УМК ТеорМех для Мех2012

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

const. Т.е., если момент действующей на материальную точку силы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

' m

(

) m v

Таким образом, GB GA BA Q

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг x с угловой скоростью . GX - сумма моментов количеств движения всех точек тела относительно оси x. Т.к. все скорости перпендикулярны Ox , то для любой точки M

кинетический момент		равен		r m	v	h m v	m v h ,	отсюда
следует: Gx	m v h	,	т.к. v	h , то Gx m h2 m h2 ,

Величина	m h2 Jx		называется			моментом	инерции	тела

относительно оси x. Тогда

Gx Jx .

Кинетическая энергия системы. Теорема Кёнига Кинетической энергией системы называется величина T :

														1		n
										T				1	m v2
										T					m v2
												2			1
Пусть C - центр масс механической системы, введем систему																																	, движущуюся
Пусть C - центр масс механической системы, введем систему																													Cx y z				, движущуюся
поступательно относительно инерциальной системы отсчета Oxyz . Тогда

											v vc
											v vc							v
Подставляя это значение в выражение для кинетической энергии, получим:
			1	n			2				1								2				n				1	n	2
			1				2				1								2								1
		T				)							m vc																		.
		T		m (vc v		)					2		m vc								m vc v							m v			.
2				1							2												1			2		1
Преобразуем правую часть:							1													1
										n
									m vc2													Mvc2 ,
							2		m vc2													Mvc2 ,
							2		1										2
	n											n
	n											n
																	dr							d					d
																	dr							d					d
						vc m																vc						vc				0,
	m vc v vc m v					vc m												dt				vc		dt	m r			vc		Mrc		0,
	1										1							dt						dt					dt
т.к.	rc 0.
Окончательно получим:								1										1
								1				2						1						2
					T						Mvc													2	.
					T			2			Mvc							2	m v						.
								2										2

Таким образом, доказана

Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии центра масс (где сосредоточена масса всей системы) и кинетической энергии системы при движении ее относительно подвижной системы отчета (перемещающейся вместе с центром масс поступательно).

Кинетическая энергия твердого тела Абсолютно твердое тело – тело, расстояние между любыми двумя точками которого

остается неизменным.

Найдем сначала кинетическую энергию абсолютно твердого тела, движущегося поступательно.

Тогда для любой точки тела

c , где

- скорость центра масс и

m v2

m vc2

Mvc2 .

Теперь вычислим кинетическую энергию абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг

оси Ox с угловой скоростью . Как известно, скорость любой точки вращающегося тела
можно вычислить по формуле:
v h , где h - расстояние точки m до оси вращения Ox .
Величина Jx	1	m h2 есть момент инерции тела относительно оси вращения.	Эта

2
формула верна и в случае, когда ось Ох является мгновенной осью вращения. При этом			Jx
будет моментом инерции тела относительно мгновенной оси вращения.

В общем случае движения кинетическая энергия твердого тела вычисляется по теореме

Кёнига. Т.к. по теореме Шаля, движение твердого тела относительно подвижных осей Cx y z

слагается из

мгновенных вращений вокруг

осей,

проходящих через точку С,

то

Jcx

, и теорема Кёнига даёт

m v

Mv2

2 c

где Jcx - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через его центр масс, а - мгновенная угловая скорость тела.

Лекция 19

Теорема об изменении количества движения материальной точки и системы. Теорема о движении центра масс.

Теорема об изменении количества движения точки

Запишем основной закон динамики для точки:

F ,

где

- равнодействующая всех сил, действующих на точку.

Т.к.

, а масса m const , то равенство можно переписать:

d(mv

)

(1)

Как известно, вектор mv q , равный по модулю произведению массы на скорость и имеющий направление скорости, называется количеством движения материальной точки.

Равенство (1) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на эту точку силе.

Если (1) умножить на dt , получим:

						d(mw	) Fdt	(2)
Величина					Fdt называется элементарным импульсом силы,			действующей на точку, за
элементарный промежуток времени dt .
Пусть точка в момент t0						находится в положении M0 и имеет
скорость	v		0 , а в момент t			находится в положении M и имеет
скорость		v		. Взяв от (2) определенные интегралы в пределах,
соответствующих перемещению точки из M0 в M , получим:

		mv	mv	0 Fdt	(3)
				t0
t
Интеграл		называется полным импульсом действующей на точку силы за конечный
Интеграл	Fdt
t0
промежуток времени t t0.
Равенство (3)		представляет собой теорему об изменении			количества движения в

интегральной форме: изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно полному импульсу действующей эту точку силы за тот же промежуток времени.

Если сила, действующая на точку, постоянна по величине и направлению или зависит только от времени, то правая часть (3) легко интегрируется. Если на точку не действует никакие силы или они тождественно равны нулю, то из (1) получим:

	d(mv		)
				0 mv		C const	(4)

	dt
или согласно (3):
	mv	mv			0		(5)

Равенство (4) или (5) называется законом сохранения количества движения точки. Из (4)

следует v const , т.е. точка движется равномерно и прямолинейно (закон инерции).

Теорема об изменении количества движения системы

Вектор Q mkvk называется количеством движения механической системы.

k 1

Просуммируем уравнения движения точек материальной системы:

mwk Fk(e) Fk(i) ,

Известно, что для системы сумма внутренних сил равна нулю:

Fk(i) 0

Преобразуем левые части:

dVk

)

( mkVk

Окончательно получим:

Fk(e)

(6)

Это равенство выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от вектора количества движения механической системы равна сумме всех действующих на систему внешних сил (или главному вектору всех внешних сил системы).

Эту теорему можно представить в интегральной форме. Проинтегрировав обе части равенства (6) от t0 до t, получим:

Q Q0 Fk(e)dt

Теорема в интегральной форме: изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно полному импульсу главного вектора всех действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В некоторых случаях эти теоремы могут дать первые интегралы движения.

А). Если внешние силы отсутствуют или равнодействующая внешних сил равна нулю, то

dQ 0 Q const Q0 dt

Или, т.к. Q Mvc , то vc const . В этом случае центр масс системы движется по инерции, и

количество движения Q постоянно.

Проектируя вектор Q на оси координат, получаем из закона сохранения количества движения три первых интеграла:

Qx c1,Qy	c2 ,Qz
Qx c1,Qy	c2 ,Qz	c3, или xc	c1	, yc	c2	,zc	c3

Б). Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь неподвижную ось, например, ось Ox равна нулю, Fkx(e) 0, то Qx const Qox или xc const .

Теорема о движении центра масс механической системы

Если число точек механической системы велико, то считать Q mkvk трудно. Найдем

k 1

другую формулу из определения радиус-вектора центра масс:

k 1

mk rk

Mrc

k 1

Продифференцируем по t обе части:

drk

drc

или Mv

k ,

k 1

где vC - скорость центра масс С системы.

Т.к. левая часть представляет собой количество движения системы Q , то

Q Mv

(7)

Т.е. количество движения механической системы равно произведению массы этой системы на вектор скорости ее центра масс. Подставим (7) в теорему об изменении количества движения механической системы:

dvC

(e)

(mvC ) Fk

или

MwC Fk

k 1

где wC ускорение центра масс системы.

Это уравнение представляет с собой теорему о движении центра масс механической системы: центр масс механической системы движется так, как двигалась бы математическая точка, масса которой равнялась бы массе всей системы и к которой был бы приложен главный вектор всех внешних сил.

Таким образом, внутренние силы механической системы не оказывают влияния на движение ее центра масс. С помощью этой теоремы решаются задачи динамики поступательного движения твердого тела.

Лекция 20

Теорема об изменении кинетического момента движения материальной точки и системы.

Теорема об изменении кинетического момента точки

Рассмотрим материальную точку массы m, движущуюся под действием силы F . Запишем основной закон динамики для точки:

Умножим слева векторно на

где

mom0

- момент силы

относительно неподвижного центра О. Преобразуем

левую часть равенства:

(

т.к.

dt dt

(

)

Тогда получим:

(

)

Вектор

моментом количества движения, или

O momO (mv

)

называется

кинетическим моментом материальной точки относительно неподвижного центра О.

По модулю этот вектор равен: KO r mv sin mvd

Уравнение (1) можно записать:

dKo momo F dt

Теорема об изменении кинетического момента в дифференциальной форме: производная по времени от момента количества движения точки относительно какого-либо центра равна моменту действующей силы относительно того же центра.

Если спроектируем на оси координат:

dKy

momx F ,

momy

F ,

momz

Т.е. производная по t от кинетического момента материальной точки относительно оси равна

моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим частные случаи а) Случай центральной силы.

Если линия действия F проходит через неподвижный центр О во все время движения, то

сила F называется центральной силой, а точка О – центром этой силы. В этом случае

momO F 0

dKo 0 Ko const , dt

т.е. в случае центральной силы кинетический момент материальной точки относительно центра силы остается постоянным по модулю и направлению. Это закон сохранения кинетического момента точки относительно данного центра.

б) случай, когда момент силы относительно некоторой оси равен нулю. Пусть momzF 0,

относительно какой-нибудь неподвижной оси все время равен нулю, то кинетический момент точки относительно этой оси остается постоянным. Это закон сохранения кинетического момента точки относительно данной оси.

Теорема об изменении кинетического момента (или теорема площадей)

Рассмотрим дифференциальные уравнения движения системы

m	d2	r	F e		i	(		)
				F			1,n
	dt2

и умножим обе части каждого из уравнении векторно слева на r ; суммируя, будем иметь:

(1)

т.к. внутренние силы попарно равны и противоположно направлены, то сумма моментов этих сил относительно любого центра равны нулю. Отсюда следует:

r F i 0

Приняв во внимание, что

т.к.

dt2

представим (1) в виде:

r F e

(2)

Обозначим через GO r

кинетический момент системы относительно центра О,

0e -

главный момент всех внешних сил,

действующих на систему. Тогда (2)

можно записать в виде:

(2’)

dG0 MO .

Равенство (2) или (2’) выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы: производная по времени от кинетического момента системы относительно какого-либо неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра.

Получим теорему в интегральной форме, если проинтегрируем (2’) от t1 до t2 :

	t2			(3)
G0 G02 G01		M	0edt	(3)
	t1

Где M0edt - импульс моментов внешних сил за время t2 t1 . Таким образом, приращение

кинетического момента системы относительно центра О за конечное время равно импульсу моментов внешних сил относительно этого центра за это время.

В некоторых случаях теорема дает первые интегралы. А). Предположим, что внешние силы не действуют, тогда

	F e 0	dG0	0
r				G0 const .

		dt

Плоскость, перпендикулярная к направлению G0 , будет иметь постоянное направление в

пространстве, она называется неизменяемой плоскостью Лапласа.

Проектируя, получим три первых интеграла:

Gox c,1 Goy c2 ,Goz c3

б). Если сумма моментов всех внешних сил относительно одной из осей, напримерx, равна нулю, то получаем один первый интеграл:

Gx const.

До сих пор мы рассматривали центр О как неподвижный. Посмотрим, что изменится, если за центр взять точку O , которая движется относительно основной системы отчета:

m v ,

r OO

OO m v

m v

Так как

(4)

Для простоты обозначим GO G , GO G .

Дифференцируя

(4)

и принимая

во

внимание, что

dOO

- скорость центра

относительно основной системы отчета, получим:

Q OO

Известно, что

e . Тогда можно записать:

e .

Выразим

и подставим в теорему:

F e , получим:

OO F e ,

или, принимая во внимание, что r

, окончательно будем иметь:

(5)

Это равенство выражает теорему об изменении кинетического момента системы по отношению к центруO , движущемся со скоростью v относительно основной системы отчета.

Лекция 21

Работа силы. Силовое поле. Потенциальное силовое поле

Спроектируем основной закон динамики на касательный вектор : mw F

Но w	dv	dv	dS	dv	v , тогда основной закон примет вид:
Но w	dt	dS	dt		v , тогда основной закон примет вид:
	dt	dS	dt	dS

			v

m dv v F =>mvdv F dS , dS

где dS - приращение дуговой константы (алгебраическая величина)

Но F есть проекция F на , т.е. F F Cos F,

Тогда, элементарная работа силы d A равна приращению модуля элементарного перемещения на проекцию силы на направление этого перемещения:

dA F dS Cos F,

(работу на перемещении dS совершает только касательная составляющая силы F , работа нормальной составляющей Fn , перпендикулярной к v , равна нулю).

Элементарную работу можно представить в виде значения скалярного произведения:

		,Fy,Fz
dA F dr, но F Fx		,Fy,Fz	,dr dx,dy,dz dA Fxdx Fydy Fzdz
	Работа силы на конечном перемещении M0M вычисляется:
		A		Fdr	F dS	Fxdx Fydy Fzdz
		M0M		M0M		M0M

В общем случае работа силы зависит от вида траектории и закона движения.

Мы будем рассматривать частный случай - позиционные силы, зависящие только от координат:

F F x,y,z .

Область пространства, в каждой точке которой на помещённую туда материальную частицу действует определённая сила, являющаяся однозначной, ограниченной дифференцируемой функцией координат этой точки, называется силовым полем.

Потенциальное силовое поле

Рассмотрим такой вид силового поля, для которого элементарная работа является полным дифференциалом некоторой функции U от координат, т.е.:

d A F dr Fxdx Fydy Fzdz dU x, y,z

Функция U x, y,z , дифференциал

которой равен

элементарной

работе, называется

потенциальной или силовой функцией.

Так как полный дифференциал это: dU

dz , то

(1)

т.е. в потенциальном силовом поле проекции силы равно частным производным от силовой функции, тогда вектор F является градиентом скалярной функции v:

grad(U)

k F i F

j F k U

F grad(U)

Найдём условия, которым должны удовлетворять силы поля, чтобы оно было потенциальным. Для этого возьмём от (1) частные производные по соответствующим координатам. Учтя, что:

2U 2U и так далее,

x y y x

получим необходимые и достаточные условия потенциальности силового поля:

Fy		F	0
		x
x		y
x		y
F	Fy
F	Fy		0
z
y		z
y		z
F		F	0
x		z
z		x
z		x

, так как

x y

y x

Пример: Поле силы тяжести

P Px,Py,Pz 0,0, mg

Проверим условия потенциальности:

0 0

mg 0 0 0

поле сил тяжести потенциально.

0 0 0 0

Условия потенциальности можно записать в другом виде.

Известно, что:



	i		j

rot(F)
	x		y

	Fx	Fy

		Fz	Fy
rotF		Fz	Fy		0
rotF		y		z	0
	x	y		z

		Fx		Fz
, rotF	y	Fx		Fz	0 условие потенциальности можно записать:
, rotF	y			x	0 условие потенциальности можно записать:
		z		x
		F		Fx
rotF	z	y		Fx	0	rotF 0
rotF	z	x		y	0
		x		y

Свойства потенциального силового поля

Если существует силовая функция, то она определяется с точностью до константы:

U dU Fxdx Fydy Fzdz const

Поверхность U x, y,z C , на которой потенциальная функция имеет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью уровня.

1.Так как F grad(U) , то вектор силы F всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности:

U(x, y,z) C

2.Давая константе C различные значения, будем получать разные эквипотенциальные поверхности. Так как функция U однозначна, то эти поверхности не пересекаются поле является слоистым (ламеллярным).

3.На каждом слое функция U const .

Пример: (поле сил тяжести). Так как поле потенциально U, т.е.

dU F dx F dy F dz mgdz

x y z

0 0

U dU mg dz mgz const

Меняя C , получим слоистое поле силы тяжести (слои горизонтальны: параллельны плоскости

хОу).

1.Сила mg ортогональна эквипотенциальным полям;

2.Константа C изменяема;

3.На каждом слое U const.

4. Известно, что F dr dU . Если в качестве dr взять перемещение по касательной:						dr d ,
то скалярное произведение
		dU 0 U const (повтор третьего свойства)
F dr	F d	dU 0 U const (повтор третьего свойства)
Если dr dn		, то F dr F dn	F	dn	cos00 0=>dU>0=>
Если dr dn		, то F dr F dn	F	dn	cos00 0=>dU>0=>


			0	0
т.е. силовая функция U возрастает в направлении силы.

Пример: (поле сил тяжести).

U mgz (для простоты берём C 0)

z 0 U 0

z 1 U mg

z 2 U 2mg

z 1 U mg

z 2 U 2mg

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.2015398.02 Кб77уголовное_1.rtf
#
24.03.2015741.42 Кб46Уголовное_2.rtf
#
24.03.2015240.64 Кб6угроза энерг безоп анализ.doc
#
24.03.2015495.67 Кб17Уильям Джеймс. Многообразие религиозного опыта.doc
#
08.03.2016367.18 Кб183УМК ХОМ.docx
#
24.03.20151.97 Mб19УМК ТеорМех для Мех2012.pdf
#
08.03.2016109.72 Кб46УМК ЭХМ.docx
#
04.05.2019448 Кб4УМКД - тексты 11-12.doc
#
08.03.2016607.39 Кб38УМКД по Соц-псих тренингу.docx
#
16.12.2018907.78 Кб7УП ЮРФАК.doc
#
24.03.20153.37 Mб172УПК РК Новый.doc