УМК ТеорМех для Мех2012

Неинерциальность значительно заметнее проявляется в системах отсчета, связанных с ускоренно движущимися техническими объектами – от ускоренно поднимающегося лифта до искусственного спутника или космического корабля, совершающего взлет с Земли. Если связать систему отсчета с кораблем, автомобилем или самолетом, движущимся по криволинейной траектории, то неинерциальность окажется такой значительной, что основное уравнение динамики окажется неверным, тогда окажутся неверными и все многочисленные выводы из него.

Чтобы распространить все уравнения динамики на неинерциальные системы отсчета, вводятся соответствующие силы инерции.

Дифференциальные уравнения относительного движения

Рассмотрим материальную точку М, на которую действует сила F . Составим дифференциальные уравнения движения этой точки по отношению к системе отсчета Axyz, которая произвольно перемещается относительно инерциальной системы отсчета Bx1 y1z1 .

Эти уравнения можно составлять так же, как уравнения абсолютного движения, если к действующим силам взаимодействия с другими материальными телами прибавить переносную

составлять уравнения движения точки в неинерциальной системе отсчета в той же форме,

которая имела точка М для инерциальной системы. Т.е. с помощью сил Je и Jc учитывается

влияние движения подвижной системы отсчета на относительное движение точки.

В неинерциальной системе координат силы инерции проявляют себя как обычные силы, с которыми мы имеем дело в инерциальной системе отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции вызывают относительное ускорение. Они могут деформировать тело и даже разрушать его, они совершают работу и т.п. Но следует отметить, что в отличие от обычных сил, например, силы тяготения, величина и направление которых зависят от характера взаимодействия тел и не зависят от выбора системы отсчета, силы инерции Je и

Jc определяются выбором неинерциальной системы координат.

Кроме того, мы не можем указать внутри Солнечной системы, с которой связана гелиоцентрическая система, тела в результате взаимодействия с которыми возникают силы инерции.

Способы определения сил инерции

а) Чтобы найти We , необходимо знать движение подвижной системы координат. Формула переносного ускорения:

We W0 ,

и - угловая скорость и угловое ускорение подвижной системы координат; W0 -

ускорение ее начала; - радиус-вектор точки в подвижной системе координат.

Во всех случаях вычисления We и Je необходимо рассматривать We как ускорение точки,

закрепленной в подвижной системе координат («заморозить» точку в подвижном триэдре). б) Wc 2 e r . Если подвижная система координат движется поступательно, то Jc 0.

Уравнения относительного покоя точки

Точка относительно системы отсчета А находится в покое, тогда r 0, Wr 0 Wc 0 и

получаем уравнение относительного покоя в виде:

F Je 0.

Т.е. уравнения относительного покоя составляются так же, как и уравнения для инерциальной системы отсчета, если к действующим силам прибавить переносную силу инерции.

Различие в условиях равновесия: в инерциальной системе отсчета F 0 означает, что точка может быть или в покое, или в состоянии равномерного, прямолинейного движения. В

неинерциальной системе отсчета F Je 0 определяет только условие относительного покоя

точки. Если же точка совершает равномерное и прямолинейное относительное движение, то действующие на нее силы будут удовлетворять уравнению:

F Je Jc 0,

где Jc не равно нулю (если подвижная система координат движется не поступательно, а также

и не параллельны).

Теорема об изменении кинетической энергии при относительном движении

Все общие теоремы, полученные для инерциальной системы отсчета, имеют место и в относительном движении, если только к действующим на точку силам взаимодействия с

другими телами прибавить Je и Jc силы инерции.

d mv Fdt - в инерциальной системе отсчета,

d mv Fdt Jedt Jcdt - в неинерциальной системе отсчета

Теорема: при относительном движении дифференциал от кинетической энергии точки равен элементарной работе приложенных к точке сил взаимодействия с другими телами, сложенной с элементарной работой переносной силы инерции.

Лекция 30

Кажущийся вес тела. Отклонение падающих на Землю тел от вертикали. Теорема об изменении кинетической энергии при относительном движении. Относительное движение и равновесие

Относительный покой и относительной движение вблизи поверхности Земли

Земля – не инерциальная система, т.к. вращается вокруг своей оси и движется непрямолинейно вокруг Солнца. Последнее движение для промежутков t << года мало отличается от прямолинейного и равномерного. Тогда будем рассматривать только влияние суточного вращения Земли вокруг ее оси на относительный покой и движение тел, находящихся вблизи земной поверхности.

Скорость вращения Земли по отношению к звездам – 1 оборот за 23 ч.56 мин 4 сек., т.е.

Относительный покой вблизи земной поверхности. Кажущийся вес тела

Рассмотрим точку М массы m, подвешенную к пружинным весам и находящуюся в покое относительно Земли.

Тогда имеем:

равновесия дает:

P N 0 или N P ,

P - сила, которую пружинные весы регистрируют как силу тяжести тела.

Направление P дает направление кажущейся вертикали в

данной точке земной поверхности, а плоскость,

перпендикулярная P , будет горизонтальной плоскостью. Т.к. угловая скорость - мала, то P мало отличается от силы притяжения F .

На экваторе максимальная разница F-P=0.34% от величины F. Направление P также мало отличается от направления F . Разность углов и будет максимальной при , равном 45 градусам и 11 минутам.

В практических расчетах в уравнения равновесия вводится вес – сила P , а не сила притяжения, т.е., фактически учитывается сила Je . При решении задач статики никаких

дополнительных поправок для учета вращения Земли в уравнения равновесия вводить не надо. Можно все показать на расчетах. Рассмотрим проекции сил на x и y:

mgcos mwcos m 2Rcos

Рассмотрим изменение ускорения силы тяжести с широтой местности:

mg 2 Fy2 Fx Je 2 .

mg 2 mwsin 2 mwcos m 2Rcos 2 .

g w2 sin2 w 2R 2 cos2 wsin2 1 2 cos2

=wsin 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 w1 2 cos 2 .

Раскладывая в ряд по формуле бинома, будем иметь приближенное выражение для g:

Наименьшее значение g принимает на экваторе, где =0: g w1 .

На полюсе угол =90 градусов, тогда g w.

Задача о падении тяжелой точки в пустоте

Рассмотрим вопрос о влиянии вращения Земли на движение свободной материальной точки. Движение изучаем в местной системе координат. Ось z направлена по линии действия силы тяжести, ось x перпендикулярна z и лежит в плоскости меридиана. Переносная сила инерции входит в вес. Следовательно, для учета вращения Земли надо к силе P прибавить кориолисову силу инерции Jc mWc .

Так как Jc мала по сравнению с P , то относительная скорость падающей точки можно в первом приближении считать

направленной по P , т.е. по вертикали вниз. Направление угловой скорости показано на рисунке. Тогда кориолисово ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости

меридиана на запад, а сила Jc mWc - на восток (и в северном и в южном полушариях). Таким образом, в первом приближении влияние вращения Земли скажется в том, что свободно падающая точка будет отклоняться к востоку от вертикали. Если рассмотреть следующее приближение, то можно получить в

законе движения падающей точки составляющую движения по оси x. Это означает, что кроме отклонения к востоку, точка имеет еще отклонение к югу (для северного полушария).