diplom25 / suslov_ibragimov_ekonometrika

"T = γ0PT .

Особенность автоковариационной матрицы "T и соответствующей автокорреляционной матрицы PT в случае стационарности состоит в том,что они имеют одниитежеэлементыналюбойдиагонали.Матрицытакоговидапринятоназывать тёплицевыми матрицами.

Как известно,любая ковариационная матрица является симметричной и положительно полуопределенной.Кроме того,если компоненты рассматриваемого случайного вектора x линейно независимы в том смысле,что не существует ненулевой вектор коэффициентов λ,такой что λ!x Ñдетерминированная величина, токовариационнаяматрицаявляетсяположительноопределенной.Напомним,что, по определению(см.Прилож ениеA.1.1),симметричная T × T матрица A называется положительно полуопределенной,если для каждого вектора λ выполняется неравенство λ!Aλ " 0;матрица A называется положительно определенной, если для каждого ненулевого вектора λ выполняется неравенство λ!Aλ> 0. Автоковариационная и автокорреляционная матрица являются ковариационными матрицами,поэтому ониобладаютуказаннымисвойствами.Сдругойстороны,если матрицаобладаетуказаннымисвойствами,тоонаможетбытьавтоковариационной матрицей некоторого временного ряда.

Из этих рассуждений следует,что услов ие слабой стационарности процесса, компоненты которого линейно независимы в указанном выше смысле,налагает ряд ограничений на вид автокорреляционной и автоковариационной функций.Они вытекаютизтого,чтоглавныеминорыположительноопределеннойматрицы,втом числе ее определитель,д олжны быть положительны.

В частности,положительная определенность главного минора второго порядка дает

А для третьего порядка:

2ρ21 − 1 < ρ2 < 1.

Среди стационарных процессов в теории временных рядов особую роль играют процессы типа белый шум.Это неавтокоррелированные слабо стационарные процессы{ εt }с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией:

µ = E(εt ) = 0,

ка T .

НазваниеÇбелый шумÈсвязано с тем,что спектральная плотность такого процесса постоянна,то есть он содержит в одинаковом количестве все частоты,подобно тому,как белый цвет содержит в себе все остальные цвета.Если белый шум имеет нормальное распределение,то его называют гауссовским белым шумом.

Аналогичные определения стационарности можно дать и для векторного стохастического процесса {xt }.Слабо стационарный векторный процесс будет характеризоваться уже не скалярными автоковариациями γk и автокорреляциями ρk , а аналогичными по смыслу матрицами.Вне главной диагонали таких матриц стоят,

соответственно, кросс-ковариации и кросс-корреляции.

11.3.Основные описательные статистики для временных рядов

Предположим,у нас имеются некоторые данные в виде временного ряда {xt }t=1, ..., T . Среднее и дисперсия временного ряда рассчитываются по обычным формулам:

Выборочная автоковариация k-го порядка вычисляется как

Статистической оценкой автокорреляции k-го порядка для стационарных про-

"

цессов является выборочный коэффициент автокорреляции: rk = ck c0 . Прианализе изменения величин ck и rk в зависимости от значения k обычно пользуются выборочными автоковариационной и автокорреляционной функциями,определяемыми как последовательности {ck } и {rk },соответственно.Выборочная автокорреляционная функция играет особую роль в анализе стационарных временных рядов,поскольку может быть использован а в качестве инструмента для распознавания типа процесса.При этом обычно анализируют график автокорреляционной функции,называемый коррелограммой.

Заметим,что по ряду длиной T можно вычислить автокорреляции вплоть до rT −1.ОднакоÇдальниеÈавтокорреляции вычисляются неточно.С ростом порядка k количество наблюдений,по которым вычисляется коэффициент автокорреляции rk ,уменьшается.Для расчета rT −1 используется два наблюдения.Таким образом,с ростом k выборочные автокорреляции rk становятся все менее надежными оценками теоретических автокорреляций ρk .Таким образом,при анализе ряда следует принимать во внимание только самыеÇближниеÈавтокорреляции, например,первые [T /5] автокорреляций.

По аналогии с автоковариациями и автокорреляциями для анализа совместной динамики нескольких рядов можно использовать выборочные кросс-ковариации и кросс-корреляции.

Выборочная кросс-ковариация двух временных рядов, {xt } и {yt },рассчитывается по формуле:

Она характеризует взаимосвязи двух рядов во времени с различной величиной сдвига k.Следует помнить,что,в отличие от автоковариации,кросс-ковариация не является симметричной по k,поэтому ее следует рассматривать и при положительных,и при отрицательных k.

Выборочная кросс-корреляция определяется как:

11.4.Использование линейной регрессии с детерминированными факторами

для моделирования временного ряда

Сравнительно простой моделью временного ряда может служить модель вида:

где µt Ñполностьюдетерминированнаяпоследовательностьилисистематическая составляющая, εt Ñпоследовательность случайных влеичин,являющаяся белым шумом.Если µt зависит от вектора неизвестных параметров θ: µt = µt(θ),то модель(11.2)являетсямодельюрегрессии, иеепараметрыможнооценитьспомощью МНК.

Детерминированнаякомпонента µt ,какправило,самамоделируетсякаксостоящаяизнесколькихкомпонент.Например, можнорассмотретьаддитивнуюмодель, в которой временной ряд содержит три компоненты:тренд τt ,сезонные движения vt и случайные флуктуации εt :

xt = τt + vt + εt .

Зачастую изучаемый экономический ряд ведет себя так,что аддитивной схеме следует предпочесть мультипликативную схему:

xt = τt vt exp(εt ).

Однако,если это выражение прологарифм ировать,то получится аддитивный вариант:

ln(xt ) = ln(τt ) + ln(vt ) + εt = τt + vt + εt ,

что позволяет оставаться в рамках линейной регрессии и значительно упрощает моделирование.

11.4.1.Тренды

Существует три основных типа трендов.

Первым и самим очевидным типом тренда представляется тренд среднего,когда временной ряд выглядит как колебания около медленно возрастающей или убывающей величины.

ВторойтиптрендовÑэто тренд дисперсии.Вэтомслучаевовременименяется амплитуда колебаний переменной.Иными словами,процесс гетероскедастичен.

Часто экономические процессы с возрастающим средним имеют и возрастающую дисперсию.

Третий и более тонкий тип тренда,визуально не всегда наблюдаемый, Ñизменение величины корреляции между текущим и предшествующим значениями ряда,

т.е. тренд автоковариации и автокорреляции.

Проводя разложение ряда на компоненты,мы,как правило,подразумеваем под трендом изменение среднего уровня переменной,то есть тренд среднего.

В рамках анализа тренда среднего выделяют следующие основные способы аппроксимации временных рядов и соответствующие основные виды трендов среднего.

Оценивание параметров полиномиального и экспоненциального трендов(после введения обозначения zi = ti, i = 1, . . . , p, Ñв первом случае и логарифмирования функции во втором случае)производится с помощью обычного МНК.

Гармонический тренд оправдан,когда в составе временного ряда отчетливо прослеживаются периодические колебания.При этом если частота ω известна (или ее можно оценить),то функцию(11.5)несложно представить в виде линейной комбинации синуса и косинуса:

τt = α cos(ωt) + β sin(ωt)

и,рассчитав векторы cos(ωt) и sin(ωt),также воспользоваться МНК для оценивания параметров α и β.

Логистическая кривая нуждается в особом рассмотрении.

360 Глава11.Основные понятия в анализе временных рядов

Использование в линейной регрессии полного набора таких переменных связано с одной особенностью.В сумме они дают единицу:

δ1t + . . . + δht = 1.

Поэтому,коль скоро в регрессии имеется константа,то будет иметь место линейная зависимость,и λ1, . . . ,λ h нельзя будет оценить однозначно.Таким образом,требуется наложить на коэффициенты λ1, . . . ,λ h какое-либо нормирующее ограничение.В частности,можно положить один из коэффициентов равным нулю,что эквивалентно неиспользованию соответствующей переменной при построении регрессии.Однако более удач ная нормировка состоит в том,чтобы положить λ1 + . . . + λh = 0.При этом сезонная компонента центрируется,то есть в среднем влияние эффекта сезонности на уровень ряда оказывается равным нулю.

Подставимэтоограничениевсезоннуюкомпоненту,исключивкоэффициент λ1:

vt = −(λ2 + . . . + λh )δ1t + λ2δ2t + . . . + λh δht =

= λ2(δ2t − δ1t ) + . . . + λh(δht − δ1t ).

Новые переменные δ2t − δ1t , . . . ,δ ht − δ1t будут уже линейно независимыми,и их можно использовать в линейной регрессии в качестве факторов,а также получить иоценкуструктурысезонности λ1, . . . ,λ h .Трактоватьее следуеттак:в j -м сезоне сезонность приводит к отклонению от основной динамики ряда на величину λj .

Если для описания тренда взять полиномиальную функцию,то,используя аддитивную схему,можно представить временной ряд в виде следующей линейной регрессии:

xt = a0 + a1t + . . . + ap tp + λ1δ1t + . . . + λhδht + εt ,

где λ1 + . . . + λh = 0.

В этой регрессии ai и λj являются неизвестными коэффициентами.Применение МНК дает оценки p + h + 1 неизвестных коэффициентов и приводит к выделению составляющих τt , vt и εt .

11.4.4.Аномальные наблюдения

При моделировании временного ряда часто отбрасываются аномальные наблюдения,резко отклоняющиеся от направления эволюции ряда.Такого рода выбросы,вместо исключения,можно моделировать с помощью фиктивных переменных,соответствующих фиксированным моментам времени.Предположим,

что в момент t в экономике произошло какое-нибудь важное событие(например,отставка правительства).Тогда можно построить фиктивную переменную

δtt ,которая равна нулю всегда,кроме момента t = t ,когда она равна едини-

це: δtt = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0).

Такая фиктивная переменная пригодна только для моделирования кратковременного отклонения временного ряда.Если же в экономике произошел структурный сдвиг,вызвавший скачок в динамике ряда, то следует использовать фиктивную переменную другого вида: (0, . . . , 0, 1, . . . , 1).Эта переменная равна нулю до некоторого фиксированного момента t ,а после этого момента становится равной единице.

Заметим,что последние два вида переменных нельзя использовать для прогнозирования,поскольку они относятся к единичным непрогнозируемым событиям.

11.5.Прогнозы по регрессии с детерминированными факторами.

Экстраполирование тренда

Предположим,что данные описываются линейной регрессией с детерминированными регрессорами,являющимися функциями t,и получены оценки параметров регрессии на основе данных x = (x1, . . . , xT )! и соответствующей матрицы факторов Z .Это позволяет построить прогноз на будущее,например на период T + k.Вообще говоря,прогноз в такой регрессии строится так же,как в любой классической линейной регрессии.Отличие состоит только в том,что значения факторов zT +k ,необходимые для осуществления прогноза,в данном случае всегда известны.

Рассмотрим прогнозирование на примере,когда временной ряд моделируется по упрощенной схемеÑтренд плюс шум: xt = τt + εt ,где τt = ztα, zt Ñ вектор-строка значения факторов регрессии в момент t, α Ñвектор-столбец коэффициентов регрессии.

Такое моделирование имеет смысл,если циклические и сезонные компоненты отсутствуют или мало значимы.Тогда выявленный тренд τt может служить основойдляпрогнозирования.Прогнозвеличины xT +k строитсяпоформулеусловного математическогоожидания xT (k) = zT +k a,где a Ñоценкипараметров,полученные с помощью МНК,т.е. a = (Z !Z )−1 Z !x.Известно,что такой прогноз обладает свойством оптимальности.

Предположим,что для описания тренда выбран многочлен:

τt = α0 + α1t + α2t2 + . . . + αptp , t = 1, . . . , T .