6.5. Упражнения и задачи

Упражнение 1

По наблюдениям из таблицы 6.1:

Таблица 6.1

1. Вычислите

−

1 1

X1	X−1
	X2	X3
0.58	1.00	1.00
1.10	2.00	4.00
1.20	3.00	9.00
1.30	4.00	16.00
1.95	5.00	25.00
2.55	6.00	36.00
2.60	7.00	49.00
2.90	8.00	64.00
3.45	9.00	81.00
3.50	10.00	100.00
3.60	11.00	121.00
4.10	12.00	144.00
4.35	13.00	169.00
4.40	14.00	196.00
4.50	15.00	225.00

^M−1 ⁼

_N X^{ˆ t} ₁X^ˆ₋₁ , m₋₁ =

X^{ˆ t} ₁X^ˆ₁

−

N

и для регрессии X₁ = X₋₁a₋₁ +1_N b₁ +e₁ найдите оценки a₋₁ и b₁.

2. Рассчитайте вектор X^c = X a

+1 b

и век-

1

тор e₁ = X₁ − X^c

−1 −1 N 1

t

1

cov(X₋₁, e) = _N

₁ . Убедитесь, что 1_N e₁ = 0 и

_Xˆ t

₋₁e₁ = 0.

3. Вычислите объясненную дисперсию различными способами:

1

_s2 _ˆ tc c

q1 ⁼

_s2

X₁ X^ˆ₁ ;

N

t

−1

_q1 = a

m₋₁;

_s2 t −1

−

q1 ^{= m}−1^M

₁ m₋₁.

4. Вычислите остаточную дисперсию различными способами:

1

_s2 t

_e1 = _N e₁e₁;

_s2 2 2

¹ ˆ ˆ ²

1

_e1 = s₁ − s_q1 = _N X^t X₁ − s_q1.

5. Вычислите коэффициент детерминации различны- ми способами:

s

2

_R2

;

=

q1

s

1 ₂

1

_R2

1

2

^. cov(x₁, x^c ) ^.

₁ = _{s s} .

1 q1

6. Оцените параметры и коэффициент детерминации для ортогональной ре- грессии xα = β + ε.

5. Упражнения и задачи 217

• сравните эти оценки с оценками линии регрессии, полученными в 1.1;

• рассчитайте расчетные значения переменных.

7. Оцените матрицу оценок и значений главных компонент ( A^Q и Q), а также расчетное значение переменных.

8. Пусть единицы измерения x₁ увеличились в 100 раз. Как в этом случае долж- на выглядеть матрица преобразования D? Как изменятся оценки уравнения прямой и ортогональной регрессий?

Задачи

1. Может ли матрица

 

_ 9.2 −3.8 −2 _

_а)  

 

_ 5.2 −3.8 −2 _



 



−



^ 3.8 2 0.6 ^

 

 

−2 0.5 2

^б) 





3.8 2 0.6 ^



−





−2 0.6 2

являться ковариационной матрицей переменных, для которых строится урав- нение регрессии? Ответ обосновать.

 

1 1

 

2. Для x = (x₁, x₂) = ^_{2 2}^

найдите оценки ковариаций переменных x,

 

 

 

 

6 3

оценки параметров уравнения прямой (x₁ = a₁₂x₂ + 1_N b₁ + e₁) и обратной

1

a

регрессии (x₂ = a₂₁x₁ + 1_N b₂ + e₂). Покажите, что a₁₂ ƒ=

21

. Рассчитайте

вектор-столбец остатков по прямой и обратной регрессии. Убедитесь, что

сумма остатков равна нулю, вектора остатков и x₂ ортогональны при пря- мой регрессии, вектора остатков и x₁ ортогональны при обратной регрес- сии. Найдите объясненную и остаточную дисперсии различными способами, а также коэффициент детерминации.

3. Предположим, что мы, используя модель регрессии x₁ = x₋₁a₋₁ + 1_N b₁ +

1

+ e₁ , из условия минимизации e^t e₁ получили следующую систему линейных



 _b1







+ 2a₁₂

+ a₁₃

= 3,

уравнений:









2b₁ + 5a₁₂ + a₁₃ = 9, b₁ + a₁₂ + 6a₁₃ = −8.

218 Глава 6. Алгебра линейной регрессии

Запишите условия задачи в матрично-векторной форме, решите ее, используя метод, указанный в приложении для обратных матриц, и найдите оценки параметров регрессии.

3. Оцените регрессию x₁ = a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + 1_N b₁ + e₁ и рассчитайте:

• оценку остаточной дисперсии,

• объясненную дисперсию,

• коэффициент детерминации, если

a) матрица наблюдений имеет вид:

 

5 1 3

 

 





^ 1 2 1 ^

 

 

X = (X₁, X₂, X₃

−2

3

5

,

_{) =}  

 

 

 

0

4

2

 

 

 

 

−4 5 4

б) X^t X₁ = 96, X^t X₂ = 55, X^t X₃ = 129, X^t X₂ = 72,

1 2 3 1

₁X₃ = 107, X₂X₃ = 81, X₁1_N = 20, X₂1_N = 15, X₃1_N = 25,

_Xt t

N = 5 .

t t t

3. Дисперсии двух переменных совпадают, корреляция отсутствует. Изобра- зить на графике — в пространстве переменных — линии прямой, обратной и ортогональной регрессий. Ответ обосновать.

4. Дисперсии выпуска продукции и количества занятых по предприятиям равны, соответственно, 10 и 20 , их ковариация равна 12 . Чему равен коэффициент детерминации в регрессии выпуска по занятым, коэффициент зависимости выпуска от занятых по прямой, обратной и ортогональной регрессии?

5. Дисперсии временных рядов индекса денежной массы и сводного индекса цен равны, соответственно, 150 и 200, их ковариация равна 100. Чему равен параметр влияния денежной массы на цены по модели прямой регрессии и доля объясненной дисперсии в дисперсии индекса цен?

 

14^ 5^

3. По заданной матрице ковариации двух переменных ^{ 3}



^3 найти оста-



₅_{3 2}₃

точную дисперсию уравнения регрессии первой переменной по второй.

6.5. Упражнения и задачи 219

3. 1

   В регрессии x₁ = a₁₂x₂ + 1_N b₁ + e₁, где x^t

= (5, 3, 7, 1) коэффициент

детерминации оказался равным 50%. Найдите сумму квадратов остатков.

3. Оцените модель x₁ = a₁₂x₂ + 1_N b₁ + e₁, используя следующие данные:

 

3 3

 

 

 

_{1 1}

 

 

(x₁, x₂) = ^_{8 5}^ .

 

 

 

_{3 2}

 

 

 

5 5

Вычислите остатки (e_i) и покажите, что

5

^ e_i = 0,

i=1

5

^ x_2ie_i = 0.

i=1

3. Две парные регрессии построены на одних и тех же данных: x₁ = a₁₂x₂ +

1

+ 1_N b₁ + e₁ и x₂ = a₂₁x₁ + 1_N b₂ + e₂ . R² — коэффициент детерминации в первой регрессии, R² — во второй. Запишите соотношение между R² и R².

2 1 2

Ответ обосновать.

3. Возможна ли ситуация, когда угловые коэффициенты в уравнениях прямой и обратной регрессии построены на одних и тех же данных, соответственно равны 0.5 и 3.0. Почему?

4. Что геометрически означает R² = 0 и R² = 1?

5. Регрессия x₁ = α₁₂x₂ + β₁ + ε₁ оценивается по двум наблюдениям. Чему равен коэффициент детерминации?

 

1 1

 

3. Для x = (x₁, x₂) = ^_{2 2}^ оцените параметры ортогональной регрессии

 

 

 

 

6 3

и коэффициент детерминации. Покажите, что линия ортогональной регрес- сии находится между линиями прямой и обратной регрессии.

3. Какая из двух оценок коэффициента зависимости выпуска продукции от ко- личества занятых в производстве больше: по прямой или по ортогональной регрессии? Ответ обосновать.

4. Какая из двух оценок коэффициента зависимости спроса от цены больше: по прямой или по ортогональной регрессии? Ответ обосновать.

220 Глава 6. Алгебра линейной регрессии

3. Какой вид имеет уравнение ортогональной регрессии для переменных x₁ и x₂ с одинаковыми значениями дисперсий и средних, а также имеющих положительную корреляцию равную ρ?

3. Покажите, что решение задачи



^m11





^m12



   

1 0 1

   



^m12 ^m22

 ^{− λ} 

0 0

 

−a₁₂

 ^{= 0, λ → min!}

эквивалентно решению задачи прямой регрессии x₁ = a₁₂x₂ + 1_N b₁ + e₁.

3. Пусть x₁ и x₂ — центрированные переменные. Уравнение ортогональной регрессии, поcтроенные по множеству наблюдений над величинами x₁ и x₂, есть x₁ − x₂ = 0. Запишите вектор первой главной компоненты.

4. Оценка парной регрессии ведется в стандартизированной шкале. Как связан коэффициент детерминации и коэффициент регрессии (угловой)?

5. Была оценена регрессия x₁ = α₁₂x₂ + β₁ + ε₁, где x₁ измеряется в рублях, а x₂ — в килограммах. Затем ту же регрессию оценили, изменив единицы измерения на тысячи рублей и тонны. Как при этом поменялись следующие величины: а) оценка коэффициента α₁₂; б) коэффициент детерминации? Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D?

6. Пусть в ортогональной регрессии, построенной для переменных x₁ и x₂, из-за деноминации рубля единица измерения x₂ изменилась в 1000 раз. Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D? Изменятся ли оценки? Ответ обосновать.

7. Пусть в наблюдениях задачи 2 единица измерения x₁ увеличилась в 10 раз. Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D? Как изме- нятся оценки уравнения прямой и обратной регрессии?

3. В регрессии в метрике Ω¹ матрица Ω равна

 

9 0

^{ }. Как преобразовать

 

0 4

исходные переменные, чтобы свести эту регрессию к ортогональной?

Рекомендуемая литература

1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: «Юнити», 2001. (Гл. 2).

6.5. Упражнения и задачи 221

2. Болч Б., Хуань К.Дж. Многомерные статистические методы для экономи- ки. — М.: «Статистика», 1979. (Гл. 7).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 2, 11).

4. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн.1. — М.: «Финансы и статистика», 1986. (Гл. 1, 2).

5. Езекиэл М., Фокс К. Методы анализа корреляций и регрессий. — М.: «Ста- тистика», 1966. (Гл. 5, 7).

6. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. — М.: «Стати- стика», 1977. (Гл. 10, 11).

7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. — М.: «Статистика», 1971. (Гл. 2).

8. (*) Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Ста- тистика», 1975. (Гл. 1).

9. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5).

10. William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 3).