diplom25 / suslov_ibragimov_ekonometrika

Сравните все эти оценки друг с другом и с соответствующими истинными значениями.

3.3.Возьмите те же выборки,что и в упражнении3.2,и проверьте гипотезу об автокорреляции ошибок.

3.4.Найдите скорректированную оценк у ковариационной матрицы,устойчивую к гетероскедастичности и автокорреляции(оценку НьюиÑУэста).

3.5.Выполните упражнение3.2для всех 100 выборок и,используя результаты, оцените математическое ожидание и матрицу среднеквадратических ошибок для каждой оценки.Есть ли среди оценок смещенные?Что можно сказать об относительной эффективности МНК-оценки и ОМНК-оценки?

Упражнение4

Дляуравнения X = Z oα+ε = −1.410z10 +0.080z20 +1N 56.962+ε, z1 = z10+εz1 , z2 = z20 + εz2 и при предположении,что εi N (0, 21.611), εz1 N (0, 21.700)

и εz2 N (0, 21.800),были генерированы 20 значений выборки.Результаты приведены в таблице8.3.

Предполагая,что истинная матрица факторов Z 0 неизвестна,выполните следующие задания:

4.1.Найдите МНК-оценки a = (Z !Z )−1 Z !X параметров уравнения регрессии

X = Z α + ε = α1z1 + α2z2 + 1N β + ε.

4.2.Рассчитайте ковариационную мат рицу ошибок измерения факторовÑ W и ковариационный векторÑ w и оцените параметры регрессии как a = (M − W )−1(m − w).

4.3.Найдите оценку через ортогональную регрессию.

4.4.Сравните эти все оценки друг с другом и с соответствующими истинными значениями.

Задачи

1.Какие свойства МНК-оценок коэффи циентов регрессии теряются,если ошибки по наблюдениям коррелированы и/или имеют разные дисперсии?

2.Как оцениваются параметры уравнен ия регрессии,если известна матрица ковариации ошибок и она не диагональна с равными элементами по диагонали?

αомнк = (Z !Ω−1Z )−1Z !Ω−1X накакую-тоположительнополуопределенную матрицу.

5.Какое преобразование матрицынаблюденийпередоценкойрегрессииполезно сделать,если среднеквадратиче ские отклонения ошибок регрессии пропорциональны какому-либо фактору?

6.Оценивается регрессия по 10 наблюдениям.Известно,что дисперсия ошибок для первых 5 наблюдений в два раза больше,чем дисперсия ошибок остальных 5 наблюдений.Опишите процед уру оценивания этой регрессии.

7.Рассмотрите регрессию xt = α1t + β + εt , t = 1, . . . , 5,где

E(εt ) = 0, E(ε2t ) = σ2t2, E(εt εs ) = 0,при t =! s.

Пусть ε! = (ε1, ε2, ε3, ε4, ε5) и E(εε!) = σ2Ω.

Ðсравните эти оценки друг с другом и сделайте вывод.

9.Рассматривается модель X = Z α + ε,где εi Ñнормально и независимо

0 1

распределенная случайная величина с E (εi) = 0 и E ε2i = σi2 = eyiγ .

вильный,основанный на результатах МНК,а другой правильный,основанный на результатах ОМНК;

Ðпроверьте гипотезу γ1 = 0.

10.Параметры трехфакторного уравнения регрессии оценены по 20 наблюдениям. S1 и S2 Ñостаточные дисперсии по первой и второй половинам временного ряда.В каком случае гипотезы о гомоскедастичности следует отвергнуть?

11.Приведите примеры графиков зав исимостей ошибки от времени в авторегресионной схеме первого порядка для случаев,когда модуль коэффициента авторегрессии превышает единицу.Чт о можно сказать об автокорреляции ошибок,если этот коэффициент равен нулю?

носделать,еслиошибкивкаждомнаблюденииимеютодинаковую дисперсию и коррелированы с ошибками в предыдущем наблюдении?

16.Почему при использовании критерия ДарбинаÑУотсона требуется знать два критических значения для расчетной статистики?

17.Фактическое значение dc статистики ДарбинаÑУотсона равно 0.5.Что это означает?Какоепреобразованиеследуетприменитькэтоймодели(запишите формулу)?

18.В регрессионной модели X = Z α + ε существует автокорреляции ошибок первого порядка и ρ = 0.6.Предположим,что

910 1

по остаткам после применения ОМНК.

2.Демиденко Е.З.Линейная и нелинейная регрессия. ÑМ.: ÇФинансы и ста-

тистикаÈ, 1981. (Гл. 1).

3.Джонстон Дж. Эконометрические методы. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1980. (Гл. 7, 8).

4.Доугерти К. Введение в эконометрику. ÑМ.: ÇИнфра-МÈ, 1997. (Гл. 7).

5.Дрейпер Н.,Смит Г. Прикладной регрессионный анализ:В2-х книгах. Кн.1 ÑМ.: ÇФинансы и статистикаÈ, 1986. (Гл. 2, 3).

6.Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1977.Вып. 2. (Гл. 15).

7.Лизер С. Эконометрические методы и задачи. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1971. (Гл. 2).

8.Магнус Я.Р.,Катышев П.К.,Пересецкий А.А. ЭконометрикаÑначальный курс. ÑМ.:Дело, 2000. (Гл. 6, 7, 9).

9.Маленво Э. Статистические методы эконометрии.Вып. 1. ÑМ.: ÇСтати-

стикаÈ, 1975. (Гл. 10).

10.Тинтер Г.Введение в эконометрию. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1965. (Гл. 6).

11.Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999. (Ch. 5).

12.Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econometrics, N 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 16).

13.William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 9, 15, 16).

14.Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 9, 12, 13).

15.Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch 8, 9).

16.Maddala G.S. Introduction to Econometrics, 2nd ed., Prentice Hall, 1992. (Ch. 5, 6, 7).

Глава9

Целочисленные переменные в регрессии

9.1.Фиктивные переменные

С помощью фиктивных или псевдопеременных,принимающих дискретные, обычно целые значения,в регрессию включают качественные факторы.

Уточнение обозначений:

Z Ñ N × n-матрица наблюдений заÇобыч нымиÈнезависимыми факторами; α Ñ n-вектор-столбец параметров регрессии при этих факторах;

Z 0 = 1N ; β0=β.

В этих обозначениях уравнение регрессии записывается следующим образом:

X = Z α + Z 0β0 + ε.

Пусть имеется один качественный фактор,принимающий два значения(например: ÇмужчинаÈиÇженщинаÈ,если речь идет о модели некоторой характеристики отдельных людей,илиÇгоды войныÈиÇгоды мираÈ Ñв модели,построенной на временных рядах наблюдений,которые охватывают периоды войны и мира и т.д.). Ставится вопрос о том,влияет ли этот фактор на значение свободного члена регрессии.

рица фиктивных переменных): ziG1 равен единице,если фактор в i-м наблюдении принимает первое значение,и нулю в противном случае; ziG2 равен единице,если фактор в i-м наблюдении принимает второе значение,и нулю в противном случае.

O= β1

β2

Ñдвухкомпонентный вектор-столбец параметров при фиктивных переменных. Исходная форма регрессии с фиктивными переменными:

Поскольку сумма столбцов матрицы равна Z 0,оценка параметоров непосредственно по этому уравнению невозможна.

Проводится преобразование фиктивных переменных одним из двух способов.

а)В исходной форме регрессии исключает ся один из столбцов матрицы фиктивных переменных,в данном случаеÑпервый.

øG Ñматрица фиктивных переменных без первого столбца;

Z

Тогда эквивалентная исходной запись уравнения имеет вид:

O

и после умножения матрицы ø справа на вектор параметров получается за-

C

пись уравнения регресии,в которой отсутствует линейная зависимость между факторами-регрессорами:

После оценки этих параметров можно определить значения исходных пара-

(вданномслучае β1 +β2)равнанулю,т.е.влияниекачественногофактораприводит к колебаниям вокруг общего уровня свободного члена:

б)Предполагая,что сумма параметров при фиктивных переменных равна нулю,в исходной форме регрессии исключает ся один из этих параметров,в данном случаеÑпервый.

β Ñвектор-стобец параметров при фиктивных переменных без первого элемента;

C= −1 .

1

Эквивалентная исходной запись уравнения принимает форму:

и после умножения матрицы C слева на матрицу наблюдений за фиктивными переменнымиполучаетсязаписьуравнениярегрессии,вкоторойтакжеотсутствует линейная зависимость между регрессорами:

X = Z α + Z 0β0 + Z Gβ + ε.

После оценки параметров этого уравнения недостающая оценка параметра β определяется из условия β1 = −β2.

Качественный фактор может принимать больше двух значений.Так,в классической модели выделения сезонных колебаний он принимает4значения,в случае поквартальных наблюдений,и12значен ий,если наблюдения проводились по ме-