Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diplom25 / suslov_ibragimov_ekonometrika

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

5.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 7422 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

C "−1 −1

212	Глава6.Алгебра линейной регрессии
Действительно,пусть для определенности			j = 1 и	C =		1	0	(первая

строка является ортом), C −1 =				.	c−1		C−1
строка является ортом), C −1 =	1		0	.

−C−−11c−1 C−−11
Уравнение(6.33)записывается следующим образом:
< Xö1 + Xö−1c−1 Xö−1C−1	=		1	1	1		= e1
ö			−C−−1 c−1 − C−−1 a−1
←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→Y
		←−−−−−−−−−−−−−−−−−→

или,после переноса переменных в правую часть:

6Xö1 + Xö−1c−17 = Xö−1C−1

C−−11c−1 + C−−11a−1

+e1.

←−−−−→Y

←−−−−−−−−−−−−−→W X

←−−−−−−−−−−→

−

Система нормальных уравнений для оценки f−1

имеет следующий вид:

C " 1Xö

" 1

Xö1 + Xö

−

C "

1Xö

" 1

Xö

1C 1

C −1c

1 + C −1a

−

−ö

−

−ö

−

−ö

−

−1

− f

−1

←−−−−→Y !

←−−−−→Y 1

←−−−−−−−−−−−−−→W 1 X

−

←−−−−−−−−−−→

−

или,раскрыв скобки:

C−" 1m−1 + C−" 1M−1c−1 = C−" 1M−1c−1 + C−" 1M−1a−1.

После взаимного сокращения одинаковых слагаемых в полученном матричном урав- нении(2-го в левой части и1-го в правой)и умножения обеих частей слева на получается система нормальных уравнений для оценки a−1: m−1 = M−1a−1.

Это означает,что f−1 послеÇвозвращенияÈв исходное пространство совпадает с a−1,т.е.проведенное преобразование в пространстве переменных новых оценок регрессии не дает.

Верноиобратное утверждение:если j -я строкаматрицы C не являетсяортом, то a и f совпадают с точностью до обратного преобразования только тогда,когда связь функциональна и e = 0.

6.4.Многообразие оценок регрессии

213

Пусть теперь C =

In−1

(т.е.первая строка не является ортом),

c−" 1

−c−" 1

бретает следующую форму:

C −1 =

.Тогда уравнение(6.33)прио

In−1

1 + c−" 1a−1 = e1,

Xö−1

(6.34)

Xö1

+ Xö1c−"

←−−−−−−−−→Y−1

−a−1

←−−−−−−−−−−→

или

Xö1 01 + c−" 1a−11 = Yö−1a−1 + e1,

a−1

= Y−1

01 + c−" 1a−11 + 01 + c−" 1a−11e1.

Таким образом,условием совпадения

a и f

с точностью до обратного преобразо-

вания является следующее:

f−1 =

a−1

(6.35)

01 + c−" 1a−1

Система нормальных уравнений для оценки f−1 имеет вид:

Yö "

Xö

Yö " Yö

−1

−1 −1

или,учтя зависимость

Y от X из(6.34)и раскрыв скобки:

m−1 + c−1m11 = 0M−1 + m−1c−" 1 + c−1m−" 1 + m11c−1c−" 11f−1.

Это равенство с учетом(6. 35)и(6.11)принимает вид:

(m−1 + c−1m11)

1 + c−" 1M−−11m−1

+ c

1m"

1 + m11c

1c"

M −11m

= M

−

1 + m1

1c" 1

−

Раскрыв скобки и приведя подобные,можно получить следующее выражение:

c−1m11 = c−1m"−1M−−11m−1,

214	Глава6.Алгебра линейной регрессии
	которое выполняется как равенство,только если
	m11 = m−" 1M−−11m−1,
	т.е.если(в соответствии с(6.18))
	m11 = sq21.
	Таким образом, a и f совпадают с точностью до обратного преобразования только

тогда,когдаполнаядисперсияравнаобъясненной,т.е.связьфункциональнаи e = 0. Что и требовалось доказать.

Итак,преобразования в пространстве переменных в простых регрессиях лишь в особых случаях приводят к получению новых оценок,обычно меняются только шкалы измерения.Некоторые из этих шкал находят применение в прикладном анализе.Такой пример дает стандартизированная шкала,которая возникает,если C = S−1,где S Ñдиагональная матрица среднеквадратических отклонений переменных.

Оценки параметров регрессии после преобразования оказываются измеренными в единицах среднеквадратических отклонений переменных от своих средних, и они становятся сопоставимыми между собой и с параметрами других регрессий.

В этом случае система нормальных уравнений формируется коэффициентами корреляции,а не ковариации,и f−j = R−−j1r−j ,где R−j Ñматрица коэффициентов корреляции объясняющих переменных между собой, r−j Ñвектор столбец коэффициентов корреляции объясняющих переменных с объясняемой переменной.

Действительно(предполагается,что j = матрице C имеют следующую форму:

6	Xö1	1	Xö	1S −1	7

	ö s1			−ö −1
	←−−→Y		←−−−−−→Y
	1			−1

1),соотношения(6.33)при указанной

−S−1a−1	= e1.	(6.36)
s1	= e1.	(6.36)

Для того чтобы вектор параметров приобрел необходимую для простой регрессии форму,его надо разделить на s1.Тогда и e делится на s1 (т.е.на s1 делятся обе части уравнения(6.36)).После переноса объясняющих переменных в правую часть получается следующее уравнение регрессии:

= Y−1f−1

где f−1 = S−1a−1

Система нормальных уравнений для f−1

имеет следующий вид:

Yö " Yö =

Yö " Yö

−1

−1 1

N −1 −1


6.4.Многообразие оценок регрессии									215
или,учитывая зависимость Y от X из(6.36),
S −1m		1	= S −1M			−1	S −1 f	−1	.
S −1m			= S −1M				S −1 f		.
−1	−1 s1			−1			−1
←−−−−−−r 1 →				←−−−−−−−→1
←−−−−−−r 1 →					−

−

Что и требовалось доказать.

Преобразование в пространстве переменных в ортогональной регрессии при использовании любой квадратной и невырожденной матрицы C =! In приводит

кполучению новых оценок параметров.

Впункте4.2при n = 2 этот факт графически иллюстрировался в случае,когда

C =	1	0	.
	0	k
	0	k

В общем случае верно утверждение,состоящее в том,что в результате преобразования иÇвозвращенияÈв исходное пространство для получения оценок a надо решить следующую задачу:

(M	−	λΩ) a = 0, a!Ωa = 1,	(6.37)
	−

где Ω = C !−1C −1.

Действительно:

После преобразования в пространстве переменных задача ортогональной регрессии записывается следующим образом(6.24, 6.25):

(MY − λIn ) f = 0, f "f = 1,

(6.38)

где,учитывая(6.33), MY = C "M C, f = C −1a.

Выражение(6.37)получается в результате элементарных преобразований(6.38).

Понятно,что решение задачи(6.37)будет давать новую оценку параметрам a при любой квадратной и невырожденной матрице C =! In .Такую регрессиюиногда называют регрессией в метрике Ω−1.

216	Глава6.Алгебра линейной регрессии

6.5.Упражнения и задачи

Упражнение1

Таблица6.1

X1	X−1
	X2	X3

0.58	1.00	1.00

1.10	2.00	4.00

1.20	3.00	9.00

1.30	4.00	16.00

1.95	5.00	25.00

2.55	6.00	36.00

2.60	7.00	49.00

2.90	8.00	64.00

3.45	9.00	81.00

3.50	10.00	100.00

3.60	11.00	121.00

4.10	12.00	144.00

4.35	13.00	169.00

4.40	14.00	196.00

4.50	15.00	225.00

По наблюдениям из таблицы6.1:

1.1.Вычислите

−1

Xö !

Xö

, m

−1

Xö !

−1

идлярегрессии X1 = X−1a−1 +1N

оценки a−1 и b1.

1.2.Рассчитайте вектор

X c

= X

−1 −1

тор e1

= X1 − X1c .Убедитесь,что

cov(X

, e) =

Xö !

= 0.

−1

b1 +e1 найдите

+ 1N b1 и век-

1!N e1 = 0 и

1.3.Вычислите объясне нную дисперсию различными способами:

s2	=	1	Xö	!c Xö c ;

q1		N		1 1

sq21 = a−! 1m−1;

s2q1 = m!−1M−−11m−1.

1.4.Вычислите остаточ ную дисперсию различными способами:

s2	=	1	e!	e1;

e1		N 1				1
s2	= s2			s2	=		Xö	! Xö		−	s2 .
						N
e1		1 −		q1				1	1		q1

1.5.Вычислитекоэффициен тдетерминацииразличными способами:


		s2
R12 =		q1			;
R12 =		s2			;
R12 =	,		1		s1sq1		1 .	.
				cov(x1		, xc )		2

1.6.Оцените параметры и коэффициент детерминации для ортогональной регрессии xα = β + ε.

6.5.Упражнения и задачи	217
Ðсравните эти оценки с оценками линии регрессии,полученными в1.1;
Ðрассчитайте расчетные значения переменных.
1.7.Оцените матрицу оценок и значений главных компонент(	AQ и Q),а также
расчетное значение переменных.

1.8.Пустьединицыизмерения x1 увеличилисьв 100 раз.Каквэтомслучаедолжна выглядеть матрица преобразования D?Как изменятся оценки уравнения прямой и ортогональной регрессий?

Задачи

1.Может ли матрица
	9.2			−3.8 −2			5.2			−3.8 −2
а)	−	3.8		2	0.6	б)	−	3.8		2	0.6
	−						−
			2	0.5	2				2	0.6	2
			2	0.5	2				2	0.6	2

	−						−

являться ковариационной матрицейпеременных,для которых строится уравнение регрессии?Ответ обосновать.

		1	1

2.Для	x = (x1, x2) =			найдите оценки ковариаций переменных x,
2.Для	x = (x1, x2) =	2	2	найдите оценки ковариаций переменных x,
		6	3

оценки параметров уравнения прямой (x1 = a12x2 + 1N b1 +1e1) и обратной
регрессии (x2 = a21x1 + 1N b2 + e2).Покажите,что	a12 !=		.Рассчитайте
		a21
вектор-столбец остатков по прямой и обратной регрессии.Убедитесь,что
сумма остатков равна нулю,вектора остатков и x2	ортогональны при пря-

мой регрессии,вектора остатков и x1 ортогональны при обратной регрессии.Найдите объясненную и остаточную д исперсии различными способами, а также коэффициент детерминации.

3.Предположим,что мы,используя модель регрессии x1 = x−1a−1 + 1N b1 +

+e1,из условия минимизации e! e1 получили следующую систему линейных

	b1 + 2a12 + a13 = 3,

уравнений: 2b1 + 5a12 + a13 = 9,

b1 + a12 + 6a13 = −8.

218	Глава6.Алгебра линейной регрессии

Запишитеусловиязадачивматрично-векторнойформе,решитеее,используя метод,указанный в приложении для обратных матриц,и найдите оценки параметров регрессии.

4.Оцените регрессию x1 = a12x2 + a13x3 + 1N b1 + e1 и рассчитайте:

Ðоценку остаточной дисперсии, Ðобъясненную дисперсию, Ðкоэффициент детерминации,

если

a)матрица наблюдений имеет вид:

X = (X , X , X ) =

1 2 3 −2

−4

1	3
2	1


3	5	,
3	5

4	2
4	2


5	4
5	4

б) X1! X1 = 96, X2! X2 =	55, X3! X3 = 129, X1! X2 = 72,
X1! X3 = 107, X2! X3 = 81,	X1! 1N = 20, X2! 1N = 15, X3! 1N = 25,
N = 5 .

5.Дисперсии двух переменных совпад ают,корреляция отсутствует.Изобразить на графикеÑв пространстве переменныхÑлинии прямой,обратной и ортогональной регрессий.Ответ обосновать.

6.Дисперсиивыпускапродукциииколич ествазанятыхпопредприятиямравны, соответственно, 10 и 20 ,их ковариация равна 12 .Чему равен коэффициент детерминации в регрессии выпуска по занятым,коэффициент зависимости выпуска от занятых по прямой,о братной и ортогональной регрессии?

7.Дисперсии временных рядов индекса денежной массы и сводного индекса цен равны,соответственно, 150 и 200,их ковариация равна 100.Чему равен параметр влияния денежной массы на цены по модели прямой регрессии и доля объясненной дисперсии в дисперсии индекса цен?

8.Позаданнойматрицековариациидвухпеременных			5	"	2	"	найтиоста-
				3		3
		14		3	5	3

точную дисперсию уравнения регрессии первой	переменной по второй.
			"			"

6.5.Упражнения и задачи				219
9.В регрессии x1 = a12x2 + 1N b1 + e1,где	x1! = (5, 3, 7, 1) коэффициент
детерминации оказался равным 50%.Найдите сумму квадратов остатков.
10.Оцените модель x1 = a12x2 + 1N b1 + e1,используя следующие данные:
3	3
1	1


(x1, x2) =		.
8	5


3	2



5	5


i%		ei = 0,	%	x2i ei = 0.
Вычислите остатки (ei ) и покажите,что	5	ei = 0,	5	x2i ei = 0.
	=1		i=1

11.Две парные регрессии построены на одних и тех же данных: x1 = a12x2 +

+ 1N b1 + e1 и x2 = a21x1 + 1N b2 + e2. R12 Ñкоэффициент детерминации в первойрегрессии, R22 Ñвовторой.Запишитесоотношениемежду R12 и R22.

Ответ обосновать.

12.Возможна ли ситуация,когда угловые коэффициенты в уравнениях прямой и обратной регрессии построены на одних и тех же данных,соответственно равны 0.5 и 3.0.Почему?

13.Что геометрически означает R2 = 0 и R2 = 1?

14.Регрессия x1 = α12x2 + β1 + ε1 оценивается по двум наблюдениям.Чему равен коэффициент детерминации?

		1	1

15.Для	x = (x1, x2) =			оцените параметры ортогональной регрессии
15.Для	x = (x1, x2) =	2	2	оцените параметры ортогональной регрессии

икоэффициент детерминации.Покажите,что линия ортогональной регрессии находится между линиями прямой и обратной регрессии.

16.Какая из двух оценок коэффициента зависимости выпуска продукции от количества занятых в производстве больше:по прямой или по ортогональной регрессии?Ответ обосновать.

17.Какая из двух оценок коэффициента зависимости спроса от цены больше: по прямой или по ортогональной регрессии?Ответ обосновать.

220	Глава6.Алгебра линейной регрессии

18.Какой вид имеет уравнение ортог ональной регрессии для переменных x1 и x2 с одинаковыми значениями дисперсий и средних,а также имеющих положительную корреляцию равную ρ?

19.Покажите,что решение задачи

m11

m12

−

= 0,

→

min!

m12

m22

a12

−

эквивалентно решению задачи прямой регрессии x1 = a12x2 + 1N b1 + e1.

20.Пусть x1 и x2 Ñцентрированные переменные.Уравнение ортогональной регрессии,поcтроенные по множеству наблюдений над величинами x1 и x2, есть x1 − x2 = 0.Запишите вектор первой главной компоненты.

21.Оценка парной регрессии ведется в с тандартизированной шкале.Как связан коэффициент детерминации и коэффициент регрессии(угловой)?

22.Была оценена регрессия x1 = α12x2 + β1 + ε1,где x1 измеряется в рублях, а x2 Ñв килограммах.Затем ту же регре ссию оценили,изменив единицы измерения на тысячи рублей и тонны.Как при этом поменялись следующие величины:а)оценка коэффициента α12;б)коэффициент детерминации?Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D?

23.Пусть в ортогональной регрессии, построенной для переменных x1 и x2, из-за деноминации рубля единица измерения x2 изменилась в1000раз.Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D?Изменятся ли оценки?Ответ обосновать.

24.Пусть в наблюдениях задачи2единица измерения		x1	увеличилась в 10 раз.
Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D?Как изме-
нятся оценки уравнения прямой и обратной регрессии?
	0	4
25.В регрессии в метрике Ω1 матрица Ω равна	9	0	.Как преобразовать

исходные переменные, чтобы свести эту регрессию к ортогональной?

Рекомендуемая литература

1. Айвазян С.А. Основы эконометрики.Т.2. ÑМ.: ÇЮнитиÈ, 2001. (Гл. 2).

6.5.Упражнения и задачи

221

2.Болч Б.,Хуань К.Дж. Многомерные статистические методы для экономи-

ки. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1979. (Гл. 7).

3.Джонстон Дж. Эконометрические методы. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1980. (Гл. 2, 11).

4.Дрейпер Н.,Смит Г. Прикладной регрессионный анализ:В2-х кн.Кн.1. Ñ М.: ÇФинансы и статистикаÈ, 1986. (Гл. 1, 2).

5.Езекиэл М.,Фокс К. Методы анализа корреляцийи регрессий. ÑМ.: ÇСта-

тистикаÈ, 1966. (Гл. 5, 7).

6.Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия.Вып. 2. ÑМ.: ÇСтати-

стикаÈ, 1977. (Гл. 10, 11).

7.Лизер С. Эконометрические методы и задачи. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1971. (Гл. 2).

8.(*)Маленво Э. Статистические методы эконометрии.Вып. 1. ÑМ.: ÇСта-

тистикаÈ, 1975. (Гл. 1).

9.Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5).

10.William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 3).

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 7422 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке diplom25

#
24.03.20151.55 Mб2712233.docx
#
24.03.2015160.08 Кб18NonParametrics1.pdf
#
24.03.20155.55 Mб29suslov_ibragimov_ekonometrika.pdf
#
24.03.2015412.09 Кб83Vsya_Diplomka.docx