₂ (с помо- щью подстановки в уравнение регрессии) и найти определитель матрицы коэффициентов корреляции факторных переменных.

r

д) Построить точечный прогноз x (x^p) для значений экзогенных перемен- ных z_r = (z_1r , z_2r , z_3r ) = (0.8, 1.6, 0.6):

• при использовании исходного уравнения;

• при исключении из уравнения фактора Z₂;

254 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

– при использовании внешней информации из пункта (г).

22. Пусть цены сильно коррелируют с денежной массой и неплатежами. Ко- эффициент корреляции между денежной массой и неплатежами равен

0.975 ^.R² = 0.95^.. Имеет ли смысл строить регрессию цен на эти два (сильно

мультиколлинеарных) фактора?

22. Модель

x = α₁z₁ + α₂z₂ + β + ε (1)

1

была оценена по МНК, и был получен коэффициент детерминации R², а для

преобразованной модели

x = α₁z₁ + α₂z₂ + α₃z₃ + β + ε (2)

2

был получен коэффициент детерминации R².

1

^{а) Объясните, почему} R²

^{не может быть больше, чем} R^{2. При каких}

2

условиях они равны?

б) Объясните последствия оценки модели (1), если верной является мо- дель (2).

22. В регрессии x = α₁z₁ + β + ε остатки равны (−2, 1, 0, 1). Оценивается регрессия x = α₁z₁ + α₂z₂ + β + ε. Привести пример переменной z₂ , чтобы коэффициенты детерминации в обеих регрессиях совпадали.

23. В регрессию x = α₁z₁ + β + ε добавили переменную z₂. Переменная z₂ оказалась совершенно незначимой. Как изменились обычный и скорректи- рованный коэффициенты детерминации?

24. Коэффициент детерминации в регрессии выпуска продукции по численности занятых в производстве, оцененной по 12 наблюдениям, равен 0.8. После введения в регрессию дополнительного фактора — основного капитала — он вырос до 0.819. Имело ли смысл вводить этот дополнительный фактор? Ответ обосновать без применения статистических критериев.

25. Дана модель регрессии x_i = α₁z_i + β + ε_i .

а) Как оценивается точечный прогноз x_{N +1}, если известно, что β = 0?

Покажите, что дисперсия ошибок прогноза будет равна σ²

. _z2 .

₁₊ N +1 _.

N

z

 ₂

i

i=1

7.5. Упражнения и задачи 255

б) Как оценивается точечный прогноз x_{N +1}, если известно, что α = 0?

N

Покажите, что дисперсия ошибок прогноза будет равна σ^{2 }1+ ^{1 }.

22. Почему ошибки прогнозирования по линейной регрессии увеличиваются с ростом горизонта прогноза?

22. Была оценена регрессия x = α₁z + β + ε по 50 наблюдениям. Делается прогноз x в точке z₅₁. При каком значении z₅₁ доверительный интервал прогноза будет самым узким?

22. Вычислите предсказанное значение для x и соответствующую интервальную оценку прогноза при θ = 0.05 в точке z₂₆ = 14, если регрессионная модель x = 3z + 220 + e построена по 25 наблюдениям, остаточная дисперсия равна 25 и средняя по z равна 14.

Рекомендуемая литература

1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: Юнити, 2001. (Гл. 2).

2. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. — М.: «Финансы и ста- тистика», 1981. (Гл. 1, 2, 6).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 2, 5).

4. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х книгах. Кн.1 — М.: «Финансы и статистика», 1986, (Гл. 1, 2).

5. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. — М.: «Стати- стика», 1977. (Гл. 10, 11, 14).

6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 3, 4, 8).

7. (*) Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Ста- тистика», 1975. (Гл. 3, 6).

8. Себер Дж. Линейный регрессионый анализ. — М.: Мир, 1980.

9. Тинтер Г. Введение в эконометрию. — М.: «Статистика», 1965. (Гл. 5).

10. Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econo- metrics, N 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 2).

256 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

11. Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 6, 7).

12. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5, 21).

13. (*) William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge. Learning and Prac- ticing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 8).