УМК ТеорМех для Мех2012

R F Q, проходящую через точку О, а окончательно будем иметь две силы, лежащие в

разных плоскостях, Q и F .

Лекция 15

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Частные случаи условий равновесия (сходящаяся система сил, параллельные силы, плоская система сил). Эквивалентные условия равновесия.

Условия равновесия систем сил

Система находится в равновесии, если R 0, M 0.

Общий случай

Произвольная пространственная система сил. Главный вектор и главный момент дают по три проекции каждый вектор, следовательно, имеем шесть условий равновесия:

Частные случаи

1). Произвольная плоская система сил.

Три условия равновесия. Существует три набора эквивалентных условий равновесия.

А) Главный вектор в плоскости R дает две проекции, главный момент, перпендикулярный этой плоскости, дает одно уравнение:

При этом точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.

2). Плоская система параллельных сил. R дает одну проекцию, отсюда следует одно уравнение, M перпендикулярен данной плоскости, отсюда следует еще одно уравнение. В итоге получаем два условия равновесия. Существуют эквивалентные условия равновесия.

перпендикулярной R , следовательно, дает две проекции:

Rz 0

momxFi 0

momy Fi 0

Лекция 16

Условия равновесия несвободного твердого тела. Трение и связи с трением.

Задача о равновесии при наличии трения

До сих пор мы рассматривали равновесие идеальных механических систем, предполагая, что поверхности соприкасающихся тел абсолютно гладкие, всякое трение между ними отсутствует, а сами тела – абсолютно твердые. Но это лишь приблизительно соответствует действительности. В реальных задачах невозможно полностью исключить влияние сил трения, иначе получим результаты, мало соответствующие действительности.

Силы трения существенно отличаются от всех других сил. Они возникают в тех случаях, когда активные силы способны создать относительное движение соприкасающихся тел. Соприкосновение тел никогда не происходит в одной точке, т.к. тела испытывают деформации,

и как бы малы они не были, соприкасание тел происходит по некоторой площадке, размерами которой обычно можно пренебречь.

Рассмотрим два твердых тела А и В, находящихся в соприкосновении, и пусть О – точка контакта. Мгновение движение тела B относительно тела A всегда может быть сведено к мгновенно- поступательному движению с относительной скоростью v0 точки О

тела B и мгновенно-вращательному движению тела B с относительной угловой скоростью , линия действия которой проходит через точку О. Пусть (π) – общая касательная плоскость.

Разложим вектор на два вектора, первый из которых лежит в плоскости (π), а второй перпендикулярен ей:

1 2

1- называется угловой скоростью качения, 2 - угловой скоростью верчения.

Мгновенное движение тела B относительно тела А теперь можно представить как совокупность трех движений: скольжения, качения и верчения. Совокупность активных сил, действующих на находящееся в равновесии тело B, может быть приведена к главному вектору

F , линия действия которого проходит через точку О, и главному моменту M . Действие этой системы сил уравновешивается силами реакции со стороны точки А, которые сводятся к

результирующей силе R и результирующей паре с моментом M1 , удовлетворяющим условию:

Разложим силу R и момент пары M1 на составляющие, расположенные в плоскости (π) и перпендикулярные плоскости (π):

R R Rn , M1 M1 M1n .

Rn - направленную по нормали к плоскости (π) назовем нормальной реакцией. Эта сила препятствует взаимному проникновению тел. СоставляющуюR , лежащую в плоскости (π),

будем называть силой трения скольжения. Эта сила препятствует проскальзыванию тела B по телу А. Момент M1n , перпендикулярный (π) и препятствующий верчению тела, назовем парой

трения верчения. СоставляющуюM1 , лежащую в плоскости (π) и препятствующую качению тела, назовем парой трения качения.

Замечание о трении качения

Трение качения возникает при качении одного тела по другому. Возникновение трения качения может грубо объяснить тем, что при соприкосновении тел поверхности деформируются. В большинстве случаев трения качения оказывается значительно меньшим, чем трение скольжения, и при решении задач им часто можно пренебрегать.

Замечание о трении верчения

Рассмотрим тяжелый шар, лежащий на горизонтальной плоскости и касающийся ее в точке С так, что СО – вертикальный радиус шара. Вращение шара вокруг вертикального радиуса

называется верчением. Приводя систему активных сил к точке С, получим главный вектор F и

главный моментM . Пусть для простоты M параллелен ОС. Разложим главный вектор на составляющие вектора, первый из которых перпендикулярен, а второй параллелен плоскости (π): F F1 F2 . Сила F1 уравновешивается нормальной реакцией плоскости, сила F2 - силой трения скольжения, и для полного равновесия шара необходимо еще уравновесить пару. Как известно из опыта, если момент пары, стремящейся привести шар в верчение, достаточно мал, то шар вертеться не начнет. Действию активной пары в этом случае препятствует некоторая пара сил реакции, называемая трением верчения.

Предельный момент трения верчения можно представить в виде произведения некоторого коэффициента к, называемого коэффициентом трения верчения и определяемого экспериментальным путем, на нормальную составляющую результирующей активной силы, т.е. kF1. Коэффициент трения верчения обычно величина малая, в 5-10 раз меньше коэффициента трения качения. Условия равновесия сводятся к двум неравенствам:

fF1 F2 ,kF1 M .

Задача о равновесии несвободного твердого тела

Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, отбрасывая связи и заменяя их действия реакциями. Условия равновесия тела - это уравнения, которые связывают активные силы или параметры, определяющие положение тела, и не содержащие неизвестных реакций связи.

Число независимых перемещений, которые может иметь тело, называется числом степеней свободы. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. При равновесии тела силы должны удовлетворять таким условиям, чтобы они не могли сообщить телу допускаемых связями движений; поэтому число уравнений равно числу степеней свободы.

1) Равновесие рычага. Рычаг – твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси под действием сил, расположенных в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

P1,...,Pn активные силы, лежащие в плоскости xОy. Реакция оси R тоже лежит в этой плоскости. Т.к. имеем плоскую система сил, то у нас будет три условия равновесия:

Pix Rx 0,

Piy Ry 0,

mom0 Pi 0.

Первые два равенства дают силу R , значит, получаем

Условие равновесия рычага: сумма моментов всех сил относительно оси вращения должна быть равна нулю.

2) Равновесие твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Имеется тело со сферическим шарниром в точке О; P1,...,Pn активные силы. R приложена в точке О и имеет

произвольное направление в пространстве. Составим условия равновесия:

Pix Rx 0,

Piy Ry 0,

Piz Rz 0,

momx Pi 0,

momy Pi 0,

momz Pi 0.

Первые три равенства служат для определения реакции, таким образом

Условие равновесия твердого тела, имеющего неподвижную точку: суммы моментов всех сил относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через неподвижную точку, должны равняться нулю.

3) Равновесие тела, имеющего ось вращения-скольжения.

Пусть тело имеет ось вращения, вдоль которой оно может скользить. Выберем оси

координат. Реакции в точках А и В имеют составляющие YA, ,ZA ,YB ,ZB . Составим условия равновесия:

Pix 0,

Piy YA YB 0,

Piz ZA ZB 0,

momx Pi 0,

momy Pi momy ZB 0,

momz Pi momzYB 0.

Только первое и четвертое уравнения не содержат неизвестных реакций связи.

Следовательно, для тела, имеющего ось вращения-скольжения, существует два условия равновесия: сумма проекций всех сил на данную ось и сумма их моментов относительно этой оси равна нулю.

4) Равновесие тела, имеющего неподвижную ось вращения.

Если один из шарниров сделать сферическим, то ось вращения тела станет неподвижной, при этом добавится еще одна составляющая реакции, направленная вдоль оси z. Следовательно, теперь будем иметь только одно равенство, не содержащее неизвестные реакции:

momx Pi 0.

Тогда для тела, имеющего неподвижную ось вращения, условие равновесия одно: сумма моментов относительно этой оси всех сил должна быть равна нулю.

Лекция 17

Прямая и обратная задачи динамики. Уравнения движения. Понятия о первых интегралах. Методы интегрирования. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Свойства внутренних сил системы.

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки. Динамика точки.

Материальная точка называется свободной, если она под действием приложенных к ней сил может иметь движение в любом направлении в соответствии с основными законами

где F - равнодействующая приложенных к точке сил, а w - ускорение, направленное по линии действия равнодействующей силы.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением движения свободной материальной точки в векторной форме.

Проектируя обе части векторного уравнения (2) на оси той или иной системы координат, можно получить дифференциальные уравнения движения свободной точки в этой системе.

Чаще всего пользуются осями прямоугольной декартовой системы координат или осями

(равнодействующей) на соответствующей оси.

Уравнения (3) называются дифференциальными уравнениями криволинейного движения свободной материальной точки в проекциях на оси декартовой системы координат. На движущуюся материальную точку могут действовать силы, постоянные по модулю и направлению (например, сила тяжести вблизи Земли), или переменные, модули и направления которые при движении изменяются.

Переменные силы могут зависеть:

А) только от времени (например: сила тяги электровоза) Б) только от координат точки (например: сила упругости);

В) только от скорости движения точки (например: сила сопротивления окружающей среды); В общем случае, силы могут зависеть одновременно от времени t, радиуса-вектора r точки

искорости v , т.е.F F(t,r,v)

, в общем виде система уравнений (3) примет вид:

Найдем теперь дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника, т.е. на направление касательной ( ), главной нормали (n) и бинормали (b ) к траектории в текущем положении движущейся точки. Спроектировав обе части векторного уравнения (2) на эти оси, получим:

mw F ,mwn Fn ,mwb Fb

Но из кинематики известно, что

w S,wn v2 ,wb 0

Таким образом, окончательно найдем:

Из третьего уравнения следует, что сила, так же как и ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости ( ,n). Уравнения (5) называются дифференциальными уравнениями криволинейного движения свободной материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

Существуют две основные задачи динамики точки:

1). Зная массу точки и зная движение точки, т.е. координаты точки как функции от t, определить, под действием какой силы такое движение совершается; 2). Зная массу материальной точки, действующие силы и начальные условия движения точки,

т.е. ее начальную скорость и начальное положение, определить закон движения этой точки. Решение первой задачи динамики. Зная закон движения, т.е. кинематические уравнения

найти действующую силу, т.е. Fx ,Fy ,Fz . Задача легко решается с помощью уравнений (3) и

сводится к вычислению вторых производных по t от заданных функции (6).

Этот результат дает закон изменения силы, под действием которой точка может описывать любой из эллипсов семейства (а). Как видим, такое движение возможно под действием центральной силы, направленной к центру эллипса и изменяющейся пропорционально расстоянию точки от центра.

Решение второй (основной) задачи динамики. Зная действующие силы F , найти закон движения точки, т.е. кинематические уравнения (6).

Дифференциальные уравнения имеют вид (4):

mx Fx (t;x, y,z;x, y,z) my Fy (t;x, y,z;x, y,z)

mz Fz (t;x, y,z;x, y,z)

Нахождение закона движения сводится к интегрированию данной системы (4), т.е. системы трех совместных дифференциальных уравнении второго порядка. Проинтегрировав эту систему, получим x, y,z как функции времени и шести произвольных постоянных, т.е. найдем общее решение системы (4) в виде:

Наличие в правых частях уравнений (7) произвольных постоянных указывает на то, что под действием данной силы точка может совершать не одно определенное движение, а целый класс движений, имеющих разные значения при разных значениях c1,.....,c6 .

Физически этот результат объясняется тем, что точка, на которую начинает действовать некоторая сила, будет двигаться по-разному в зависимости от начальных условий, т.е. от начального положения и начальной скорости этой точки. Например, движение свободной точки под действием силы тяжести может быть прямолинейным или криволинейным в зависимости от направления ее начальной скорости.

Чтобы задача была определенной, кроме сил надо задать начальные условия, т.е. для некоторого момента t t0 задать:

начальное положение точки x x0 , y y0 ,z z0

По этим начальным условиям определяются постоянные интегрирования c1,.....,c6 . Для этого, взяв производную от уравнений (7), находим проекции скорости:

систему уравнений, получим значения постоянных, соответствующие заданным начальным условиям, т.е. найдем

дифференциальных уравнений (4), удовлетворяющее заданным начальным условиям в виде:

Уравнения (10) и определяют значение движения точки под действием заданных сил при данном начальном условии.

Дифференциальные уравнения движения механической системы Механической системой материальных точек или тел называется такая их

совокупность, в которой положение или движение каждой материальной точки или каждого тела зависит от положения и движения всех остальных. Рассмотрим механическую систему из n тел или точек.

Силы, с которыми действуют друг на друга точки или тела данной механической системы, называются внутренними силами (например, силы взаимного тяготения планет солнечной системы). Силы, с которыми действуют на точки или тела данной механической системы точки или тела, не входящие в состав этой системы, называются внешними силами (например, на какую-либо планету солнечной системы действует внешние силы со стороны звезд или звездных скоплений).

Свойства внутренних сил механической системы

1). Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил механической системы равняется нулю, т.е.

n

R(i) Fk(i) 0 k 1

2). Геометрическая сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил механической системы относительно некоторого неподвижного центра О равняется нулю, т.е.

n

M0(i) mom0Fk(i) 0. k 1

Но это не значит, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение механической системы, т.к. эти силы приложены к различным точкам системы и могут вызывать взаимное перемещение этих точек. Внутренние силы уравновешиваются для абсолютно твердого тела.

Движение механической системы, кроме действующих сил, зависят также от ее массы и распределения масс в этой системе. Масса механической системы равна арифметической сумме масс всех точек, входящих в эту систему:

n

M mk .

k 1

Распределение масс характеризуется положением центра масс, или центра инерции

механической системы. Центром масс называют геометрическую точку С, положение которой относительно выбранной системы отчета определяется радиус-вектором:

Положение центра масс не зависит от действующих на систему сил (это видно из формулы) и от выбора системы координат.

Доказательство: рассмотрим вторую систему координат. Радиус-вектор k -й точки rk :

Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Поэтому вводится еще одна характеристика распределения масс – момент инерции системы. Моментом инерции механической системы материальных точек относительно данной точки О, оси L или плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадрат их расстояний до данной точки О, оси L или плоскости соответственно.

Рассмотрим движение системы n материальных точек в некоторой инерциальной системе координат. Пусть m - масса некоторой точки системы, r - ее радиус-вектор. В общем случае на точку M действуют внешние и внутренние силы, которые в свою очередь могут быть как активными, так и пассивными. Обозначим:

F e - равнодействующая всех внешних сил (и активных и пассивных).

F i - равнодействующая всех внутренних сил.

На основании аксиомы связей можем считать эту точку свободной; поэтому уравнение движения этой точки (и всех других) будет:

где w - ускорение точки в инерциальной системе координат.

Для исследования движения надо при заданных начальных условиях проинтегрировать систему уравнении (11) и найти зависимость r от t. Это в большинстве случаев невозможно,

особенно, если число уравнений велико. Однако при практических исследованиях движения часто нет необходимости изучать систему (11), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей материальной системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы (и, может быть, t). Если такая функция при движении системы остается постоянной, то она позволяет упростить задачу, а иногда и решить ее до конца.

Самый распространенный прием получения первых интегралов уравнений (11) основан на изучении поведения основных динамических величин системы: количества движения,

кинетического момента, кинетической энергии. Изменение этих величин во времени описывается основными теоремами динамики, являющимися непосредственными следствиями уравнений (11).

Лекция 18

Основные динамические величины. Теоремы Кенига

Количеством движения точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость.

q mv.

Рассмотрим механическую систему n материальных точек в движении. С каждой точкой можно связать вектор количества движения. Эта система скользящих векторов приводится, как известно, к главному вектору и главному моменту. Главный вектор количеств движения системы будет равен геометрической сумме количеств движения всех точек системы:

n

Qm v .

1

n

Из формулы для определения радиуса-вектора центра масс системы следует, что Mrc m r ,

1

Т.е. количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра

масс. Вектор Q по отношению к системе Cx y z с началом в центре масс равен нулю, т.к.

относительно этих осей vc 0.

Главный момент количества движения (кинетический момент) системы относительно центра О:

mx my mz

Момент количества движения системы относительно оси – проекция на эту ось кинетического момента системы относительно любого выбранного на данной оси центра.

Преобразуем выражение для кинетического момента системы

момента времени, следовательно:

Заметим, что m M, m r Mrc 0(т.к. радиус-вектор точки С в осях Cx y z равен

нулю). Тогда имеем следующие равенства:

rc m vc rc Mvc

r m vc m r vc 0

где v - скорость точки M относительно осей Cx y z .

Тогда кинетический момент примет вид:

G0 rc Mvc r m v

rc Mvc - кинетический момент центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, относительно точки О. r m v - кинетический момент относительно

Теорема. Кинетический момент системы относительно какого-нибудь неподвижного центра равен моменту относительно этого центра количества движения центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, сложенному с кинетическим моментом системы относительно центра масс в ее движении по отношению к подвижной системе координат, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

G0 rc Mvc Gc

При изменении центра приведения кинетический

момент изменяется (Q остается без изменения).

Рассмотрим два различных центра А и В. Пусть r и r ' -

радиус-векторы точек А и В соответственно. Тогда: