4.1 Нүктелік байланыстарын есептегендегі жіңішке пластиналар тербелісінің теңдеуі.

Жіңішке пластиналар теориясының қарапайым сызықтық болжамы, сонымен қатар «серпімділік» туралы төменде тұжырымдалған болжам дұрыс болсын делік; олардан Дюамель қағидасының дұрыстығы анықталады [11]. Пластина кеңістігіндегіевклидтің тығызбір байланысты аймағын алып жатыр деп болжамдалады. аймағының ішін бізарқылы, ал шегін –арқылы белгілейміз.шегі тегіс Жордан қисықтарынан тұрады.

Белгілеулерді енгізіміз және олардың физикалық мағынасын түсіндіреміз:

–-тағы декарттық координаталар;

–уақыт;

Пластина аймақты алып жатыр,аймағының кеңістігікоординаталарымен туады;

–сәйкес жәнеосьтері бағытындағы ауысу;

–көлденең жылдамдық;

–Юнг модулі ();

–Пуассон коэффициенті ();

–пластина қалыңдығы (в);

–иілу қаттылығы;

–массалық тығыздығы (масса аудан бірлігіне);

–-ға сыртқы нормал бағытындағы бірлік вектор;

–-ға тангенциал бағытындағы бірлік вектор;

–ұзындықтың көбеюі; приращение длины;

–сызықтық қатысты деформациялар;

– кернеу (кернеулі жағдай екі өлшемді деп болжанады);

–салыстырмалы моменттер;

–салыстырмалы қалыпты күштер;

–салыстырмалы көлденең күштер;

–кинетикалық энергия;

–деформация энергиясы;

–толық энергия ().

ауыстыру, «серпімділіктің» келесідей болжамын қанағаттандырады:

1) тиянақталған үшінфункциялары және олардың уақытша туындыларыжәнебойынша бірінші және екінші ретті-да жеке туындылары болады.

2) деформацияның екі өлшемді компоненттері барлығында дерлікекі рет дифференциалданатын функция болып табылады.

Двумерные компоненты деформации являются дважды дифференцируемыми функциями почти всюду в .

3) кез-келген тиянақталған жәнеүшінфункциясыбойынша үзіліссіз дифференциалдана алады.

4) жәнефункциялары шектелген,бойынша өлшенеді жәнеквадратында интегралданады (әрбір тиянақталған мән үшін). Мұнда- Лаплас операторын білдіреді, алтөмендегі формула бойынша анықталады

Демпфирлеу немесе аз ауытқулы жіңішке пластиналар классикалық теориясының шеңберінде пластиналар тербелісінің қозғалуын қарастырайық. Бұл қысқартылған модельдің сәйкес болжамы мындай:

1. Гук заңы дұрыс.

2. Ауытқыған пластинаның еңкіш бұрышы кез-келген бағытта жеткілікті аз, сол себебті оның квадраты бірлікпен салыстырғанда жеткілікті аз және оларды елемеуге болады.

3. Ауытқыған пластинаның ортаңғы беті бейтарап болып табылады,яғни қалыпты күштің әрекеті ортаңғы бетіне есептелмейді.

4. Пластинаның ортаңғы бетіне перпендикуляр қалыпты күштің компоненттерін елемеуге болады.

5. Деформацияланбаған пластинаның ортаңғы бетіне нормалі ауытқыған пластинаныңортаңғы бетіне нормаль болып қалады.

Қарастырылып жатқан тапсырмаға негізгі теңдеулер келтірейік. 2-5 болжамы пластинаны евклид жазықтығы деп қарауға болады, ал идекарттық координаталар бағытынаауыстру сәйкесінше-тан сызықтық функциялар болып табылады, яғни пластинаның ортаңғы бетінен арақашықтық функциясы:

Енді аз ауытқулар теориясының формальды қорытындыларына қысқаша шолу жасайық. Мұнда - пластинаның ауытқуы, яғниосі бағытына ауыстыру. Деформация компоненттері қарапайым сызықтық аппроксимациямен беріледі:

(4.1.1)

Болжамға қарап деформация компонентінің 3 әсерін елемеу керек.

Гук заңы дұрыс делік:

(4.1.2)

Мұндағы - Юнг модулі, ал- Пуассон коэффициенті.қатысты арақатынасын (4.1.2) шеше отырып және формулаларды (4.1.1) қоя отырып, мынаны аламыз:

4.1.1-сурет – салыстырмалы күштердегі тепе-теңдік

Координат сызығының ұзындық бірлігіне әрекет ететін салыстырмалы моменттер мына формула бойынша анықталады (4.1.1-сурет):

Мұндағы - пластина қалыңдығы, ал- пластинаның иілу қаттылығы, арақатынасты анықтайтын

Салыстырмалы көлденең күштер мына формула бойынша анықталады (яғни, пластинаның жазықтығына қалыпты күштер):

Жіңішке пластиналар теориясының аз майысутеңдеуі:

,

мұндағы – сыртқы күш.

4.1.2-сурет – Аймақ шекарасы

Шекаралық шарттардың негізгі үш типін келтірейік.

Қысылған шеті:

Бос бекітілген шет:

Бос шеті: сыртқы моменттердің болмауы және бос шетіндегі күш шекарасының бөліктерінде бос шет болып табылатын бір уақытта,жәненөлге айналдырғанды талап етеді. Кирхгоф тағы үш шарт келесі екі шартқа эквивалент екенін көрсетті.

Егер тіректердің бекітілуіқалпына келтіретін күшпен кері әрекет көрсеткен жағдайда, шекаралық шарттар мынадай түрде болады:

Сонымен қатар, егер , мұндағы– тұрақты, қарапайым серпілмелі бекіту болады.

Нүктелік байланыстар нүктелік байланыстары бар нүктелердегі тегістік бұзылған функциялармен сипатталатын меншікті тербелістерге әкеледі. Атомдық физикадағы осы сияқты әсерлер [23] нөлдік радиустағы потенциалдар әдісімен анық шешілетін модельдерге әкеледі. Нөлдік радиустағы потенциалдар әдісінің операторлық түсіндірмесі Л.Д. Фаддеева, Ф.А. Березина [24] жұмысында берілген.

Тегіс пішінмен шектелген, тұрақты қалыңдықтағы біркелкі серпілмелі изотропты пластиналарды қарастырамыз. Пластинаданүктелімасса қосылған және ол серпілмелі, әрі сәйкесіншеқатты бекітілген, әріоған сәйкесішкі нүктелер бар болсын. Нүктеде топсалы бекітілу кез-келген бағыттағы қысып ұстаумен сай болуы мүмкін. Пластинаның әрбір жағындағы шекаралық шарттар келесіледің бірі болуы мүмкін: топсалы бекітілу,қысып ұстау немесе бос шеті. 4.1.3 суретінде қолданылатын осьтерге қатысты координат жүйесі, бекітудің шартты белгісі, қысып ұсталуы, қосылған массалар, шекаралық шарттар сияқты пластиналардың орналасуы көрсетілген. Келесі баяндамаларда бұл белгілеулер сақталады. Меншікті жиілік пен көлденең тербелісті пластиналардың формаларын анықтау керек.

Тербеліс жиілігін анықтау кезінде пластинаны жіңішке деп есептейміз (қалыңдығы басқа өлшемдермен салыстырғанда аз).

а) б)

в)

4.1.3-сурет – Нүктелік байланыстары бар пластиналар

Топталған масса жағдайында

Серпілмелі бекітілген жағдайда

Топсалы және қатты бекітілген жағдайда

Жазылған ішкі шеттік шарттар көлденең тербелмелі пластиналардың меншікті жиілігін есептеуге мүмкіндік береді. Есептеу дәл екінші бөлімде көрсетілгендей жүреді.