diplom25 / suslov_ibragimov_ekonometrika

т.е.вобщемслучаевсеэндогенныепеременныекоррелированысошибкамивовсех уравнениях.Это является основным препятствием для применения обычного МНК ко всем уравнениям по отдельности.

Но в случае,если в матрице B все элементы,расположенные ниже главной диагонали,равны нулю,т.е.в правой части l-го уравнения могут появлять-

ма,и для оценки ее параметров можно применять МНК к отдельным уравнениям.

Для оценки параметров всех идентифицированных уравнений системы можно применить трехшаговый метод (3М)наименьших квадратов.

Первые два шага3М совпадают с2М,но представляются они по сравнению с предыдущим пунктом в несколько иной форме.

Предполагается,что идентифицированы все k уравнений:

E(εl ε!l ) = σ2ωllIN , E(εl!ε!l ) = σ2ωl!l IN .

Теперь обе части l-го уравнения умножаются слева на Z !:

иZ !Xl рассматривается как вектор n + 1 наблюдений за одной эндогенной переменной,а Z !Ql Ñкак матрица n + 1 наблюдений за nl + kl экзогенными переменными,включая свободный член.Так как все уравнения идентифицированы,

ивыполнено условие(10.14),во всех эти х новых регрессиях количество наблюдений не меньше количества оцениваемых параметров.Для сверхидентифицированных уравнений количество наблюдений в новой регрессии будет превышать количество оцениваемых параметров. Это более естественный случай.Поэтому 3М-метод обычно применяют для всех сверхидентифицированных уравнений системы.

Матрица ковариации остатков по уравнению(10.34)равна σ2ωll Z !Z .Она отлична от σ2IN ,и для получения оценок cl параметров γl этого уравнения нужно использовать ОМНК:

cl = (Ql!Z (Z !Z )−1Z !Ql )−1Ql!Z (Z !Z )−1Z !Xl , или cl = (Ql!F Ql )−1Ql!F Xl .

ИдентичныликосвенныеМНК-оценки,полученныеизобоихуравнений приведенной формы?

α = 2 и β = 0.8 составьте 100 выборок для c и y.

1.5.Примените простой МНК к каждом у структурному уравнению системы для 100выборок.Посчитайте среднее 100 оценок α и β.Проверьте степень эмпирического смещения.

1.6.ПосчитайтекосвенныеМНК-оценкидля α и β для 100 выборок.Посчитайте среднее 100 оценок α и β.Посчитайте степень смещения в маленьких выборкахÑразмером по 20 наблюдений.Сравните смещение косвенных МНК-оценок со смещением обычных МНК-оценок.

1.7.Объедините пары выборок так,чтобы получились 50 выборок по 40 наблюдений.Посчитайте косвенные МНК-оценки для α и β для этих 50 выборок. Посчитайте среднее и проверьте смещение оценок.Будут ли эмпирические смещениявэтомслучаеменьше,чемрассчитанныеиз 100 выборокпо 20 наблюдений?

Упражнение2

Таблица10.2содержи т векторы наблюдений z1, z2, z3 , z4, z5 и x1, x2, x3 которые представляют выборку,полученную из модели:

x1 = β12x2 + β13x3 + α11z1 + ε1,

x2 = β21x1 + α21z1 + α22z2 + α23z3 + α24z4 + ε2, x3 = β32x2 + α31z1 + α32z2 + α35z5 + ε3,

Гипотетические структурные матрицы коэффициентов B , A и ковариационная матрица Σ следующие:

Матрица коэффициентов в приведенной форме для гипотетической модели следующая:

В реальной ситуации B , A , Σ, D были бы неизвестны,доступны были бы только наблюдения в таблице10.2.

2.1.Используя данные таблицы10.2,п роверьте каждое структурное уравнение системы на идентифицируемость.

где C Ñпотребительские расходы, I Ñинвестиционные расходы, G Ñгосударственные расходы, P Ñприбыль, W Ñспрос на труд негосударственного сектора, V Ñспрос на труд государственного сектора, K Ñкапитал, T Ñналоги, t Ñвремя, Y Ñчистый доход от налогов.

На основе данных из таблицы10.3оценит ь параметры модели Клейна простым методом наименьших квадратов и двухшаговым методом наименьших квадратов. Показать величину смещения оценок.

Задачи

1.Эконометрическая модель описана следующими уравнениями:

для β21,если для оценивания второго ура внения используется метод наименьших квадратов.

2.Дана следующая макроэкономическая модель:

y = c + i + g Ñмакроэкономическое тождество; c = α10 + β11y Ñфункция потребления,

i = α20 + β21y − β22r Ñфункция инвестиций, (m/p) = β31y − β32r Ñуравнение денежного рынка,

гдеэндогеннымипеременнымиявляютсядоход y,потребление c,инвестиции i и процентная ставка r.Переменные g (государственные расходы)и (m/p) (реальная денежная масса) Ñэкзогенные.Проверьте,является ли данная система идентифицируемой,и переп ишите модель в приведенной форме.

3.Данаследующаямоделькраткосрочногоравновесиядлямалойоткрытойэкономики(модель МанделлаÑФлеминга):

y = c + i + nx Ñмакроэкономическое тождество, c = α11 + β11y + ε1 Ñфункция потребления,

i = α21 − α21r + β21y + ε2 Ñфункция инвестиций,

nx = α31 − β31y − β32ec + ε3 Ñфункция чистого экспорта, (m/p) = β41y − α41r + ε4 Ñуравнение денежного рынка,

где эндогенными переменными являются доход y,потребление c,инвестиции i,чистый экспорт nx и валютный курс ec.Переменные r (процентная ставка,значение которой формируется на общемировом уровне)и (m/p) (реальная денежная масса) Ñэкзогенные; ε1, . . . ,ε 4 Ñслучайные ошибки.Запишите общие условия для определения структурных параметров каждого уравнения модели.Какие уравнения модели точно идентифицируемы? Перепишите модель МанделлаÑФлеминга в приведенной форме.

4.Приведитепримерсистемыодновременныхуравнений,ккоторойможноприменить косвенный МНК(с об ъяснением обозначений).

5.Приведите примерсверхидентифицированной системыодновременных уравнений(с объяснением обозначений).

6.Рассмотрите модель:

x1t = β12x2t + α11z1t + α12z2t + α13z3t + α14z4t + ε1t , x2t = β21x1t + α21z1t + α22z2t + α23z3t + α24z4t + ε2t ,

где вектор z Ñэкзогенные переменные,а вектор ε Ñслучайные последовательно некоррелированные ошибки с нулевыми средними.Используя исключающие ограничения(т.е.обращая в нуль некоторые коэффициенты), определите три альтернативные структуры,для которых простейшими состоятельными процедурами оценивания являются соответственно обыкновенный метод наименьших квадратов,косвенный метод наименьших квадратов и двухшаговый метод наименьших квадратов.

7.Имеется следующая макроэкономическая модель:

c = α10 + β11y + ε1,

i = α20 + β21y + β22y−1 + ε2,

y = c + i + g,

где c, i и y Ñобъем потребления,инвестиции и доход,соответственно,а y−1 Ñдоход предыдущего периода, g Ñгосударственные расходы.

а)Определите типы структурных уравнений; б)классифицируйте типы переменных; в)представьте структурные уравнения в матричной форме; г)запишите модель в приведенной форме;

д)проверьте идентифицируемость и метод оценки параметров каждого уравнения в структурной форме модели;