8.6. Упражнения и задачи Упражнение 1

Выполните упражнение 2.2 для всех 100 выборок и, используя результаты, оцените математическое ожидание и матрицу среднеквадратических ошибок для каждой оценки. Есть ли среди оценок смещенные? Что можно сказать об относительной эффективности МНК-оценки и ОМНК-оценки?

Упражнение 3

Предположим, есть данные, состоящие из 100 выборок X , по 20 значений в каждой, сгенерированных при помощи модели X = Zα+ε = α₁z₁ +α₂z₂ +1_N β +

+ ε, где ε_i = ρε_i−1 + η_i , и η — нормально распределенная случайная величина с E (η_i) = 0, E ^.η^2. = σ² . Наблюдения за X были получены с использованием

i η

следующих значений параметров: α^t = (α₁ α₂ β) = (−1.410, 0.080, 56.962),

η

1. Найдите матрицу ковариации для:

• ОМНК-оценки a_омнк = ^.Z^tΩ⁻¹Z^.−1 Z^tΩ⁻¹X ;

• МНК-оценки a = (Z^tZ)⁻¹ Z^tX .

Что вы можете сказать об относительной эффективности этих оценок?

2. Используйте 10 из 100 выборок, чтобы посчитать по каждой выборке зна- чения следующих оценок:

• МНК-оценки a = (Z^tZ)⁻¹ Z^tX ;

N

^{ e}i^ei−1

• оценку r =

i=2 _;

N

e

i

i=1

– ОМНК-оценки, используя найденую оценку r.

282 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

Сравните все эти оценки друг с другом и с соответствующими истинными значениями.

3. Возьмите те же выборки, что и в упражнении 3.2, и проверьте гипотезу об ав- токорреляции ошибок.

4. Найдите скорректированную оценку ковариационной матрицы, устойчивую к гетероскедастичности и автокорреляции (оценку Ньюи—Уэста).

5. Выполните упражнение 3.2 для всех 100 выборок и, используя результаты, оцените математическое ожидание и матрицу среднеквадратических ошибок для каждой оценки. Есть ли среди оценок смещенные? Что можно сказать об относительной эффективности МНК-оценки и ОМНК-оценки?

Упражнение 4

Для уравнения X = Z^oα+ε = −1.410z⁰ +0.080z⁰ +1_N 56.962+ε, z₁ = z⁰ +ε_z ,

1 2 1 1

2

+ ε_z2

и при предположении, что ε_i ∼ N (0, 21.611), ε_z1

∼ N (0, 21.700)

и ε_z2

∼ N (0, 21.800), были генерированы 20 значений выборки. Результаты при-

ведены в таблице 8.3.

Предполагая, что истинная матрица факторов Z⁰ неизвестна, выполните сле- дующие задания:

1. Найдите МНК-оценки a = (Z^tZ)⁻¹ Z^tX параметров уравнения регрессии

X = Zα + ε = α₁z₁ + α₂z₂ + 1_N β + ε.

2. Рассчитайте ковариационную матрицу ошибок измерения факторов — W и ковариационный вектор — w и оцените параметры регрессии как a = (M − W )⁻¹(m − w).

3. Найдите оценку через ортогональную регрессию.

4. Сравните эти все оценки друг с другом и с соответствующими истинными значениями.

Задачи

1. Какие свойства МНК-оценок коэффициентов регрессии теряются, если ошибки по наблюдениям коррелированы и/или имеют разные дисперсии?

2. Как оцениваются параметры уравнения регрессии, если известна матрица ковариации ошибок и она не диагональна с равными элементами по диа- гонали?

8.6. Упражнения и задачи 283

Таблица 8.3

284 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

3. Рассматривается регрессионная модель X = Zα + ε. Пусть α^∗ = AX — это любая несмещенная оценка параметра α. Полагая, что E (εε^t) = σ²Ω, покажите, что матрица ковариации α^∗ превышает матрицу ковариации α_омнк = (Z^tΩ⁻¹Z)⁻¹Z^tΩ⁻¹X на какую-то положительно полуопределенную матрицу.

4. Докажите, что σ²

(x zα)^t Ω⁻

−

¹ (x − zα)

есть оценка σ².

омнк

N − n − 1

5. Какое преобразование матрицы наблюдений перед оценкой регрессии полез- но сделать, если среднеквадратические отклонения ошибок регрессии про- порциональны какому-либо фактору?

6. Оценивается регрессия по 10 наблюдениям. Известно, что дисперсия оши- бок для первых 5 наблюдений в два раза больше, чем дисперсия ошибок остальных 5 наблюдений. Опишите процедуру оценивания этой регрессии.

7. Рассмотрите регрессию x_t = α₁t + β + ε_t , t = 1, . . . , 5, где

t

• определите Ω;

• найдите Ω⁻¹;

 

α₁

• найдите матрицу ковариации МНК-оценки параметра α = ^{ };

 

β

 

α₁

• найдите матрицу ковариации ОМНК-оценки параметра α = ^{ }.

 

β

8. Рассмотрите регрессию x_t = α₁t + ε_t , t = 1, . . . , 5,

t

• определите оценку МНК для α₁ и ее дисперсию;

• определите оценку ОМНК для α₁ и ее дисперсию;

• сравните эти оценки друг с другом и сделайте вывод.

9. Рассматривается модель X = Zα + ε, где ε_i — нормально и независимо распределенная случайная величина с E (ε_i) = 0 и E ^.ε^2. = σ² = e^yiγ .

i i

8.6. Упражнения и задачи 285

     

2 1

⁴  ^{2 1}  





_8

 _{5 1}

_{3 1}

    

     

_     

В предположении, что X = ^₆^ , Z = ^ _{2 1}^ , Y = ^_{1 1}^ ,

     

     

     

₂

 _{1 1}

_{0 1}

     

     

    

^9 10 1 2 1

• найдите МНК-оценки a = (Z^tZ)⁻¹ ZX ;

• найдите ОМНК-оценки a_омнк = ^.Z^tΩ⁻¹Z^.−1 Z^tΩ⁻¹X ;

• постройте два 95%-х доверительных интервала для α₁: один непра- вильный, основанный на результатах МНК, а другой правильный, осно- ванный на результатах ОМНК;

• проверьте гипотезу γ₁ = 0.

10. Параметры трехфакторного уравнения регрессии оценены по 20 наблю- дениям. S₁ и S₂ — остаточные дисперсии по первой и второй половинам временного ряда. В каком случае гипотезы о гомоскедастичности следует отвергнуть?

11. Приведите примеры графиков зависимостей ошибки от времени в авторе- гресионной схеме первого порядка для случаев, когда модуль коэффициента авторегрессии превышает единицу. Что можно сказать об автокорреляции ошибок, если этот коэффициент равен нулю?

12. Ошибка в регрессии задана процессом ε_i = 0.6ε_i−1 + η_i, и η — нор- мально распределенная случайная величина с E(η_i) = 0, E(η²) = σ²

i η

и i = 1, . . . , 5. Как выглядит матрица преобразования в пространстве пе-

ременных для ОМНК?

13. Проверьте, что D^tD = Ω⁻¹, где

 





















0

._..

−

._..

r 1

._..

···

. _{. .}







._.

_. 



 

 

0 0 0 ··· 1

286 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели



2





··· r



N −1







^ r 1 r ··· r^{N −2}





r



r 1 ··· r



−













._..

._..

. _{. .}

_.. 







_rN −1 _rN −2 _rN −3 _{··· 1}

14. 0

    Найдите D^t D₀, где D₀ — это матрица размерности (N −1)×N , полученная из матрицы D путем удаления первой строки, и сравните ее с матрицей Ω⁻¹.

15. Какое преобразование матрицы наблюдений перед оценкой регрессии полез- но сделать, если ошибки в каждом наблюдении имеют одинаковую дисперсию и коррелированы с ошибками в предыдущем наблюдении?

16. Почему при использовании критерия Дарбина—Уотсона требуется знать два критических значения для расчетной статистики?

17. Фактическое значение d^c статистики Дарбина—Уотсона равно 0.5. Что это означает? Какое преобразование следует применить к этой модели (запишите формулу)?

18. В регрессионной модели X = Zα + ε существует автокорреляции ошибок первого порядка и ρ = 0.6. Предположим, что

   



   

   

₈

 _{5 1}

   

_{X =}    

  ^{, Z =}  _{2 1} ^,

₆  

   

   

₂

 _{1 1}

   

   

   

9 10 1

• найдите преобразованные наблюдения Dx и Dz;

• найдите ОМНК-оценки параметра α;

• найдите фактическое значение d^c статистики Дарбина—Уотсона по остаткам после применения ОМНК.

8.6. Упражнения и задачи 287

19. Положим, построили регрессию для N = 20 и n = 4 и нашли оценку

N

^{ e}i^ei−1

_{z =} i=2

= 0.5, e^te = 40, e² = 1, e²

= 4.

_N 1 N

e

i

i=1

Найдите фактическое значение d^c статистики Дарбина—Уотсона и с ее по- мощью проведите тест на автокорреляцию.

20. На основе годовых данных 1959–1983 годов были оценены следующие функ- ции спроса на продовольственные товары.

ln Q_t = 2.83 − 0.47 ln P F_t + 0.64 ln Y_t,

(6.69) (−3.94) (24.48)

R² = 0.987, DW = d^c = 0.627,

ln Q_t = 1.87 − 0.36 ln P F_t + 0.38 ln Y_t + 0.44Q_t−1,

(3.24) (−2.79) (3.20) (24.10)

R² = 0.990, DW = d^c = 1.65,

где Q — спрос на продукты питания, PF — цены на продукты питания,

Y — доход, в скобках приведены значения t-статистики.

Проверьте каждое уравнение на наличие автокорреляции первого порядка и дайте короткий комментарий результатов.

21. Пусть остатки в регрессии x_i = α + βz_i + ε_i равны (1, 2, 0, −1, −2)^t . Опишите первый шаг метода Кочрена—Оркарта.

22. Денежная масса измеряется с ошибкой. Как смещен коэффициент зависимо- сти динамики цен от динамики денежной массы относительно его истинного значения?

23. Пусть в парной линейной регрессии ошибки зависимой переменной и фактора независимы и имеют одинаковую дисперсию. Запишите задачу для нахожде- ния оценок коэффициентов данной регрессии (с объяснением обозначений).

Рекомендуемая литература

1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: Юнити, 2001. (Гл. 2)

288 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

2. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. — М.: «Финансы и ста- тистика», 1981. (Гл. 1).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 7, 8).

4. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: «Инфра-М», 1997. (Гл. 7).

5. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х книгах. Кн.1 — М.: «Финансы и статистика», 1986. (Гл. 2, 3).

6. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: «Статистика», 1977. Вып. 2. (Гл. 15).

7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. — М.: «Статистика», 1971. (Гл. 2).

8. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: Дело, 2000. (Гл. 6, 7, 9).

9. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Стати- стика», 1975. (Гл. 10).

10. Тинтер Г. Введение в эконометрию. — М.: «Статистика», 1965. (Гл. 6).

11. Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999. (Ch. 5).

12. Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econo- metrics, N 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 16).

13. William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 9, 15, 16).

14. Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 9, 12, 13).

15. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch 8, 9).

16. Maddala G.S. Introduction to Econometrics, 2nd ed., Prentice Hall, 1992. (Ch. 5, 6, 7).