УМК ТеорМех для Мех2012

В самом деле, U возрастает в направлении силы

5. Основное свойство: работа потенциальной силы на конечном перемещении

начальной точках пути. Она зависит только от положений начальной и конечной точек, и не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка. Это основное свойство потенциального силового поля. Таким образом, работа потенциальной силы зависит лишь от того, с какой поверхности уровня и на какую перемещается точка.

Если перемещение происходит по замкнутому контуру (или по одной и той же поверхности уровня), то работа потенциальной силы равна нулю.

Пример: (поле сил тяжести). 1)

2)

В потенциальном силовом поле можно ввести понятие о потенциальной энергии V

частицы как о запасе работы, которую могут совершить силы поля при перемещении частицы из занимаемого ею положения на какую-нибудь поверхность уровня, условно принимаемую за

U mgz V mgz

А) Работа силы тяжести на перемещении M0M будет:

AM0M vM vM0 mg z z0 mg z0 z mgh, где h z z0 - разность высот M0 иM .

Направление F противоположно

направлению

перемещения НаправлениеF совпадает с направлением перемещения

Б) работа силы упругости

lo - длина нерастянутой пружины.

Fx cx,Fупр { cx,0,0}

Лекция 22

Теорема об изменении кинетической энергии точки и системы. Интеграл энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Пусть материальная точка массы m под действием F движется по некоторой криволинейной траектории. Основной закон динамики:

mw F

Умножим скалярно обе части на дифференциал dr vdt радиус-вектора точки приложения

силы F :

mw dr F dr

Выражение в левой части называется кинетической энергией материальной точки и

обозначается через T , T mv2 . 2

Подобно количеству движения mv кинетическая энергия T mv2 является мерой

2

механического движения точки.

Выражение в правой части Fdr d'A называется элементарной работой силы, приложенной к материальной точке.

Равенство (1) выражает собой теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.

Разделим теперь обе части (1) на dt , получим:

Величина N dA Fv называется мощностью силы. Теорема (тоже в дифференциальной dt

форме) звучит по другому: производная по времени от кинетической энергии равна мощности силы, действующей на точку.

Пусть точка, перемещаясь под действием приложенной к ней силыF , имеет в положении

Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором конечном участке траектории равно работе силы, действующей на эту точку, на том же участке траектории.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Теорема для материальной точки (1) легко обобщается на случай механической системы материальных точек. Предположим, что уравнение (1) составлено для k -й точки механической системы.

где Fk(e)drk - элементарная работа равнодействующей всех внешних сил, приложенных к k -й

точке, а Fk(i)drk – элементарная работа равнодействующей внутренних сил, приложенных k -й

точке. Написав такие уравнения для каждой точки, и суммируя их, получим:

Тогда уравнение переписывается в виде: dT d A(e) d A(i)

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и всех внутренних сил действующих на систему.

Предположим, что интегралы могут быть вычислены, тогда можно написать:

T1 T0 A(e) A(i)

Это запись теоремы в интегральной форме: изменение кинетической энергии механической системы при ее конечном перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внутренних и внешних сил, действующих на систему, на этом перемещении.

С помощью теоремы легко решаются задачи, в которых:

1). действующие силы постоянны или зависят только от расстояния; 2). если даны F,S,v0 ,v1 .

Если есть сила, зависящая от скорости, то с помощью общих теорем задача не решается (нельзя вычислить mv и A). Надо использовать метод интегрирования дифференциальных уравнений движения.

Выберем ось х и начало координат О в положении, в котором точка М может находиться в покое. Если точка М выведена из состояния покоя, то на нее по оси х действует только

восстанавливающая сила F :

F c OM с x ,

где с – коэффициент жесткости пружины, определяемый как сила ее упругости при деформации пружины, равной единице.

Т.к.F в любом положении направлена к точке О, то ее проекция на ось х всегда имеет знак,

Это уравнение называется дифференциальным уравнением свободного колебания материальной точки.

Для того, чтобы проинтегрировать его, составим характеристическое уравнение:

эти значения в (3) и (4), получим:

C1 x0, x0 kC2, C2 x0 k

Подставим в уравнение (3) и получим уравнение движения точки М:

Это решение можно записать в другой форме. Вместо C1 и C2 введем новые постоянные aи , положив:

Это уравнение является уравнением гармонического колебательного движения точки.

Таким образом, свободные колебания материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы являются гармоническими колебаниями.

Амплитуда a и начальная фаза свободного колебания определяются по начальным условиям движения.

Уравнение, определяющее скорость точки, имеет вид:

найдем a и :

Циклическая (круговая) частота и период свободных колебаний определяются по

Круговая частота называется еще частотой свободных колебаний или собственной частотой. Как видно из формул (10), (11), собственная частота и период свободного колебания точки зависят лишь от массы этой точки и от коэффициента с, характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения.

Затухающие колебания материальной точки

Материальная точка, совершающая колебания в реальных условиях, испытывает сопротивление движению (трение, сопротивление воздуха и т.п.). Это означает, что кроме

восстанавливающей силы, на точку действует сила сопротивления, направленная всегда в сторону, противоположную направлению движения точки. Сопротивление воздуха при малых скоростях движения тел считают пропорциональным первой степени скорости, а при больших скоростях, его принимают пропорциональным квадрату скорости движущегося тела.

Рассмотрим колебания материальной точки М под действием восстанавливающей силы F

и силы сопротивления R , пропорциональной скорости точки. Направим ось х по траектории точки, совместим начало координат О с положением покоя точки. На точку действуют силы

F,R :

v , т.е.R v , а в проекции на ось х:

Rx x

Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки:

mw F

mx Fx Rx mx cx x

Это уравнение является дифференциальным уравнением движения материальной точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления, пропорциональной скорости движения точки. Для интегрирования уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

2 2n k2 0

А). Случай малого сопротивления (n k )

В этом случае корни характеристического уравнения мнимые (D 0 ). Обозначим

Движение, определяемое этим уравнением, имеет колебательный характер, так как функция sin(k1t )- периодическая. Множитель e nt показывает, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается. Такие колебания называются затухающими. Величины a и определяются из начальных условий.

Пусть в начальный момент t 0 точка занимала положение x0 и имела скорость x0 . Подставим начальные условия в уравнение (13) и уравнение скорости:

x ae nt sin(k1t ) t nae nt sin(k1t ) ak1e nt cos(k1t ) , т.е.

Хотя функция (13) – непериодическая, обычно условно вводится понятие периода. Период затухающего колебаний T* представляет собой промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положения покоя.

Величина k1 называется частотой затухающих колебаний.

Б). Случай большого сопротивления (n k ).

В этом случае корни характеристического уравнения вещественны, отрицательны и различны (D 0):

Это уравнение показывает, что рассматриваемое движение точки не является колебательным, т.к. shx– не является периодической функцией. В зависимости от начальных условий материальная точка может совершать одно из движений:

Все эти графики соответствуют начальному отклонению точки от положения покоя на x0 0.

В). Случай n k .

Корни характеристического уравнения вещественные, отрицательные и равные:

Движение точки также апериодическое.

Постоянные C1 и C2 определяются по начальным условиям.

Лекция 24

Вынужденные колебания в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением. Резонанс

Вынужденные колебания материальной точки

Вынужденные колебания совершает материальная точка, на которую наряду с

восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила, называемая

возмущающей силой.

Практически наиболее важным является случай, когда возмущающая сила Q изменяется по

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки.

Общее решение уравнения (16), как известно, представляется в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: x x x .

Это уравнение показывает, что точка М совершает сложное колебательное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний. Первое слагаемое определяет свободные колебания, а второе - вынужденные колебания точки.

Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей силы

материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний.

Постоянные C1,C2 или a, определяются из начальных условий.

изменения возмущающейся силы.

Если p k , говорят о вынужденных колебаниях малой частоты. Если p k - вынужденные колебания большой частоты.

Амплитуда вынужденных колебании не зависит от начальных условий. С увеличением частоты возмущающей силы p амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю.