Geom / AnGeom_7
.pdf
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Пусть прямая l задана уравнением
x − x0 = y − y0 . ex ey
Преобразуем это уравнение уравнение:
(x − x0)ey = (y − y0)ex.
Раскроем скобки и приведем подобные
eyx − exy + (y0ex − x0ey) = 0.
− − 6 ~
Обозначим: A = ey, B = ex, C = y0ex x0ey. Так как ~e = 0, то A2 + B2 6= 0. Получим уравнение Ax + By + C = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении)
Пусть прямая l задана уравнением Ax + By + C = 0. Тогда вектор ~n = {A, B} является вектором нормали.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Доказательство.
На прямой l рассмотрим две произвольные точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Так как M1, M2 l, то
Ax1 + By1 + C = 0 .
Ax2 + By2 + C = 0
Вычтем из второго уравнения первое:
A(x2 − x1) + B(y2 − y1) = 0.
Последнее уравнение можно переписать в виде
−−−−→ −−−−→
(~n, M1M2) = 0, следовательно ~n M1M2, и, следовательно
~n l.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Прямая на плоскости
Пример.
В треугольнике ABC найти уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины B, если известны координаты вершин A = (1, −1), B = (3, 2) и C = (5, 7).
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Решение.
Обозначим через K середину стороны AC. Тогда
K = (1 + 5, −1 + 7) = (3, 3). 2 2
Медиана из вершины B проходит через две известные точки B и K. Т.о. ее уравнение можно записать в виде
x − 3 |
= |
y |
− 2 |
|
|||
3 − 3 |
3 |
− 2 |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Решение.
Обозначим через K середину стороны AC. Тогда
K = (1 + 5, −1 + 7) = (3, 3). 2 2
Медиана из вершины B проходит через две известные точки B и K. Т.о. ее уравнение можно записать в виде
x − 3 |
= |
y |
− 2 |
|
|||
3 − 3 |
3 |
− 2 |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
x − 3 = y − 2 0 1
Заметим, что в каноническом уравнение знаменатель может быть равен 0. Означает это лишь то, что числитель этой дроби должен обратиться в ноль.
x − 3 = 0
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
−→
Высота из вершины B перпендикулярна вектору AC
−→
AC вектор нормали.
−→
AC = {5 − 1, 7 − (−1)} = {4, 8}
Т.о. общее уравнение высоты имеет вид
4x + 8y + C = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Так как высота проходит через точку B = (3, 2), то имеет место уравнение
4 · 3 + 8 · 2 + C = 0
Откуда получаем, что C = −28. Уравнение высоты имеет вид
4x + 8y − 28 = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 7