Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diplom25 / suslov_ibragimov_ekonometrika

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

5.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 7426 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

252 Глава7.Основная модель линейной регрессии

14.Используя приведенные ниже да нные,оцените параметры модели xt = β +

+ α1z1t + α2z2t

+ εt и,делая все необходимые предположения,проверьте

статистическую значимость коэффициента α1 .

xö%t = 20, t = 1,%. . . , 5;

= −10,

а)

zö12t = 10,

zö22t

= 8,

zö1t zö2t = 8,

zö1t xöt

zö2t xöt = −8,

z1t = 55,

z2t = 28,

z1t z2t = 38,

z1t xt = 35

z2t xt = 22

%%t

= 15 %z1%

% 2

% %

б)

= 15,

z = 10, N = 5,

x2 = 65.

15.Анализ годовых данных(

21 наблюдение)оспросе нанекоторыйтовар привел

к следующим результатам:

Средние

Стандартные

Парные коэффициенты

отклонения

корреляции

zø = 51.843

sz = 9.205

rxz = 0.9158

xø = 8.313

sx = 1.780

rxt = 0.8696

st = 6.055

rzt = 0.9304

t = 0

z Ñпотребление на душу населения, x Ñцена с учетом дефлятора, t Ñ время(годы).

а)Найдите коэффициент при времени в оцененной регрессии x по z и t. б)Проверьте,будет ли этот коэффициент значимо отличен от нуля.

в)Кратко объясните экономически й смысл включения в регрессию времени в качестве объясняющей переменной.

16.Какие ограничения на параметры уравнения можно проверить с помощью F -критерия?Написать ограничения с расшифровкой обозначений.

17.Пяти-факторное уравнение линейной регрессии для переменной x оценено по 31 наблюдению.При этом объясненная и смещенная остаточная дисперсии соответственно равны 8 и 2.Вычислить коэффициент детерминации и расчетное значение F -статистики.

18.Врегрессии x = z1α1 +z2α2 +β +ε по 5-тинаблюдениямсмещеннаяоценка остаточной дисперсии равна1,а дисперсия зависимой переменной равна 2. Значима ли эта зависимость?

19.По 10 наблюдениям оценено двухфакторное уравнение линейной регрессии, коэффициент детерминации составляет 90%.При каком уровне доверия это уравнениестатистическизначимо?Записатьуравнениедлянахожденияэтого уровня значимости.

7.5.Упражнения и задачи

253

20.Используя следующие данные:

X = (5, 1, −2, 5, −4)!, Z = (1, 2, 3, 4, 5)!,

и делая все необходимые предположения

а)для X = Z α + 1N β + ε оценить 95-процентные доверительные интервалы для параметров регрессии;

б)проверить значимость коэффици ентов регрессии и оценить качество регрессии с вероятностью ошибки 5%.

21.Пусть	X = α	Z	1	+ α Z		2	+ ε,	X = (4,	−	2, 4, 0)!, Z = (1, 1,		2, 2)!
	1		1		2	2			−		1
и Z2	= 2Z1.Постройте систему нормальных уравнений и покажите,что
существует бесконечное множество решений для a1											и a2.Выберите любые
два решения,покажите,что они дают одинаковые расчетные значения												X и,
таким образом,одинаковые значения суммы квадратов ошибок.
22.Для уравнения регрессии						X = Z α + 15β + ε имеются следующие данные:
		4								1.03	2.08 0.41
		8								1.46	2.80 2.03


	X =				, Z = (Z1			Z2 Z3) =			.
	5.5									1.14	2.30 0.98


	5.8									1.71	3.05 0.81



	7.0									1.06	2.17 1.17

а)Являются ли факторы линейно зависимыми?

б)Найти матрицу коэффициентов корреляции факторных переменных, рассчитать определитель данной матрицы и сделать вывод о мультиколлинеарности факторов.

в)Рассчитать определитель матрицы коэффициентов корреляциифакторных переменных в случае,если и з уравнения выводится фактор Z2.

г)Учесть дополнительную внешнюю информацию: α1 = 1.5α2 (с помощьюподстановкивуравнениерегрессии)инайтиопределительматрицы коэффициентов корреляции факторных переменных.

д)Построитьточечный прогноз x (xpr ) длязначений экзогенныхперемен-

ных zr = (z1r , z2r , z3r ) = (0.8, 1.6, 0.6): Ðпри использовании исходного уравнения;

Ðпри исключении из уравнения фактора Z2;

254	Глава7.Основная модель линейной регрессии

Ðпри использовании внешней информации из пункта(г).

23.Пусть цены сильно коррелируют с д енежной массой и неплатежами.Коэффициент корреляции между денежной массой и неплатежами равен 0.975 0R2 = 0.951.Имеетлисмыслстроитьрегрессиюценнаэтидва(сильно мультиколлинеарных)фактора?

24.Модель

x = α1z1 + α2z2 + β + ε

(1)

была оценена по МНК,и был получен коэффициент детерминации R12,а для преобразованной модели

x = α1z1 + α2z2 + α3z3 + β + ε

(2)

был получен коэффициент детерминации R22.

а)Объясните,почему R21 не может быть больше,чем R22.При каких условиях они равны?

б)Объясните последствия оценки м одели(1),если верной является модель(2).

25.В регрессии x = α1z1 + β + ε остатки равны (−2, 1, 0, 1).Оценивается регрессия x = α1z1 + α2z2 + β + ε.Привести пример переменной z2,чтобы коэффициенты детерминации в обеих регрессиях совпадали.

26.В регрессию x = α1z1 + β + ε добавили переменную z2.Переменная z2 оказалась совершенно незначимой.К ак изменились обычный и скорректированный коэффициенты детерминации?

27.Коэффициент детерминации в регре ссии выпуска продукции по численности занятых в производстве,оцененной по 12 наблюдениям,равен 0.8.После введения в регрессию дополнительного фактораÑосновного капиталаÑ он вырос до 0.819.Имело ли смысл вводить этот дополнительный фактор? Ответ обосновать без применения статистических критериев.

28.Дана модель регрессии xi = α1zi + β + εi .
а)Как оценивается точечный прогноз xN +1,если известно,что		β = 0?
		z2
		N +1
Покажите,чтодисперсияошибокпрогнозабудетравна σ2	,1 +			..
Покажите,чтодисперсияошибокпрогнозабудетравна σ2	,1 +	N	z2	..
		i%	i
		=1


7.5.Упражнения и задачи		255
б)Как оценивается точечный прогноз xN +1,если известно,что		α = 0?
Покажите,что дисперсия ошибок прогноза будет равна σ2	(1 +		1	).
			N

29.Почему ошибки прогноз ирования по линейной регрессии увеличиваются с ростом горизонта прогноза?

30.Была оценена регрессия x = α1z + β + ε по 50 наблюдениям.Делается прогноз x в точке z51.При каком значении z51 доверительный интервал прогноза будет самым узким?

31.Вычислите предсказанное значение для x исоответствующую интервальную оценку прогноза при θ = 0.05 в точке z26 = 14,если регрессионная модель x = 3z + 220 + e построена по25наблюдениям,остаточная дисперсия равна 25 и средняя по z равна 14.

Рекомендуемая литература

1.Айвазян С.А. Основы эконометрики.Т.2. ÑМ.:Юнити, 2001. (Гл. 2).

2.Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. ÑМ.: ÇФинансы и ста-

тистикаÈ, 1981. (Гл. 1, 2, 6).

3.Джонстон Дж. Эконометрические методы. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1980. (Гл. 2, 5).

4.Дрейпер Н.,Смит Г. Прикладной регрессионный анализ:В2-х книгах. Кн.1 ÑМ.: ÇФинансы и статистикаÈ, 1986, (Гл. 1, 2).

5.Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия.Вып. 2. ÑМ.: ÇСтати-

стикаÈ, 1977. (Гл. 10, 11, 14).

6.Магнус Я.Р.,Катышев П.К.,Пересецкий А.А. ЭконометрикаÑначальный курс. ÑМ.: ÇДелоÈ, 2000. (Гл. 3, 4, 8).

7.(*)Маленво Э. Статистические методы эконометрии.Вып. 1. ÑМ.: ÇСта-

тистикаÈ, 1975. (Гл. 3, 6).

8.Себер Дж. Линейный регрессионый анализ. ÑМ.:Мир, 1980.

9.Тинтер Г.Введение в эконометрию. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1965. (Гл. 5).

10.Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econometrics, N 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 2).

256	Глава7.Основная модель линейной регрессии

11.Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 6, 7).

12.Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5, 21).

13.(*) William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge. Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 8).

Глава8

Нарушение гипотез основной линейной модели

8.1.Обобщенный метод наименьших квадратов (взвешенная регрессия)

Пусть нарушена гипотеза g4 и матрица ковариации ошибок по наблюдениям равна не σ2IN , а σ2Ω,где Ω Ñвещественная симметричная положительно полуопределенная матрица(см.Приложен иеA.1.2),т.е.ошибки могут быть коррелированы по наблюдениям и иметь разную дисперсию.В этом случае обычные МНК-оценки параметров регрессии(7.26)остаются несмещенными и состоятельными,но перестают быть эффективными в классе линейных несмещенных оценок.

Ковариационная матрица оценок МНК в этом случае приобретает вид

Ma = σ2 0Z !Z 1−1 Z !ΩZ 0Z !Z 1−1 .

Действительно, a − E (a) = a − α = (Z "Z )−1 Z "ε,поэтому

EW(a − E(a)) (a − E(a))"X = (Z "Z )−1 Z "E (εε") Z (Z "Z )−1 =

=σ2 (Z "Z )−1 Z "ΩZ (Z "Z )−1 .

(Ср.с выводом формулы(7.28),где Ω = σ2I .)

258	Глава8.Нарушение гипотез основной линейной модели

Обычная оценка ковариационной матрицы s2e (Z !Z )−1 при этом является смещенной и несостоятельной.Как следствие,смещенными и несостоятельными оказываются оценки стандартных ошибок оценок параметров(7.35):чаще всего они преуменьшаются(т.к.ошибки по наблюдениям обычно коррелированы положительно),и заключения о качестве постр оенной регрессии оказываются неоправданно оптимистичными.

Поэтим причинам желательноприменятьобобщенный МНК(ОМНК) ,заключающийся в минимизации обобщенной остаточной дисперсии

N1 e!Ω−1e.

В обобщенной остаточной дисперсии остатки взвешиваются в соответствии со структурой ковариационной матрицы ошибок.Минимизация приводит к полу-

чению следующего оператора ОМНК-оценивания(ср.с(7.13),где	Ω = IN ):
a = (Z !Ω−1Z )−1Z !Ω−1X.	(8.1)

Для обоснования ОМНК проводится преобразование в пространстве наблюдений(см.параграф6.4)с помощью невырожденной матрицы D размерности N × N ,такой,что D−1D!−1 = Ω (такое представление допускает любая вещественная симметричная положительно определенная матрица,см.Приложение

A.1.2):

DX = DZα + Dε.

(8.2)

ТакоепреобразованиевозвращаетмодельвÇштатнуюÈситуацию,посколькуновые остатки удовлетворяют гипотезе g4:

E(Dεε!D!) = Dσ2ΩD! = σ2DD−1D!−1D! = σ2IN .

Остаточная дисперсия теперь записывается как N1 e!D!De,а оператор оцени-

ванияÑкак a = (Z !D!DZ )−1Z !D!DX .

Что и требовалось доказать,поскольку D!D = Ω−1.

Обычно нидисперсии,нитем более ковариацииошибок по наблюдениямне известны.В классической эконометрии рассматриваются два частных случая.

8.2.Гетероскедастичность ошибок

Пусть ошибкине коррелированы по наблюдениям,и матрица Ω (а вслед за ней и матрица D)диагональна.Если эта матрица е динична,т.е.дисперсии ошибок

8.2.Гетероскедастичность ошибок

259

одинаковы по наблюдениям(гипотеза g4 не нарушена),то имеет место гомоскедастичность или однородность ошибок по дисперсииÑ ÇштатнаяÈситуация. В противном случае констатируют гетероскедастичность ошибок или их неоднородность по дисперсии.

Пусть var(εi ) = σi2 Ñдисперсия ошибки i-го наблюдения.Гомоскедастичность означает,что все числа σi2 одинаковы,а гетероскедастичностьÑчто среди них есть несовпадающие.

Фактнеоднородностиостатковподисперсиималосказываетсянакачествеоценок регрессии,если эти дисперсии не коррелированы с независимыми факторами. ЭтоÑслучай гетероскедастичностиÇб ез негативных последствийÈ.

Данное утверждение можно проиллюстрировать в случае,когда в матрице Z всего один столбец,т.е. n = 1 и свободный член отсутствует.Тогда формула(7.33) приобретает вид:

	1				σ2z2
					i	i
2			2		i
E(se ) =			σi	−	%	2	.
E(se ) =	N		σi		z	2	.
		!i			i	i
					%

Еслиситуацияштатнаяи σ2 = σ2

,топраваячастьэтойформулыпреобразуетсякви-

N − 1

ду

σ2 , и

оказывается несмещенной оценкой σ2,как и было пока-

N − 1

зано в параграфе7.2.Если

не коррелированы,то,обозначив

= N %i

можно утверждать,что

σi и zi

% U

zi2 = σ ,

σi ,

zi2 ≈

σ2

σ2z2

i i

т.е.ситуация остается прежней.И только если

σi

и zi положительно(или отрица-

тельно)коррелированы,факт гетероскедастичности имеет негативные последствия.

									σ2z2
Действительно,в случае положительной корреляции									i i	> σ2 и,следова-
Действительно,в случае положительной корреляции									% zi2	> σ2 и,следова-
			N						% zi2
тельно,			N					оценка остаточной диспер-
тельно,	E	#N − 1 se $			< σ		.ОбычнаяÇнесмещеннаяÈ	оценка остаточной диспер-
				2		2

сии оказывается по математическому ожиданию меньше действительного значения остаточной дисперсии,т.е.она(оценка остаточной дисперсии)дает основания длянеоправданнооптимистичныхзаключенийокачествеполученнойоценкимодели.

Следует заметить,что факт зависимости дисперсий ошибок от независимых

фактороввэкономикевесьмараспространен.Вэкономикеодинаковымиподиспер-

сиискорееявляются относительные (ε z ),ане абсолютные (ε) ошибки.Поэтому, когда оценивается модель на основе данных по предприятиям,которые могут иметь

260	Глава8.Нарушение гипотез основной линейной модели

и,как правило,имеют различные масшта бы,гетероскедастичности с негативными последствиями просто не может не быть.

Если имеет место гетероскедастичность,то,как правило,дисперсия ошибки связана с одной или несколькими переменными,в первую очередьÑс факторами регрессии.Пусть,например,дисперсия может зависеть от некоторой переменной yi ,которая не является константой:

σi2 = σ2(yi), i = 1, . . . , N.

Как правило,в качестве переменной yi берется один из независимых факторов или математическое ожидание изучаемой переменной,т.е. x0 = Z α (в качестве его оценки используют расчетные значения изучаемой переменной Z a).

В этой ситуации желательно решить две задачи:во-первых,определить,имеет лиместопредполагаемаязависимость,а во-вторых,еслизависимостьобнаружена, получить оценки с ее учетом.При этом могут использоваться три группы методов. Методы первой группы позволяют работать с гетероскедастичностью,которая задается произвольной непрерывной функцией σ2(á).Для методов второй группы функция σ2(á) должна быть монотонной.В методах третьей группы функция σ2(á) предполагается известной с точностью до конечного числа параметров.

Примером метода из первой группы является критерий Бартлетта,который заключается в следующем.

Пусть модель оценена и найдены остатки ei , i = 1, . . . , N .Для расчета bc Ñ статистики,лежащей в основе применения этого критерия,все множество наблюдений делится по какому-либо принципу на k непересекающихся подмножеств. В частности,если требуется выявить,имеется ли зависимость от некоторой переменной yi ,то все наблюдения упорядочиваются по возрастанию yi ,а затем в соответствии с этим порядком делятся на подмножества.Пусть

Nl Ñколичество элементов в l-м подмножестве, %k Nl = N ;

l=1

s2l Ñоценка дисперсии остатков в l-м подмножестве,найденная на основе остатков ei ;

	1	k	2
			Nl sl
bs =	N	l=1	Nl sl
		l=1	1/N Ñотношение средней арифметической дисперсий к сред-
		%	1/N Ñотношение средней арифметической дисперсий к сред-
	k

, .

3 s2l Nl l=1

ней геометрической;это отношение в соответствии со свойством мажорантности средних(см.п. 2.2)больше или равно ед инице,и чем сильнее различаются дисперсии по подмножествам,тем оно выше.

8.2.Гетероскедастичность ошибок

261

ei2

s2
2
s12	s2
	4	s2
s2		s2
s2		5
3		yi
3

Рис. 8.1

Тогда статистика Бартлетта равна


bc =		N				ln bs .
bc =	%3(k			1)		ln bs .
1 +	%3(k			1)
	k	1		1
	l=1		Nl	−	N

−

При однородности наблюдений по дисперсии(нулевая гипотеза)эта статистика распределена как χ2k−1.Проверка нулевой гипотезы проводится по обычному алгоритму.

Если нулевую гипотезу отвергнуть не удалось,т.е.ситуация гомоскедастична, то исходная оценка модели удовлетворительна.Если же нулевая гипотеза отвергнута,то ситуация гетероскедастична.

Принцип построения статистики Бартлетта иллюстрирует рисунок8.1.

Классическийметодвторой группызаключаетсявследующем.Всенаблюдения упорядочиваются по возрастанию некоторой переменной yi .Затем оцениваются две вспомогательные регрессии:по K ÇмалымÈипо K ÇбольшимÈнаблюдениям (с целью повышения мощности критерия средние N − 2K наблюдения в расчете не участвуют,а K можно,например,выбрать рав ным приблизительно трети N ). Пусть s21 Ñостаточная дисперсия в первой из этих регрессий,а s22 Ñво второй. Вслучаегомоскедастичностиошибок(нулеваягипотеза)отношениедвухдисперсий распределено как

s22 FK −n−1, K −n−1.

Здесь следует применять обычный F -критерий.Нулевая гипотеза о гомоскедастичности принимается,если рассчитанная статистика превышает 95%-ный квантиль F -распределения.

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 7426 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке diplom25

#
24.03.20151.55 Mб2812233.docx
#
24.03.2015160.08 Кб19NonParametrics1.pdf
#
24.03.20155.55 Mб31suslov_ibragimov_ekonometrika.pdf
#
24.03.2015412.09 Кб87Vsya_Diplomka.docx