8.4. Ошибки измерения факторов

Пусть теперь нарушается гипотеза g2, и независимые факторы наблюдаются с ошибками. Предполагается, что изучаемая переменная зависит от истинных зна-

чений факторов (далее в этом пункте используется сокращенная форма уравнения регрессии), zˆ⁰, а именно:

xˆ = zˆ⁰α + ε,

но истинные значения неизвестны, а вместо этого имеются наблюдения над неко- торыми связанными с zˆ⁰ переменными zˆ:

zˆ = zˆ⁰ + ε_z ,

где ε_z — вектор-строка длиной n ошибок наблюдений.

В разрезе наблюдений:

где

X^ˆ = Z^ˆ0α + ε, Z^ˆ = Z^ˆ0 + ε_z ,

Z^ˆ0 и ε_z — соответствующие N × n-матрицы значений этих величин по на-

блюдениям (т.е., в зависимости от контекста, ε_z обозначает вектор или матрицу

ошибок).

Предполагается, что ошибки факторов по математическому ожиданию равны нулю, истинные значения регрессоров и ошибки независимы друг от друга (по край- ней мере не коррелированы друг с другом) и известны матрицы ковариации:

E(ε_z ) = 0, E(zˆ^0t , ε) = 0, E(zˆ^0t , ε_z ) = 0,

E(zˆ^0t , zˆ⁰) = M ⁰, E(ε^t , ε_z ) = Ω, E(ε^t , ε) = ω.

(8.5)

z z

Важно отметить, что эти матрицы и вектора ковариации одинаковы во всех наблюдениях, а ошибки в разных наблюдениях не зависят друг от друга, т.е. речь, фактически, идет о «матричной» гомоскедастичности и отсутствии автокорреляции ошибок.

Через наблюдаемые переменные xˆ в следующей форме:

и zˆ

уравнение регрессии записывается

xˆ = zˆα + ε − ε_z α. (8.6)

В такой записи видно, что «новые» остатки не могут быть независимыми от факто- ров-регрессоров zˆ, т.е. гипотезы основной модели регрессии нарушены. В рамках

8.4. Ошибки измерения факторов	271
сделанных предположений можно доказать, что приближенно E(a) ≈ (M 0 + Ω)−1(M 0α + ω) = α + (M 0 + Ω)−1(ω − Ωα),	(8.7)

т.е. МНК-оценки теряют в такой ситуации свойства состоятельности и несмещен- ности³, если ω ƒ= Ωα (в частности, когда ошибки регрессии и ошибки факторов не коррелированны, т.е. когда ω = 0, а Ω и α отличны от нуля).

Для обоснования (8.7) перейдем к теоретическому аналогу системы нормальных уравнений, для чего обе части соотношения (8.6) умножаются на транспонирован- ную матрицу факторов:

E (zˆ^rxˆ) = E (zˆ^rzˆ) α + E (zˆ^rε) − E (zˆ^rε_z ) α.

Здесь, как несложно показать, пользуясь сделанными предположениями,

E (zˆ^rzˆ) = M ⁰ + Ω,

E (zˆ^rε) = ω,

E (zˆ^rε_z ) = Ω,

Поэтому

или

E (zˆ^rxˆ) = E (zˆ^rzˆ) α + ω − Ωα

E (zˆ^rzˆ)⁻¹ E (zˆ^rxˆ) = α + ^.M ⁰ + Ω^.−1 (ω − Ωα) .

N

Левая часть приближенно равна E(a). Действительно, a = M ⁻¹m, где M = ¹ Z^ˆrZ^ˆ

N

и m = ¹ Z^ˆrxˆ. Выборочные ковари-

ационные матрицы M и m по закону больших чисел с ростом числа наблюдений сходятся по вероятности к своим теоретическим аналогам:

p p

M −→E (zˆ^rzˆ) и m −→E (zˆ^rxˆ) .

По свойствам сходимости по вероятности предел функции равен функции от предела, если функция непрерывна. Поэтому

a = M ⁻¹m

p

−→ E (zˆ^rzˆ)⁻¹ E (zˆ^rxˆ) = (M ⁰ + Ω)⁻¹(M ⁰α + ω).

Существуют разные подходы к оценке параметров регрессии в случае наличия ошибок измерения независимых факторов. Здесь приводятся два из них.

³ Они смещены даже асимптотически, т.е. при стремлении количества наблюдений к бесконечно- сти смещение не стремится к нулю.

272 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

а) Простая регрессия. Если имеется оценка W ковариационной матрицы Ω и w — ковариационного вектора ω , то можно использовать следующий оператор оценивания:

a = (M − W )⁻¹(m − w),

который обеспечивает состоятельность оценок и делает их менее смещенными.

Это формула следует из

E (zˆ^rxˆ) = E (zˆ^rzˆ) α + ω − Ωα

заменой теоретических моментов на их оценки.

Обычно предполагается, что W — диагональная матрица, а w = 0.

б) Ортогональная регрессия. Поскольку z теперь такие же случайные пере- менные, наблюдаемые с ошибками, как и x, имеет смысл вернуться к обозначениям 6-го раздела, где через x обозначался n-мерный вектор-строка всех переменных. Пусть ε — вектор их ошибок наблюдения, а x⁰ — вектор их истинных значений, то есть

x = x⁰ + ε, X = X⁰ + ε.

Предположения (8.5) записываются следующим образом:

E(xˆ^0t, ε) = 0, E(xˆ^0t, xˆ⁰) = M ⁰, E(ε^t, ε) = σ²Ω.

Теперь через M ⁰ обозначается матрица, которую в обозначениях, используемых в этом пункте выше, можно записать следующим образом:

 

_σ2



0



_x0 m

 _,

 

а через σ²Ω матрица

_m0t _M 0

 

σ² ω

.

 

 

ω^t Ω

Поскольку речь идет о линейной регрессии, предполагается, что между истин- ными значениями переменных существует линейная зависимость:

x⁰α = 0.

8.5. Метод инструментальных переменных 273

Это означает, что

M ⁰α = 0.

что

Рассуждая так же, как при доказательстве соотношения (8.7), легко установить,

E(M ) = M ⁰ + σ²Ω,

(M — фактическая матрица ковариации X ) т.е.

(E(M ) − σ²Ω)α = 0.

Таким образом, если считать, что Ω известна, а σ² — минимизируемый параметр (в соответствии с логикой МНК), то решение задачи

(M − σ²Ω)a = 0, σ² → min!

даст несмещенную оценку вектора α . А это, как было показано в пункте 6.4, есть задача регрессии в метрике Ω⁻¹ (см. (6.37)). Преобразованием в пространстве переменных она сводится к «обычной» ортогональной регрессии.

Т.е. если для устранения последствий нарушения гипотезы g4 используется преобразование в пространстве наблюдений, то при нарушении гипотезы g2 надо

«работать» с преобразованием в пространстве переменных.

Несмотря на то, что методы ортогональной регрессии и регрессии в метрике Ω⁻¹ в наибольшей степени соответствуют реалиям экономики (ошибки есть во всех переменных, стоящих как в левой, так и в правой частях уравнения регрессии), они мало используются в прикладных исследованиях. Основная причина этого заклю- чается в том, что в большинстве случаев невозможно получить надежные оценки матрицы Ω. Кроме того, ортогональная регрессия гораздо сложнее простой с вы- числительной точки зрения, и с теоретической точки зрения она существенно менее изящна и прозрачна.

В следующем параграфе излагается еще один метод, который позволяет решить проблему ошибок в переменных (и в целом может использоваться при любых нарушениях гипотезы g2).