diplom25 / suslov_ibragimov_ekonometrika

Действительно: k = 2, n = 1, r1 = 0, r2 = 1 и r1 < k − 1, r2 = k − 1.Более убедительно этот результат можно получить,используя необходимые и достаточные

условия идентификации(10.13).

Матрица H в этих условиях имеет следующий вид:

Матрица R1 Ñпустая( rl = 0),иусловия(10.13)дляпервогоуравнения не выпол-

ная из коэффициентов во всех прочих уравнениях,кроме второго,при переменных, которые исключены из второго уравнения,есть [−a11],т.е.она не вырождена.

Теперь рассматривается другая возможность:изучаемый товар входит в потребительскую корзину,и спрос на него зависит от доходов домашних хозяйств.В модель вводится переменная z2 доходов домашних хозяйств,т.е.в правую часть соотношений(10.15)добавляется слагаемое

Если истинна модель(10.15, 10.17),то подвижной окажется линия спроса(разные домашние хозяйства имеют разные доходы),и регрессия x на p даст оценку эластичности предложения по цене(рис. 10.3).В такой ситуации не идентифицировано уравнение спроса.Уравнение предложения идентифицировано: k = 2, n = 1, r1 = 1, r2 = 0 и r1 = k − 1, r2 < k − 1.

Понятно,что можно говорить о модели,в которую входят обе отмеченные пере-

менные:и z1 и z2.ЭтоÑмодель(10.15, 10.16, 10.17).В правую часть(10.15)

Вэтомслучаеидентифицированыобауравнения: k = 2, n = 1 , r1 = r2 = 1 = k−1. Но поскольку подвижны обе линииÑи спроса,и предложенияÑоблако наблюде-

ний не имеет вытянутостей(рис. 10.4),и регрессия x на p опять оказывается не значимой.Для оценки параметров регрессии требуется использовать специальные методы,рассматриваемые ниже.Впрочем,и в двух предыдущих случаях необходимо использование специальных методов оценки параметров взаимозависимых систем, т.к.обычный МНК дает смещенные и несостоятельные оценки.

Пусть теперь на предложение товара влияет еще один фактор z3,показывающий, например,количествоудобренийнаединицуплощади,скоторойсобираетсяпродукт, принимающий в дальнейшем форму товара.Тогда в правой части уравнения(10.15) возникает слагаемое

и первое уравнение по-прежнему остается не идентифицированным,а второе оказывается сверхидентифицированным.

Далее ряд утверждений будет иллюстрироваться на примере модели(10.15, 10.16).

Виллюстрациях эту модель удобнее записывать в сокращенном виде:

приведенная форма модели имеет следующий вид:

[ xö pö] = zö1 [ d11 d12 ] + [ η1 η2 ] =

10.3.Оценка параметров отдельного уравнения

Вводятся дополнительные обозначения:

βll = 1;

Z l Ñ N ×(nl +1)-матрицанаблюденийзанезависимымифакторами zl ,входящими в l-е уравнение,включая единичный столбец,соответствующий свободному члену;

αl Ñ (nl + 1)-вектор-столбец параметров при этих факторах вместе со свободным членом;

εl Ñ N -вектор-столбец остатков в l-м уравнении по наблюдениям. Тогда l-е уравнение регрессии можно записать следующим образом:

Применение обычного МНК к этому уравнению дает в общем случае смещенные и несостоятельные оценки,прежде всего потому,что остатки εl скорее всего коррелированы с регрессорами X−l ,которые к тому же недетерминированы и наблюдаются с ошибками(гипотеза g2 нарушена).

%

сия(в математическом ожидании)остатка в уравнении по спросу,которая не равна нулю и к тому же не будет уменьшаться с ростом N .Эта оценка смещена и несостоятельна.

Еслиданное уравнение точно идентифицировано,то для оценки его параметров можно использовать косвенный метод (КМ)наименьших квадратов:с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы системы уравнений,через которые однозначно выражаются структурные параметры данного уравнения.

В качестве примера можно использовать оценку параметров второго уравнения модели(10.15, 10.16),которое точно идентифицировано.Действительно,параметры приведенной формы модели однозначно определяют оценку −β22,как это следует из(10.19):

честве инструментальной переменной.

Можно записать уравнения для оценки косвенным методом в общем случае.

Сначала следует обратить внимание на то,что условия(10.11)эквивалентны требованиям

где TlB Ñ k × kl -матрица,полученная из Ik вычеркиванием столбцов,соответствующих тем изучаемым переменным,которые исключены из l-го уравнения;

TlA Ðаналогичная (n + 1) × (nl + 1)-матрица для Al .

Bl и Al имеют нулевые компоненты,соответствующие исключенным из l-го уравнения переменным.

Далее необходимо учесть,что параметры структурной формы,удовлетворяющие условиям(10.24),должны для своей идентификации еще удовлетворять соотношениям(10.10).Тем самым получается система уравнений для нахождения параметров структурной формы:

DTlB bl − TlAal = 0,

или по определению матрицы TlB :

Dl bl − TlAal = 0,

где Dl Ðоценки параметров приведенной формы уравнений для изучаемых переменных,вошедших в l-е уравнение,или,наконец,

где Dl Ñоценки параметров l-го уравнения в приведенной форме,

D−l Ñоценки параметров приведенной формы уравнений для изучаемых переменных,вошедших в правую часть l-го уравнения.

Эти матрицы коэффициентов приведенной формы представляются следующим образом:

Dl = (Z !Z )−1Z !X l , Dl = (Z !Z )−1Z !Xl , D−l = (Z !Z )−1Z !X−l .

Система уравнений(10.25)может быт ь также получена умножением обеих частей системы(10.21)слева на (Z !Z )−1Z !,т.к.третье слагаемое правой части отбрасывается(МНК-остатки должны быт ь ортогональны регрессорам),а во2-м

(n + 1) × (nl + 1).

В случае точной идентификации и строгого выполнения условий(10.14)эта матрица квадратна и не вырождена.Система(10.25)дает единственное решениеÑоценку параметров структурной формы l-го уравнения косвенным методом наименьших квадратов.

В структурной форме со скрытым свободным членом модель(10.15+10.16)записывается следующим образом:

аее второе,точно идентифицированное уравнение в форме(10.21) Ñ

Непосредственно в форме(10.25)при учете условий нормализации эта система записалась бы в виде:

D2b22 = −D1 + T2Ac2.

Из решения этой системы −bK22M получается таким же,как в(10.23),кроме того, получается оценка свободного члена:

cKM = d21 − d22 d11 . 2 d12

Попытка применить оператор2М-оценивания для не идентифицированного уравнения не имеет смысла,т.к.обращаемая матрица в данном операторе вырождена.

В этом легко убедиться,т.к.

W X W X

F X−l Z l = Z D−l TlA ,

т.е.матрица наблюдений за регрессора ми в(10.25)получается умножением на Z слева матрицы системы(10.21).В последней,если уравнение не идентифицировано, Ñстолбцов больше,чем строк.Следовательно,регрессоры в(10.25)линейно связаны между собой,а матрица системы нормальных уравнений(матрица оператора оценивания)вырождена.

Для сверхидентифицированного уравнения можно использовать также метод наименьшего дисперсионного отношения (МНДО).Строгое обоснование его применимости вытекает из метода максимального правдоподобия.

Пусть bl в уравнении(10.20)оценено,и X l bl рассматривается как единая

Теперь находится остаточная сумма квадратов при условии,что все экзогенные переменные входят в l-е уравнение.Она равна bl!W bl ,где W = X l!(IN − F )X l . Тогда bl должны были бы быть оценены так,чтобы

Иначе было бы трудно понять,почему в этом уравнении присутствуют не все экзогенные переменные.

Решение этой задачи приводит к следующим условиям: